广东省东莞市东莞2022年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数的取值范围是（

2、 ）ABCD2设分别是双线的左、右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点（位于轴右侧），且四边形为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD3在直三棱柱中，己知，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD4设等差数列的前项和为，若，则（ ）A10B9C8D75已知为等腰直角三角形，为所在平面内一点，且，则（ ）ABCD6已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（ ）A1BCD8年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史

3、二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为ABCD9已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A2B5CD10根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( )A至少有一个样本点落在回归直线上B若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1C对所有的解释变量（），的值一定与有误差D若回归直线的斜率，则变量x与y正相关11已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）.A16BC5D412秦九韶是我国南宋时期的数学

4、家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出的值为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为_.14已知正方形边长为，空间中的动点满足，则三棱锥体积的最大值是_.15已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是_16已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实

5、数的取值范围为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.18（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，为其右焦点，且该椭圆的离心率为；（）求椭圆的标准方程；（）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点若，求取值范围19（12分）已知，其中（1）当时，设函数，求函数的极值（2）若函数在区间上递增，求的取值范围；（3）证明：20（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，

6、且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.21（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点求证：直线过定点并求出点的坐标；（3）在（2）的条件下，过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围22（10分）根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综

7、合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：45678的近似值5514840310972981参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

8、只有一项是符合题目要求的。1D【解析】因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，将其代入双曲线可解得【详解】因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，将其代入双曲线方程得：，即，由得故选：【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平2B【解析】由于四边形为菱形，且，所以为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.【详解】如图，因为四边形为菱形，所以为等边三角形，两渐近线的斜率分别为和.故选：B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.3C【解析】由条件

9、可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，解得从而得出异面直线与所成的角【详解】连接，如图：又，则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱，面，又，解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题4B【解析】根据题意，解得，得到答案.【详解】，解得，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5D【解析】以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.【详解】如图建系，则，由，易得，则.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本

10、定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6A【解析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由，则，所以；而当，则，解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.7C【解析】根据程序图，当x0继续运行，x=1-2=-10,故01时,不等式可化为,得x2,故1x 2. 综上，不等式的解集为（2）由题意知在R上恒成立，所以令，则当时，又当时，取得最小值，且又所以当时，与同时取得最小值.所

11、以所以，即实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.18（）；（），【解析】（）由题意可得，的坐标，结合椭圆离心率，及隐含条件列式求得，的值，则椭圆方程可求；（）设直线，求得的坐标，再设直线，求出点的坐标，写出的方程，联立与，可求出的坐标，由，可得关于的函数式，由单调性可得取值范围【详解】（），由，得，又，解得：，椭圆的标准方程为；（）设直线，则与直线的交点，又，设直线，联立，消可得解得，联立，得，直线，联立，解得，函数在上单调递增，【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌

12、握水平和分析推理计算能力19（1）极大值，无极小值；（2）（3）见解析【解析】（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；（2）先求导，再函数在区间上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；（3）取得到，取，可得，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.【详解】解：（1）当时，设函数，则令，解得当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以当时，函数取得极大值，即极大值为，无极小值；（2）因为，所以，因为在区间上递增，所以在上恒成立，所以在区间上恒成立当时，在区间上恒成立，当时，设，则在区间上恒成立所以在单调递增，则，所以，即综上所述（3）由（2）可知当时，函数在区间上递增

13、，所以，即，取，则所以所以【点睛】此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于较难题.20（1）（2）见解析，【解析】（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.【详解】（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.则，.所以.答：发生调剂现象的概率为.（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.则，.所以X的分布表为：X012P所以.【点睛】本题是一道考查概率和期望的常

14、考题型.21（1）；（2）证明详见解析，；（3）.【解析】(1)根据题意列出关于的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程, 进而求得的方程,并代入,化简分析即可.(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.【详解】解：设椭圆的标准方程焦距为,由题意得,由,可得则,所以椭圆的标准方程为；证明：根据对称性,直线过的定点一定在轴上,由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,联立,消去得到,设点,则所以,所以的方程为,令得,将,代入上式并整理,整理得,所以,直线与轴相交于定点当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,当过点的直线斜率存在时,设直线的方程为,且在椭圆上,联立方程组,消去,整理得,则所以所以,所以,由得,综上可得,的取值范围是【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.22（1），；（2）148万亿元.【解析】（1）由散