河南省新蔡县2021-2022学年高三第四次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在的展开式中，的系数为( )A-120B120C-15D152如图在一个的二面角的棱有两个点，

2、线段分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，且，则的长为（ ）A4BC2D3给出下列四个命题：若“且”为假命题，则均为假命题；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；若命题，则命题，；设集合，则“”是“”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）ABCD4下列不等式成立的是（ ）ABCD5已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则的内切圆的半径为（ ）ABCD6在棱长均相等的正三棱柱中，为的中点，在上，且，则下述结论：；平面平面：异面直线与所成角为其中正确命题的个数为( )A1B2C3D47已知，若，则向量在向量方向的投影为（ ）ABCD8已知数列满足：，则( )A1

3、6B25C28D339空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A这20天中指数值的中位数略高于100B这20天中的中度污染及以上（指数）的天数占C该市10月的前半个月的空气质量越来越好D总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好10椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形

4、成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD11如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（ ）ABCD12已知定义在上的奇函数满足，且当时，则（ ）A1B-1C2D-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量，若向量与共线，则_.14在中，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为_.15的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则_16已知在等差数列中，前n项和为，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x

5、2|m）（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）2的解集是R，求m的取值范围18（12分）某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望.19（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直

6、线上的圆与轴相切，且关于点对称.（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.20（12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，.（1）若，证明：平面平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.21（12分）已知，.（1）求的值；（2）求的值.22（10分）在中，角，的对边分别为，已知（1）若，成等差数列，求的值；（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数【详解】的展开式的通项

7、公式为，令，即时，系数为故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题2A【解析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求【详解】解：，故选：【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3B【解析】利用真假表来判断，考虑内角为，利用特称命题的否定是全称命题判断，利用集合间的包含关系判断.【详解】若“且”为假命题，则中至少有一个是假命题，故错误；当内角为时，不是象限角，故错误；由特称命题的否定是全称命题知正确；因为，所以，所以“”是“”的必要条件，故正确.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的问题，

8、涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.4D【解析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于，错误；对于，在上单调递减，错误；对于，错误；对于，在上单调递增，正确.故选：.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.5B【解析】设左焦点的坐标， 由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点，由题

9、意可得，由，可得，所以双曲线的方程为: 所以，所以三角形ABF2的周长为设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，所以，解得，故选：B【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.6B【解析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出的正误；判断是的中点推出正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断的正误【详解】解：不妨设棱长为：2，对于连结，则，即与不垂直，又，不正确；对于，连结，在中，而，是的中点，所以，正确；对于由可知，在中

10、，连结，易知，而在中，即，又，面，平面平面，正确；以为坐标原点，平面上过点垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系；， ， ， ， ；， ；异面直线与所成角为，故不正确故选：【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力7B【解析】由，再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【详解】， 向量在向量方向的投影为.故选：B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题8C【解析】依次递推求出得解.【详解】n=1时，n=2时，n=3时，n=4时，n=5时，.故选：C【点睛】本题主要考查递

11、推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9C【解析】结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确.【详解】对于，由图可知天的指数值中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确.对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确.对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误.对于，由图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确.故选：【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.1

12、0C【解析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为，短轴长为6，所以椭圆离心率，所以.故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.11C【解析】直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值【详解】设抛物线的准线为，直线恒过定点，如图过A、B分别作于M，于N，由，则，点B为AP的中点、连接OB，则，点B的横坐标为，点B的坐标为，把代入直线，解得，故选：C【点睛】

13、本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.12B【解析】根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x0，1时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1【详解】是定义在R上的奇函数，且；的周期为4；时，；由奇函数性质可得；时，；.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能

14、力和计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】计算得到，根据向量平行计算得到答案.【详解】由题意可得，因为与共线，所以有，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.14【解析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在中，如下图所示，底面圆的半径为，则所形成的几何体的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.15【解析】试题分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，其系数之和为，

15、解得考点：二项式定理1639【解析】设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.【详解】设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.故答案为：39【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），（2） 【解析】试题分析：用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式，根据绝对值三角不等式得出，不等式|x+1|+|x2|m+4解集是R，只需m+43，得出的范围.试题解析：（1）由题设知：|x+1|+|x2|7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x

16、）的定义域为（，3）（4，+）（2）不等式f（x）2即|x+1|+|x2|m+4，xR时，恒有|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，不等式|x+1|+|x2|m+4解集是R，m+43，m的取值范围是（，118（1）；（2）20.【解析】（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；（2）的可能取值为：0，10，20，30，1分别求出取各个值时的概率，即可求出分布列和数学期望.【详解】（1）1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，所以1名顾客摸球2次摸奖停止的概率（2）的可能取值为：0，10

17、，20，30，1,随机变量X的分布列为： X 0 10 20 30 1 P 数学期望.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.19（1）,；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）设的标准方程为，由题意可设结合中点坐标公式计算可得的标准方程为半径，则的标准方程为 （2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得联立直线与抛物线的方程有设，利用韦达定理结合弦长公式可得 则即 详解：（1）设的标准方程为，则已知在直线上，故可设 因为关于对称，所以解得 所以的标准方程为 因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为 （2）设的斜率为，那么其方程为，则到的距离，所以由消去并整理得：设，则

18、，那么 所以所以，即 点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式20（1）见解析（2）【解析】(1)由已知可证得平面,则有,在中,由已知可得,即可证得平面,进而证得结论.(2) 过作交于,由为的中点,结合已知有平面.则,可求得.建立坐标系分别求得面的法向量,平面的一个法向量为,利用公式即可求得结果.【详解】（1）证明：平面，平面，,又四边形为正方形，.又、平面，且，平面.中，为的中点，.又、平面，平面.平面，平面平面.（2）解：过作交于，如图为的中点，.又平面，平面.，.所以,又、两两互相垂直，以、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.，设平面的法向量，则，即.令，则，.平面的一个法向量为.二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.21（1）（2）【解析】（1）先利用同角的三角