海文考研钻石卡系列-容易混淆的概念之数学二

1、高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确若，且序列的极限存在，解答：不正确在题设下只能保证，不能保证例如：，而例2选择题设，且（ ） A存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C正确 分析：若，由夹逼定理可得，故不选A与D. 取，则，且，但 不存在，所以B选项不正确，因此选C例3设（ ） A都收敛于 B. 都收敛，但不一定收敛于 C可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A正确 分析：由于，得，又由及夹逼定理得 因此，再利用得所以选项A二、无界与无穷大无界：设函数的定义域为，如果存在正数，使得则称函数在上有

2、界，如果这样的不存在，就成函数在上无界；也就是说如果对于任何正数，总存在，使，那么函数在上无界无穷大：设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式则称函数为当（或）时的无穷大例4：下列叙述正确的是： 如果在某邻域内无界，则如果，则在某邻域内无界解析：举反例说明设，令，当时，而 故在邻域无界，但时不是无穷大量，则不正确 由定义，无穷大必无界，故正确结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大三、函数极限不存在极限是无穷大当（或）时的无穷大的函数，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是

3、为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”但极限不存在并不代表其极限是无穷大例5：函数，当时的极限不存在四、如果不能退出例6：，则，但由于在的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论在的极限结论：如果，且在的某一去心邻域内满足，则反之，为无穷大，则为无穷小。五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。例7求极限解：，因而时极限不存在。 ，因而时极限不存在。六、使用等价无穷小求极限时要注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限

4、。（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换例8：求极限分析一：若将写成，再用等价无穷小替换就会导致错误。分析二：用泰勒公式原式。例9：求极限解：本题切忌将用等价代换，导致结果为1。七、函数连续性的判断（1）设在间断，在连续，则在间断。而在可能连续。例10设，则在间断，在连续，在连续。若设，在间断，但在均连续。（2）“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件。分析：由“若，则”可得“如果，则”，因此，在点连续，则在点连续。再由例10可得，在点连续并不能推出在点连续。（3）在连续，在连续，则在连续。其余结论均不一定成立。第二章 导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续

5、，连续不一定可导。例11在连读，在处不可导。二、与可导性的关系（1）设，在连续，则在可导是在可导的充要条件。（2）设，则是在可导的充要条件。三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设，在连续，但不可导，又存在，则是在可导的充要条件。分析：若，由定义 反之，若存在，则必有。用反证法，假设，则由商的求导法则知在可导，与假设矛盾。利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。四、在某点存在左右导数时原函数的性质（1）设在处存在左、右导数，若相等则在处可导；若不等，则在连续。（2）如果在内连续，且设则在处必可导且。若没有如果在内连续的条件，即设，则得不到任何结论。例11，显然设，但，

6、因此极限不存在，从而在处不连续不可导。第三章 微分中值定理与导数的应用一、若若，不妨设，则，再由微分中值定理同理，当时，若，再由微分中值定理 同理可证时，必有第八章 多元函数微分法及其应用8.1多元函数的基本概念1. ,使得当,且时,有,那么成立了吗?成立,与原来的极限差异只是描述动点与定点的接近程度的方法不一样,这里采用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的.2. 若上题条件中的条件略去,函数就在连续吗?为什么? 如果条件没有,说明有定义,并且包含在该点的任何邻域内,由此对,都有,从而,因此我们得到,即函数在点连续.3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什

7、么? 不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.2 偏导数1. 已知,求 令,那么解出,得,所以或者8.3全微分极其应用1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系偏导数, 连续Z可微 连续 极限存在偏导数, 连续偏导数, 存在2. 判断二元函数在原点处是否可微.对于函数,先计算两个偏导数:又令,则上式为因而在原点处可微.8.4多元复合函数的求导法则1. 设,可微,求.8.5隐函数的求导设,都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数,证明.对于方程,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且,则由方程可以确定函数,即是,的函数,而,是自变量,此时具有偏导数,同理, ,所以.8.6多元

8、函数的极值及其求法1.设在点处具有偏导数,若,则函数在该点取得极值,命题是否正确? 不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？ 不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。 例如，二元函数，由二元函数极值判别法： ，解得 ， 解得 故得驻点， 由于 ，以及，所以，是函数的惟一极小值点，但是，故不是在D上的最小值.线性代数部分知识点、难点关于 是考研题中一个常见的已知条件，对于应当有两种思路：设是矩阵，是矩阵，若，则（1）的列向量是齐次方程组的解

9、（2）2、关于 也是考研中常见的一种题型，也是考生比较畏惧的一种题型，他的特点是题干简单，已知较少，所以考生有时候觉得无从下手，其实所有的题都是由基本东西转换而来的，考生只要掌握其基本思路，就不会觉得太难了。下面仅举两例以示说明：设是阶非0矩阵，满足，且，证明行列式。【证法一】（用秩）据已知有，那么因为，即，那么秩从而秩，故。【证法二】（用有非零解）据已知有，即的列向量是齐次方程组的解，又因，所以有非零解，从而。设A为阶矩阵，满足，证明。【证明】因为所以 又因于是故必有 3、代数余子式求和一般这类题，出题者绝对不会考察考生的计算求余子式的能力，而是重点考察对代数余子式的理解和其基本性质的应用，

10、所以考生一定要灵活掌握，掌握基本思想。下面请看一例：设行列式 则第4行元素余子式之和的值为_【分析】4、伴随矩阵伴随矩阵是现代中比较重要的概念，也是一个常考的点，出题点一般是结合逆矩阵来求解的，所以考生在深刻掌握伴随矩阵概念的同时，也应该熟记一些和伴随有关的公式定理，这类型题一般解法较多比较灵活，所以关键还是它的定义和基本性质，考生因该以不变应万变，一个典型例题就是证明：5、初等变换 初等变换是一个非常重要的概念，它可以简化许多问题，但是考生在应用初等变换上还不是很熟练，有时候根本就不知道初等变换是用来干什么的。首先建议学员一定要弄清楚概念，它具有什么性质。知道行变换就是左乘初等矩阵，列变换就

11、是右乘初等矩阵，然后就可以化简计算。初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵。例如：即 例4，设，则 答案：【分析】利用初等矩阵。矩阵A的一、二两行互换后再二、三两行互换，然后一、二两列互换后再二、三两列互换，即是矩阵B，即可见6、线性相关性线性相关性是考察的重点之一。而且多以证明题的形式出现，通常在选择题中出现较多，对于这块内容，应用定义去证明线性相关性是考生的难点，同时也是考察的重点。解题的方法也比较单一，多用定义证明。所以考生一定要在深刻理解定义的基础上去灵活运用，通过练习掌握这块仅有的一点方法。例5，设是阶矩阵，是维列向量，若，证明向量组， ，线性无关【证】（用定义、同乘）设 （1）由

12、于知，用左乘（1）式两端，并把，代入，有 因为，故=0把代入（1）式，可知 从而类似可得，所以， ，线性无关。例6，设4维列向量线性无关，且与4维列向量均正交，证明线性相关。【证】（用秩）构造矩阵 则矩阵A是秩为3的矩阵，由于 所以均是齐次方程组的解。那么，从而线性相关。7、线性表出 线性表出也是常考得一类题型，考察的形式多结合线性相关，线性无关。应结合他们的定义与线性表出的概念，以及他们之间的联系来解题。这类题多用反正法，考生应熟练掌握这部分的题型，负责可能拿到手后根本没有思路，当遇到这种情况时，建议从最基本的定义和概念出发，一步步往结论处求证。有些题可以利用线性相关、五官、向量组得知、极大

13、线性无关组等概念之间的关系直观的得出结论。例7，设是维向量组，则（ ）不正确。如果，则任何维向量都可以用线性表示；如果任何维向量都可以用线性表示，则；如果，则任何维向量都可以用唯一线性表示；如果，则存在维向量不能用线性表示。【分析】利用“用秩判断线性表示”的有关性质。当时，任何维向量添加进时，秩不会增大，从而（A）正确。如果（B）的条件成立，则任何维向量组都可以用线性表示，从而如果取是一个阶可逆矩阵的列向量组，则得到，从而（B）正确。（D）是（B）的逆否命题，也正确。当时，不能保证任何维向量可用线性表示（如时），因此（C）不正确。8、过渡矩阵过渡矩阵是考试所要求的考点之一，但不是每年都出题的。

14、所以考生在复习时容易忽略这个考点，其实考察的东西很简单，只要考生抓住概念就可以了，出题也只会考察它的概念，不会出很深的知识点。【定义】设和都是V的基，并设在中的坐标为称矩阵 为到的过渡矩阵。此时，如果V中的向量在中德坐标为，在中的坐标为，则有坐标变换公式 两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。9、关于基础解系 基础解系是线性代数中一个非常重要的概念，对于这块内容的考察也是一个重点，但是我们在答疑或者是改卷过程中发现还是有很多同学概念混淆，所以由必要在此强调。【定义】设是的解向量，如果（1）线性无关；（2）的任一个解向量可由线性表示，则称是的一个基础解系。10、如何确定自由变量并赋值？很多考生

15、在这块也容易犯错误，因为不同的赋值方法可能得到不同的结果，所以考生只要概念理解清楚，按照步骤就一定能得到正确答案，下面介绍确定自由变量并赋值的基本步骤：对系数矩阵作初等行变换化其为阶梯形由秩确定自由变量的个数找出一个秩为的矩阵，则其余的列对应的就是自由变量每次给一个自由变量赋值为1，其余的自由变量赋值为0（注意共需赋值次）。 对阶梯形方程组由下往上依次求解，就可以得到方程组得解。11、关于公共解 公共解也是一个考点，公共解的求解一般有固定的方法，考生针对题型掌握其中的一两种就可以了，下面以例题形式介绍公共解的几种处理方法：例8，设有两个4元齐次线性方程组 （） （）求线性方程组（）的基础解系；试问方程组（）和（）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。关于公共解，有以下