数学与经济金融课件

1、19 七月 2022数学与经济金融经济金融投资证券保险管理商业2022/7/19数学能否引入经济学计量经济学的创立：引入统计和模型发展数理经济学：Paul Samuelson决定论模型（加速-乘子模型）股市随机运动模型（martingale）和期权模型生物竞争，化学反应，利他行为，混沌模型关于数理经济学的争论:奥地利学派：人的行为能否用数学描写？心理学：人们的理性是优化还是固锚？计量经济学（Hendry）: 科学还是炼金术？Herbert Simon: 数学用得太多了我们：数学用得太窄了（限于欧氏几何，优化算法，不了解非欧几何，混沌，小波，生灭过程）2022/7/19数学在经济学中的作用Sam

2、uelson: 数学是语言，更精确，自洽，简要我们：数学和历史分析的定性差别期权模型和期权市场热力学和噪声驱动的阻尼谐振子？大数定律和宏观波动的微观基础？几何布朗运动和经济有序2022/7/19一、模型二、数理模型三、经济建模四、数理模型建模的简单实例五、建模过程建模概述2022/7/19什么是数理经济学数理经济学不仅仅是经济学的一个分支， 确切地说，它是一种经济分析方法，是经济学者利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。从广义上说，数理经济学（Mathematical Economics）是一种采用现代的数学分析方法，收集分析经济运行中的数据加以分析，在得出精确的、有

3、预见性的、符合客观经济运行规律的经济学模型之后，分析解决面临的经济问题，最终提出解决方案的新兴前沿学科。从狭义上来说，是特指瓦尔拉斯（Walras1834-1910）开创的一般均衡理论F1体系。通常可分为静态分析和动态分析。这个理论首先设立“人是理性的”这个假设，然后利用各种数学方法，来模拟各种经济学现象，并进而推论出有关问题的解决方案。2022/7/1919 七月 2022 1838年，数学家拉普拉斯和泊松的学生古诺(他研究概率论)发表了题为财富理论的数学原理研究的经济学著作，著作中充满着数学符号。例如，其中记市场需求为d，市场价格为 ，需求作为价格的函数记为 。 数理经济学的历史2022/

4、7/1919 七月 202219世纪中叶之后，勒翁瓦尔拉斯和杰文斯提出名之为“边际效用理论”的经济学。后一代的经济学家们发现，这一理论中的“边际”原来就是数学中的“导数”或“偏导数”。 瓦尔拉斯还于1874年前后提出了另一种颇有影响的“一般经济均衡理论”。但是他的数学论证是不可靠的，后来，严格证明一般均衡理论的数学工作一直到1954年由阿罗和德布罗完成。 2022/7/1919 七月 2022 1959年，德布罗发表了他的著作价值理论，经济均衡的一种公理化分析，这标志着运用数学公理化方法的数学经济学的诞生。他于1983年获诺贝尔经济学奖。G.Debreu诺贝尔奖章19 七月 2022 埃奇沃思

5、用抽象的数学来刻画边际效用理论，他最重要的经济学著作却叫数学心理学。马歇尔是在剑桥学数学的，他成为经济学的“剑桥学派”的宗师，今天的微观经济学著作中那些既直观易懂，又不失数学严谨性的曲线图像多半出自马歇尔之手。埃奇沃思马歇尔2022/7/1919 七月 2022 著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学术研究的，1921年，他有一本数学著作概率论，是那个时代最重要的概率论著作之一。 美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。

6、 20世纪最伟大的数学家之一冯诺伊曼，他与经济学家摩尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于1944年写成了最重要的数学经济学巨著：对策论与经济行为。 19 七月 2022 著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学术研究的，1921年，他有一本数学著作概率论，是那个时代最重要的概率论著作之一。凯恩斯2022/7/1919 七月 202220世纪最伟大的数学家之一冯诺伊曼，他与经济学家摩尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于1944年写成了最重要的数学经济学巨著：对策论与经济行为

7、。 克拉克美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。2022/7/1919 七月 2022美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文费雪是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。20世纪最伟大的数学家之一冯诺伊曼，他与经济学家摩根斯坦长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于1944年写成了最重要的数学经济学巨著：对策论与经济行为。 克拉克欧文费雪摩根斯坦2022/7/1919 七月 2022 计量经济学是从具体数据出发，用数理统计的方法，

8、建立经济现象的数学模型；数理经济学则是从一些经济假设出发，用抽象数学方法，建立经济机理的数学模型。前者是用归纳法，后者用的则是演绎法。 熊彼特奥地利边际效用学派最有影响的代表熊彼特对于经济学中使用数学方法，起了比谁都大的作用。19 七月 2022 在诺贝尔奖中，原来既没有数学奖，也没有经济学奖。数学奖一直没有增设，但是， 1969年，由瑞典中央银行出钱，以诺贝尔的名义，设立了诺贝尔经济学奖。 1969年一1989年的21届诺贝尔经济学奖获奖人共27位，其中有6届评了2人，其他每届1人。这27位之中，美国人占了一半以上(15位)，英国人5位，瑞典、挪威各两位，法国、荷兰、前苏联各一位。 19 七

9、月 2022 首届诺贝尔经济学获得者之一弗瑞希就是计量经济学的创始人之一，他不仅运用数学研究经济，而且他的研究成为经济学推动数学发展的出色例子。 首届得奖者中的另一位丁伯根是一个物理学博士，然而，数理不分家，现代物理学都离不开高水平的数学。丁伯根把物理和数学的方法带进了经济学，并与弗瑞希一道成为计量经济学的奠基人。 19 七月 2022 第二届，1970年的获奖者萨缪尔森，他在1937年作为学位论文写出，在1947年才正式出版的成名作经济分析基础，是一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。 1972年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著作价值与资本被萨缪尔森称赞为可与古诺

10、、帕累托、马歇尔的著作媲美。阿罗则是数学博士(1951年获学位)，他创立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理论中的奠基性定理即“阿罗不可能定理”，其实，这完全是一条数学定理(适用于经济学)。 19 七月 2022 第二届，1970年的获奖者萨缪尔森，他在1937年作为学位论文写出，在1947年才正式出版的成名作经济分析基础，是一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。 1972年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著作价值与资本被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、马歇尔的著作媲美。阿罗则是数学博士(1951年获学位)，他创立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选

11、择。社会选择理论中的奠基性定理即“阿罗不可能定理”，其实，这完全是一条数学定理(适用于经济学)。 2022/7/1919 七月 2022 1973年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。 1975年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、泛函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于1942年写成的经济资源的最优利用一书到1959年才得以出版。

12、 19 七月 2022 1973年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。 1975年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、泛函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于1942年写成的经济资源的最优利用一书到1959年才得以出版。 2022/7/19 1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、19

13、82年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。 1972一1976年在美国经济评论上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占501，而19771981年，这个数字上升到了540。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从212下降到了116。 2022/7/19 1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的

14、索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。 1972一1976年在美国经济评论上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占501，而19771981年，这个数字上升到了540。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从212下降到了116。 2022/7/19 1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。 1972一197

15、6年在美国经济评论上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占501，而19771981年，这个数字上升到了540。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从212下降到了116。 2022/7/19 1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。 1972一1976年在美国经济评论上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占501，而19

16、771981年，这个数字上升到了540。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从212下降到了116。 2022/7/19 1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。 1972一1976年在美国经济评论上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占501，而19771981年，这个数字上升到了540。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，

17、却从212下降到了116。 2022/7/19 1976年的得奖者弗里德曼、1978年的得主西蒙、1980年的克莱因、1981年的托平、1982年的斯蒂格勒、1983年的德布罗、1984年的斯通、1985年的莫迪利阿尼、1987年的索洛、1989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。 1972一1976年在美国经济评论上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占501，而19771981年，这个数字上升到了540。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从212下降到了116。 2022/7/19 冯诺伊曼在1928年创立对策论的时候已经注意

18、到，对经济学来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯诺伊曼为经济学准备了一系列的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论等，形成了在经济学中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。 20世纪60年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重视过。 2022/7/19 冯诺伊曼在1928年创立对策论的时候

19、已经注意到，对经济学来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯诺伊曼为经济学准备了一系列的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论等，形成了在经济学中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。 20世纪60年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重视过。 2022/7/19 获得过菲尔兹奖(授予40岁以

20、下的数学家的最高国际数学奖)的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。这位以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和德布罗的研究“动力系统化”，回到微分方程的形式上来。接着又与德布罗一起把经济学“光滑化”，提出了“正则经济学”。 在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。 2022/7/19 获得过菲尔兹奖(授予40岁以下的数学家的最高国际数学奖)的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。这位以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和德布罗的研究“动力系统化”，回到微分方程的形式上来

21、。接着又与德布罗一起把经济学“光滑化”，提出了“正则经济学”。 在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。 2022/7/19 这种状况表明，真正理解经济学所需要的数学知识和数学水平，可能是一个大学本科数学专业的学生还难以达到的。然而，理解今天如此复杂的经济活动本身已不是一件容易的事。 2022/7/19金融数学简介2022/7/19引言金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展的前沿课题及前景。简单地说，金融数学

22、就是用数学的方法解决金融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖工作为基础的。2022/7/19 1990年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz，W.Sharpe 和M.Miller，奖励他们在金融经济学中的先驱工作H.Markowitz 的投资组合理论、W.Sharpe的 资本资产定价理论M.Miller 的公司财务理论。诺贝尔经济奖简介（1）注2022/7/19H.Markowitz 在资产组合选择一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间的关系出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的选择问

23、题。 其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。2022/7/19W.Sharpe 的资本资产定价理论，在较强的市场假设下，给出了Markowitz 均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型。（CAPM）2 其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进一步发展为著名的资本资产定价模型，用来说明在金融市场上如何建立反映风

24、险和潜在收益有价证券价格。2022/7/19M.Miller的公司财务理论（1958）主要研究资本结构与其企业市场价值的关系。 Miller在资本成本、公司理财和投资理论论文中证明，在一定假设下，企业的市场价值与其资本结构无关。传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起了广泛的争议。从50年代末到60年代末，经过一轮唇枪舌战的辩论之后，Miller的公司财务理论开始盛行于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。2022/7/19 1997年诺贝尔经济奖授予R.Merton和M.Schole, 以奖励他们和F.Black在确定衍生证券价值

25、方法方面的贡献，也就是关于期权定价的著名的Black-Sholes公式。诺贝尔经济奖简介（2）注2022/7/19 1973年，M.Scholes与已故的经济学家F.Black发表期权定价和公司债务一文，给出了期权定价的Black-Sholes公式。指出期权价格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执行价格、股票时价. 其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。注2022/7/191973年R.Merton在经

26、济和管理科学杂志上发表了理性期权定价理论的文章，对Black-Sholes公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面都对Black-Sholes的研究做了推广 Merton对Black-Sholes原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格这样推导出的公式更加现实注2022/7/192003年度诺贝尔经济学奖授予Robert F.Engle和 Clive Granger。 令Engle 摘取桂冠的是他于1982年提出的ARCH模型。 Granger因为时间序列的协整分析方法而获奖,他的贡献

27、将用于研究财富与消费、汇率与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。诺贝尔经济奖简介（3）2022/7/19 对收益率的建模研究一直在计量经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的刻画是比较容易的,所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上,也就是对收益率波动的计量建模。为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中, Engle于1982年提出的ARCH模型,被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。2022/7/1920世纪70年代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳这一假设条件为基础。但在实际中,许多经济指标

28、的时间序列都是非平稳的,并不具有固定的期望值,并且呈现出明显的趋势性和周期性。经济变量表现出的非平稳性使传统建模遇到了前所未有的困难。格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡关系,但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前,协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。 2022/7/19本文主要介绍投资组合理论Ross套利定价理论衍生证券的定价理论二杈树模型Black-Sholes模型ARCH模型及其应用利率期限结构理论公司资本结构 保险精算学简介2022/7/1

29、91.投资组合理论简介在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证券投资组合。证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好，组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期望收益率，选择资产组合使其总风险最小。2022/7/192.资本资产定价模型资本资产定价模型（CAPM）是在理想的资本市场中,根据两基金分离定理建立的。它的基本结论是(Sharp-Lintner-Monssin)假设市场上可以获得无风险资产，当市场

30、达到均衡时，任意资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即有关系式其中称为资产X的市场beta系数,表示资产X所面临的风险系数。注2022/7/193. Ross 套利定价理论（APT）在金融理论中，确定风险资产合理价值主要有两种方法。一种是基于竞争均衡理论的定价方法，如上节的CAPM，认为资产的合理价格由所谓的“内在源”，也就是资产市场中现有的所有资产所共同确定；另一种是基于一般套利定价理论的定价方法（GAPT），如本节将要介绍的Ross套利定价理论（APT）认为资产的合理价格由所谓的“外在源”，也就是资本市场的其他因素所确定。2022/7/19 基于上述思想，被誉为美国“

31、金融神童”的Ross在1976年Journal of Economic Theory上发表的Arbitrage Theory of Capital Assert Pricing一文中十分武断地指出：任何资产的价格可以表示为一些“共同因素”的线性组合。这些“共同因素”可以是通货膨胀率，人口出生率，工业增长指数，证券市场综合指数，外汇汇率等等各种因素，然后利用套利定价方法给出了资产收益率的一般表达式。注2022/7/195. Black-Sholes模型当考虑股票价格随时间连续变动情形时，Black-Scholes给出了市场的如下描述： 仅考虑一个简单的证券市场。市场中仅有一种债券和一种股票。设债

32、券在t时刻的价格P0(t)，股票在t时刻的价格P(t).满足方程：2022/7/19衍生证券定价问题的进一步研究方向放宽理想市场假设（如有卖空限制，交易费等）对新型衍生证券进行定价模型改进（如随机利率，随机波动率，跳过程等）不完备市场模型2022/7/19期权定价技术的应用 期权定价理论虽然源于对金融期权的估值，但其主旨为降低不确定性所必须付出的成本问题，而不确定性是所有经济活动的本质特征。这决定了期权定价技术(以下简称0PT)的应用绝不仅仅局限于对以金融资产为标的资产的期权。许多现实问题在分析的过程中常常可以把核心问题归结为期权定价问题来处理，即归结为确定期权价值的5个因素：执行价格、现货价

33、格、到期时间、波动率和无风险利率的分析计算。注2022/7/19目前期权定价理论主要应用于1金融衍生证券的定价 2保险合同的定价 3政府政策与行为 4个人家庭决策 5投资决策 2022/7/196 ARCH模型及其应用在计量经济学中, 收益率的建模研究一直具有很重要的地位。经典资本市场理论在描述股票市场收益率变化时,所采用的计量模型一般都假定收益率方差保持不变。这一模型运用简便,常用来预测和估算股票价格。但对金融数据的大量实证研究表明,有些假设不甚合理。一些金融时间序列常常会出现某一特征的值成群出现的现象。注2022/7/197 利率期限结构理论 在社会经济生活中一部分人通过储蓄或购买债券来保存多余的资金，而部分家庭和厂商也可以通过贷款获得资金。资金的提供不是无偿的，利息就是借入资金的个体为了在一段时间里使用资金而必须支付给资金出借人的补偿。显然利息与投资本金和储蓄时间有关；利息与期初投资本金的比值称为该时期的利率。不同时期投资可能利率不同。利率的期限结构理论主要研究随机波动利率与（较长）时期的对应关系。注2022/7/19经济学家认为，在决定利率期限结构过程中，投资者对未来变动的预期是致关重要的。然而，投资者对自己是否既有十分准确地分析未来变动的能力是缺乏信心的。因此，一般情况