第20讲 函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用(共5页)

1、第20讲函数(hnsh)yAsin（x）的图象及三角函数模型(mxng)的简单应用知识(zh shi)梳理一、五点法画函数yAsin(x)的简图用五点法画函数yAsin(x)一个周期内的简图，要确定五个特征点，如下表所示：xeq f(,)eq f(f(,2),)eq f(,)eq f(f(3,2),)eq f(2,)x0eq f(,2)eq f(3,2)2yAsin(x)0A0A0具体做法是：先令_取0，eq f(,2)，eq f(3,2)，2五个值，求出相应的x、y的值，再描点作图二、函数yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：数yAsin(x)中各量的物

2、理意义 简谐振动振幅周期频率相位初相yAsin(x)(A0，0)ATeq f(2,)feq f(1,T)x三、函数ysinx的图象经平移变换得到yAsin(x)的图象的步骤方法一：先画出函数ysinx的图象，再把正弦曲线向左(右)平移_个单位长度，得到函数_的图象；然后使曲线上各点的横坐标都变为原来的_倍，得到函数_的图象；最后把曲线上各点的_变为原来的_倍，这时的曲线就是函数yAsin(x)的图象方法二：先画出函数ysinx的图象，再使曲线上各点的横坐标都变为原来的_倍，得到函数_的图象；然后把正弦曲线向左(右)平移_个单位长度，得到函数_的图象；最后把曲线上各点的_变为原来的_倍，这时的曲

3、线就是函数yAsin(x)的图象以上两种方法的区别：方法一先平移再伸缩，方法二先伸缩再平移特别注意方法二中的平移量疑难辨析1利用函数yAsin(x)图象的伸缩与平移变换求解析式(1)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位长度一样()(2)要得到函数ysin2x的图象，只需把函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)的图象向右平移eq f(,3)个单位长度()(3)把函数ysinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq f(1,2)(纵坐标不变)，得到函数ysineq f(1,2)x的图象()2求三角函数的单调区间函数ysin(

4、2x)的递减区间是eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)k，f(,4)k)(kZ)()3求三角函数的周期函数y2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,4)的频率为eq f(4,)，初相为eq f(,4).()考点一函数yAsin(x)的图象及变换例1(1)山东卷 已知向量m(sinx，1)，neq blc(rc)(avs4alco1(r(3)Acosx，f(A,2)cos2x)(A0)，函数f(x)mn的最大值为6，将函数yf(x)的图象向左平移eq f(,12)个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq f(1,2)倍，纵坐标不变，得到函

5、数yg(x)的图象，则g(x)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(5,24)上的值域为_ (2) 给出下列六种图象变换方法：图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq f(1,2)；图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；图象向右平移eq f(,3)个单位；图象向左平移eq f(,3)个单位；图象向右平移eq f(2,3)个单位；图象向左平移eq f(2,3)个单位请用上述变换中的两种变换，将函数ysinx的图象变换到函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,3)的图象，那么这两种变换正确的标号是_(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确

6、的标号即可)归纳总结由函数ysinx(xR)的图象经过平移变换得到函数yAsin(x)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来变式题 (1)将函数ysin2x的图象向左平移(0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为_(2)设函数f(x)eq r(2)2eq r(6)sinxcosx2eq r(2)sin2x(xR)，对f(x)的图象作如下变换：先将f(x)的图象向右平移eq f(,12)个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)_考点(ko din)二函数yAs

7、in(x)的解析(ji x)式的求法例2函数(hnsh)yAsin(x)(A0，0，0)的图象的两个相邻零点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0)，且该函数的最大值为2，最小值为2，则该函数的解析式为_归纳总结利用图象求函数yAsin(x)(A0，0)的解析式主要从以下三个方面考虑：根据最大值或最小值求出A的值根据周期求出的值根据函数图象上的某一特殊点求出的值变式题(1)如图表示的函数f(x)Asin(x)(0，0，2)的部分图象，则解析式为f(x)_(2)已知函数yAsin(x)m的最大值为4，最小值为0，最小

8、正周期为eq f(,2)，直线xeq f(,3)是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是_y4sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,6)；y2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)2；y2sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,3)2；y2sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,6)2.考点三函数yAsin(x)的性质应用例3 湖北卷 已知向量a(cosxsinx，sinx)，b(cosxsinx，2eq r(3)cosx)设函数f(x)ab(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且eq blc(r

9、c)(avs4alco1(f(1,2)，1).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)，求函数f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(0，f(3,5)上的取值范围归纳总结函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把x看做一个整体在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想变式题设函数f(x)eq r(3)cos2xsi

10、nxcosxa(00，00，|0)的图象与y1的图象的两相邻交点间的距离为，要得到yf(x)的图象，只需把ysinx的图象()A向右平移eq f(11,12)个单位长度B向右平移eq f(5,12)个单位长度C向左平移eq f(11,12)个单位长度D向左平移eq f(5,12)个单位长度课后习题(xt)（函数(hnsh)yAsin（x）的图象及三角函数模型的简单(jindn)应用）1给定性质：a：最小正周期为；b：图象关于直线xeq f(,3)对称则下列四个函数中，同时具有性质ab的是_ysineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,6)；ysineq blc(rc)(a

11、vs4alco1(2xf(,6)； ysin|x|；ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).2若函数f(x)2sinx(0)在eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，f(2,3)上单调递增，则的最大值为_3有一种波，其波形为函数ysineq f(,2)x的图象，若在区间0，t上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是_4已知函数f(x)asin2xcos2x(aR)图象的一条对称轴方程为xeq f(,12)，则a的值为_5已知函数f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)(0)，将函数yf(x)的图象向右平移eq f(

12、2,3)个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值等于()A.eq f(1,3) B3 C6 D96函数ysin3x的图象可以由函数ycos3x的图象()A向左平移eq f(,2)个单位得到 B向右平移eq f(,2)个单位得到C向左平移eq f(,3)个单位得到 D向右平移eq f(,3)个单位得到7如果函数ycos(2x)的图象关于点eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，0)中心对称，那么|的最小值为()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(,2)82013课程标准卷 已知0，函数f(x)sineq blc(rc)(avs

13、4alco1(xf(,4)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)单调递减，则的取值范围是()A.eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(5,4) B.eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(3,4) C.eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2) D(0，29函数f(x)Asin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(其中A0，|0，)的图象如图所示，则_.112013全国卷 当函数ysinxeq r(3)cosx(0 x0)的图象向右平移eq f(,3)个单位长度后，与函数ysineq blc(rc)(avs4alco

14、1(xf(,4)的图象重合，则的最小值为_13若eq f(,4)x0，0，eq f(,2)0，0，eq f(,2)eq f(,2).(1)根据图象求函数yf(x)的解析式；(2)若函数(hnsh)g(x)feq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)，实数(shsh)满足(mnz)0，且eq iin(,)g(x)dx3，求的值课后习题答案（函数yAsin（x）的图象及三角函数模型的简单应用）1 2.eq f(3,4) 35 4.eq f(r(3),3)5B6A7A8A9A10.eq f(9,10)11.eq f(5,6)12.eq f(7,4) 13814解：(1)由函数图象及函数模

15、型f(x)Asin(x)知A2；由eq f(2,)Teq f(13,3)eq f(,3)4，得eq f(1,2)，由最高点eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，2)得，eq f(1,2)eq f(4,3)2keq f(,2)(kZ)，eq f(,6)2k(kZ)，又eq f(,2)eq f(,2)，eq f(,6).所求函数解析式为yf(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,6)(x0)(2)方法一：将yf(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,6)图象上各点的横坐标缩短到原来的eq f(1,2)，纵坐标

16、不变，得到yg(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象，eq f(,2)x，eq f(,3)xeq f(,6)eq f(5,6)，当xeq f(,6)eq f(,2)，即xeq f(2,3)时，g(x)有最大值2；当xeq f(,6)eq f(5,6)，即x时，g(x)有最小值1.方法二：将yf(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,6)图象上各点的横坐标缩短到原来的eq f(1,2)，纵坐标不变，得到yg(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象，令txeq f(,6)，函数y2sint的单

17、调递增区间是eq blcrc(avs4alco1(f(,2)2k，f(,2)2k)，kZ，由eq f(,2)2kxeq f(,6)eq f(,2)2k，得eq f(,3)2kxeq f(2,3)2k，kZ，设Aeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)，Beq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(f(,3)2kxf(2,3)2k，kZ)，则ABeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(2,3)，函数yg(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(2,3)上单调递增，同理可得，函数yg(x)在区间eq blcrc(avs4a

18、lco1(f(2,3)，)上单调递减又geq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq r(3)，geq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)2，g()1，函数yg(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，)上的最大值为2，最小值为1.15解：(1)f(x)ab2cos2xeq r(3)sin2xm2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)m1，函数f(x)的最小正周期Teq f(2,2).令eq f(,2)2k2xeq f(,6)eq f(,2)2k，kZ，得eq f(,3)kxeq f(,6)k，kZ，故f(x)的单调增区间为eq blcrc(avs4alco1(f(,3)k，f(,6)k)，kZ.因此f(x)在0，上的单调递增区间为eq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)，eq blcrc(avs4alco1(f(2,3)，).(2)当xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,6)时，f(x)单调递增，当xeq f(,6)时，f(x)取得最大值为m3，即m34，解之得m1，m的值为1.【难点突破】16解：(1)由函数图象及函数模型f(x)Asin(x)，知A2；由eq f(1,2)Teq f(7,6)eq f(,6