湖北卷文科数学试题与解答(全解析)

1、 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题及参考答案（湖北文1）已知全集，集合，则A B C D【湖北文1解答】B （湖北文2）已知，则双曲线：与：的A实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等【湖北文2解答】D 在双曲线：与：中，都有，即焦距相等. 甲（湖北文3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A B C D【湖北文3解答】A 因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则是“没有降落在指定范围”，是“乙没有降落在指定范围”，所以命

2、题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 . （湖北文4）四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： y与x负相关且； y与x负相关且； y与x正相关且； y与x正相关且.其中一定不正确的结论的序号是A B C D 【湖北文4解答】D 在 EQ oac(,1)中，y与x不是负相关； EQ oac(,1)一定不正确；同理 EQ oac(,4)也一定不正确. （湖北文5）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 ABCD时间时间

3、时间时间OOOO距学校的距离 【湖北文5解答】C 可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x轴的一条线段，由此可以排除D；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B. 故选C.（湖北文6）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，

4、则m的最小值是A B C D【湖北文6解答】B 因为可化为（xR），将它向左平移个单位得，其图像关于y轴对称.（湖北文7）已知点、，则向量在方向上的投影为A B C D 【湖北文7解答】A =（2,1），=（5,5），则向量在向量方向上的射影为.（湖北文8）x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A奇函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数【湖北文8解答】D 函数表示实数x的小数部分，有 ， 所以函数是以1为周期的周期函数.（湖北文9）某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过2

5、1辆，且型车不多于型车7辆则租金最少为A31200元 B36000元 C36800元 D38400元【湖北文9解答】C 根据已知，设需要A型车x辆，B型车y辆，则根据题设，有 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为A(7，14)，B(5，12)，C(15，6），目标函数（租金）为，如图所示. 将点B的坐标代入其中，即得租金的最小值为： （元）.（湖北文10）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是A B C D【湖北文10解答】B ，由由两个极值点，得有两个不等的实数解，即有两个实数解，从而直线与曲线有两个交点. 过点（0，1）作的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率，切线方程为. 切点在

6、切线上，则，又切点在曲线上，则，即切点为（1，0）.切线方程为. 再由直线与曲线有两个交点.，知直线位于两直线和之间，如图所示，其斜率2a满足：02a1，解得0a.二、填空题：（湖北文11） 为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 .【湖北文11解答】 复数在复平面内的对应点Z1（2，3），它关于原点的对称点Z2为（2,3），所对应的复数为i.（湖北文12） 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：否输入开始结束是输出第13题图7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（）平均命中环数为 ； （）命中环数的标准差为 .【湖北文12解答】（）7 ；（）2 =. （湖北

7、文13）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入的值为2， 则输出的结果 . 【湖北文13解答】4 初始值m=2，A=1，B=1,i=0，第一次执行程序，得 i=1，A=2，B=1，因为AB不成立，则第二次执行程序，得i=2，A=22=4，B=12=2，还是AB不成立，第三次执行程序，得 i=3，A=42=8，B=23=6，仍是AB不成立，第四次执行程序，得i=4，A=82=16，B=4=24，有AB成立，输出i=4.（湖北文14）已知圆：，直线：（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .【湖北文14解答】4 这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线的距离为，所以圆上到直线的距离

8、等于1的点有4个，如图A、B、C、D所示. （湖北文15）在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 . 【湖北文15解答】3 因为区间的长度为6，不等式的解区间为m，m ，其区间长度为2m. 那么在区间上随机地取一个数x，要使x满足的概率为，m将区间 分为2，m和m，4 ，且两区间的长度比为5:1，所以m=3. （湖北文16）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. （注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）【湖北文16解答】

9、3 如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为（立方寸），盆口面积S=196（平方寸），所以，平地降雨量为3（寸）. （湖北文17）在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为. 例如图中是格点三角形，对应的，.（）图中格点四边形DEFG对应的分别是 ；（）已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数. 若某格点多边形对应的， 则 （用数值作答）.【湖北文17解答】（）3, 1, 6 S=SDFG+SDEF=1+2=3 ，N=1，L=6；（）79 根据题设是

10、格点三角形，对应的，有 ， EQ oac(,1) 由（）有， EQ oac(,2) 再由格点DEF中，S=2，N=0，L=6，得， EQ oac(,3) 联立 EQ oac(,1) EQ oac(,2) EQ oac(,3)，解得 所以当，时， .（湖北文18）在中，角，对应的边分别是，. 已知.（）求角A的大小；（）若的面积，求的值.【湖北文18解得】（）由，得, 即，解得 或（舍去）. 因为，所以. （）由得. 又，知. 由余弦定理得故. 又由正弦定理得. （湖北文19）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合

11、；若不存在，说明理由 【湖北文19解答】（）设数列的公比为，则，. 由题意得 即 解得 故数列的通项公式为.（）由（）有 . 若存在，使得，则，即 当为偶数时， 上式不成立；当为奇数时，即，则.综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为. 第20题图（湖北文20（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为（）证明：中截面是梯形；（）在A

12、BC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明. 【湖北文20解得】（）依题意平面，平面，平面，所以A1A2B1B2C1C2. 又，且 .因此四边形、均是梯形.由平面，平面，且平面平面，可得AA2ME，即A1A2DE. 同理可证A1A2FG，所以DEFG. 又、分别为、的中点，则、分别为、 的中点，即、分别为梯形、的中位线. 因此 ，而，故，所以中截面是梯形. （）. 证明如下：由平面，平面，可得.而EMA1A2，所以，同理可得. 由是的中位线，可得即为梯形的高， 因此，即. 又，所以.

13、于是.由，得，故. （湖北文21）设，已知函数.（）当时，讨论函数的单调性；（）当时，称为、关于的加权平均数.（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；（ii）、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H. 若，求的取值范围. 【湖北文21解答】（）的定义域为，. 当时，函数在，上单调递增；当时，函数在，上单调递减. （）（i）计算得，. 故, 即 . 所以成等比数列.因，即. 由得. （ii）由（i）知，.故由，得 . 当时，. 这时，的取值范围为； 当时，从而，由在上单调递增与式， 得，即的取值范围为；当时，从而，由在上单调递减与式，第22题图 得，即的取值范围为. （湖北文22）如图

14、，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D记，和的面积分别为和.（）当直线与轴重合时，若，求的值； （）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由 【湖北文22解答】依题意可设椭圆和的方程分别为：，：. 其中，（）解法1：如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则，所以. 在C1和C2的方程中分别令，可得，于是.若，则，化简得. 由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则. 解法2：如图1，若直线与轴重合，则，；，.所以. 若，则，化简得. 由，可解得.故当直线与轴重合时，若，则. 第22题解答图1第22题解答图2（）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，则因为，所以. 又，所以，即. 由对称性可知，所以，于是. 将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得，.根据对称性可知，于是. 从而由和式可得. 令，则由，可得，于是由可解得.因为，所以. 于是式关于有解，当且仅当，等