近世代数课后习题详细答案(张禾瑞)5

1、 / 7近世代数课后习题参考答案第五章扩域1扩域、素域1.证明：F(S)的一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集是一个域.证一切添加S的有限子集于F所得的子域的并集为 Z1)若 a,b-Z则一定有 aw Fl%,也，o(n)bw F(Pi,P2,Pm)易 知 abw F3i,”%，冏且,，Pm但Fa,%,看下1朋,，Bm)u从而baZ2)若 a,bw ,且 b=0则 bw F(P1,P2,，Pm)从而有 abd - F(：-i,： 2； ： n, -1, -2, , -m)、2单扩域.令E是域F的一个扩域，而 awF证明a是F上的一个代数元，并且F(a) =F证 因aa=0故a是F上的代数元

2、.其次，因aw F ,故F (a) u F 易见 F (a) n F ,从而 F (a) = F. 一2i . 1 , .令F是有理数域.复数i和2一1在F上的极小多项式各是什么?2i 1i -F(i)与F()是否同构？i -1证易知复数i在F上的极小多项式为1,在F上的极小多项式为 x2 - x + 5巾2i 1、 一、. 2 ,因F(i) =F() 故这两个域是同构的.i -12i 1i -1.详细证明，定理3中 a在域F上的极小多项式是 p(x)证 令熊是F(x)中的所有适合条件 f (a) =0的多项式作成f(x)的集 合.1)四是F(x)的一个理想(i )若 f(x),g(x)w爪则

3、 f(a)=0,g(a)=0因而 f (a) g(a) =0 故 f(x) g(x)三方ii)若f(x)E叫h(x)是F(x)的任一元那么 h(a)f(a) = 0 则 h(x)f (x) W 熊2)是一个主理想设 R (x)是求中a !的极小多项式那么，对方中任一 f (x)有f (x)= Pi(x)q(x) r(x)这里r(x) =0或r(x)的次数但 f(a) = pi(a)q(a) R(x)因 f (a) =0, pi(a) =0 所以 r(a)=0若 r(x) #0 则与p1x是a的极小多项式矛盾.故有 f(x) = p1(x)q(x)因而由=(p1(x)(3 )因 p(a)=0 故

4、 p(x) w 次P(x)| p(x)因二者均不可约，所以有 p(x) = ap(x)又p(x), pi(x)的最高系数皆为1那么a =1这样就是p(x) = P (x).证明：定理3中的 F(a) = K证 设f w K,则在定理3的证明中， K =K之下有. nn -1fan x - anx +a但 aT x, aai 故必 f = an5 + an4+ a。 这就是说k a F (a) 因而F (a) = K3代数扩域1 .令E是域F的一个代数扩域，而 a是E上的一个代数元，证明a是E上的一个代数元证因为a是F上的代数元所以 e0 , e 一en：-n又因为E是f的代数扩域，从而F(e0

5、,； en)是F的代数扩域，再有a是F(e0，e，4)上的代数元，故F(e0,en)(a)F(q,e,，en )的有限扩域，由本节定理1 ,知F(e0,e, ,：)是F的有限扩域，因而是F的代数扩域，从而a是F上的一个代数元.令F ,E和L是三个域，并且 F u lu E ,假定(I : F ) = m而E的元口在F上的次数是n,并且(m,n)=1证明a在I上的次数也是1证设(I (a): I =r因为 I (二.)_： I _： F由本节定理1(I(a)： F)=rm另一方面，因为(FQ) :F)(I (口)：F仍由本节定理！ ！即有nrm但由题设知(m,n)=1 故nr又ot在I上的次数是

6、r,因而其在I上的极小多项式的次数是1a在I上的次数是n ,因而其在F上的极小多项式的次数是 n由于a在上的极小多项式能整除 口在F上的极小多项式所以r n因而r = n.令域！的特征不是2 ,E是F的扩域，并且(E： F) =4证明存在一个?t足条件F u I u E的E的二次扩域 F的充分与必要条是：(E:F)=4,而a在F上的极小多项式是x4 + ax2 + b证充分性：由于在F上的极小多项式为 x4 +ax2 +b故a2 正 F 及a F232)因而(F(a2)：F)#1由本节定理1知：所以(F(a2)：F)=2这就是说，F(a)是一个满足条件的的二次扩域必要性：由于存在I满足条件F

7、u I u E且为F的二次扩域即(1: F) =2因此可得(E :1) =2我们容易证明，当 F的特征不是2时，且则而！在！上的极小多项式是！同样 E = I (a)而B在x2 - f上的极小多项式是这样 =f , f F , 2 二i,i I那么 i2 = f12 2f f22 -所以二4 =i2二 f12 2f1f2f”= 2 f12 2 f 心 f222令 a = 一2 f1 b = f12 一 f22 f同时可知a, b均属于F二口 4 + act2 + b = 0由此容易得到E=F(a04.令E是域F的一个有限扩域，那么总存在E的有限个元 四产2,使E =F3i02，证 因为E是F的

8、一个有限扩域，那么把E看成F上是向量空间时，则有一个基 %,0(2，0fn显然这时E = F(：2；1 m)5.令F是有理数秒、看添加复数于F所得域”Ei =F(23,2i)E2 = F(23,23wi)证明(F(23) =2,(Ei： F) =6证 易知！在！上的极小多项式是！ 2即(F(23) :F -3 122同样23上呼极小多项式是 x4 -23x2 +2 *2即(E2；F(23) =4由此可得(Ei :F) =6,旧：F) =124多项式的分裂域F(a) TOC o 1-5 h z .证明：有理数域 F上多项式x4 +1的分裂域是一个单扩域 其中a是x4 +1的一个根 、一4证 x

9、+1的4个根为2 i 22 i、22 i、2a0 二, a1 二 一 ,a2 二一22222222又 a1 = a；a2 = -a4,a3 = -a所以 F(a,a1,a2,a3) = F(a).令F是有理数域，x3 - a是F上一个不可约多项式，而 a是x3 - a的一个根，证明 F(a)不是x3-a在F上的分裂域.证 由于a是x3 - a的一个根，则另外两个根是a巴a82,这里z , 1是x2 + x +1的根若F (a)是x3 a的在H上的分裂域那么 aaa w F(a)这样，就是 F u F(8)u F(a)由3。3定理！有但 (F(；):F)|(F(a)F)此为不可能.令pi(x),

10、 P2 (x)，pm(x)是域F上m个最高系数为1的不可约多项式， 证明存在F的一个有限扩域F(a,a2，am),其中a在F上的极小多 项式是pi (x)证 令f (x)= r (x), P2 (x)，Pm(x)由本节定理2 f (a)在F上的分 裂域E存在，根据4.3定理3 ,知E是F上的有限扩域，取pi(x)的根ai则有F F, a?, am) E因 E 是F的有限扩域，故F(a,a2,am也是F的有限扩域，显然 Pi(x) !是ai在F上的极小多项式.令p是一个特征为素数 p的域，F = p(a)是P的一个单扩域，而a是px的多项式xpa的一个根，p(a)是不是xpa在F上的分裂域？证因

11、值是xpa的根故 apa=0 即 a=ap由于P的特征为素数！所以 xp -a =xp因此p(豆)是xpa在P上的分裂域5有限域.令F是一个含pn个元的有限域，证明，对于 n是每一个 因数m：0 ,存在并且只存在 F的一个有pm个元的子域L证 因为m是n的因数，所以(pn 1) = (pm 1)mn那么xp -1是xp x的因式，mm但xp -x在F中完全分裂，所以xp -x在F中也完全分裂，那么F m中含有xp -x的pm个根，由这pm个根作成F 一个子域L .m又因为xp -x在F中的分裂域只有一个，所以 F中有pm个元的子L 只有一个. 一个有限域一定有比它大的代数扩域.证设F是有q个元

12、的有限域.看 F 上白f f (x) =xq - x +1因为对F的任一元a, f (a) =1因此，f(x)在F上没有一次因式.这样，f(x)在F上有一个一次数：1的不可约因式p(x).作p(x)分裂域E则EnF 而E#F且E是F的代数扩域.令F是一个有限域，是它所含素域，且 a是否必须F是的非零元所作成的乘群的一个生成元？证我们的回答是未必.令是3元素域 f(x)=x9-x在上的分裂域为F,若令f(x)的因 式！的根为i ,则 F 由 0,1,1,i,1 +i,1 +i,1 i,所组成，i4 =1 !故i不是F非零元所作成的乘群的生成元.但 F =A(x)。.令是特征为2的素域.A(x)!

13、找出的一切三次不可约多项式.证容易证明32.3 一4 一.x +x +1及x + x+1是&(x)的一切三次不可约多项式.6可离扩域.令域F的特征是p, f(x)是F上一个不可约多项式，并且 f (x)可以写 ee 11成Fxp，但不能写成xp的多项式(e之1),证明，f(x)的每一个根的重复 度都是pee 1证 由于f(x)可以写成F上xp的多项式，而不是xp的多项式， e我们以f(x) = g(xp ) =g(y)表示因为 f(x)在F上不可约，所以g(y)也不可约. TOC o 1-5 h z 假定g(y)的次数是m ,首系数是1,在它的分裂域中，分裂为 1次因 -m-式y - R 的乘

14、积，即g(y)=n(y - B) m ei 1因此 f(x) -Ji.I (xp - -) i 1 ee若是xp -p的根，则 ap =Peepe那么 xp=xp -二：=(x-)p所以f (x)有m个互异个根 石,c(m,并且它们都是 pe重根.设域F没有不可离扩域，证明 F的任一代数扩域 都没有不可离扩域.证 设E是F的一个代数扩域， 口是E的一个不可离元， 那么口便是E上一个有重根是不可约多项式 p(x)的根.根据题设s是F上是可离元，令p1(x)是起极小多项式，则Pi(x)无重根.那么 p(x)d(x),因pi(x)无重根，故p(x)亦无重根， 这与口是E的不可离元的假设矛盾.令域F的特征是p而E = F(ct,P),这里a是 F上次可离元而P 是F上P次非可离元，(E : F) =?证 由本节引理4 , P是F上的非可离元，否则可以推出 P是F上的可离元，这与 P是F上非可离元矛盾，由于P是F上P次非可离元，由本节引理1 ,!在p在F上的极小多项式是f (x) = xp -a我们易知p是使P p在F上为可离元的最小正整数，那么P !在F(a)上也-一定是 p次非可离元.这样 f (x) =xp -aF(- , -)：F(a) 故有(F(