广东广州市2021-2022学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值

2、为（ ）A5B11C20D252函数在上的最大值和最小值分别为（ ）A，-2B，-9C-2，-9D2，-23下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）ABCD4已知命题：任意，都有；命题：，则有则下列命题为真命题的是（）ABCD5一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）ABCD6集合，则（ ）ABCD7已知，若，则（ ）ABCD8在平行四边形中，若则( )ABCD9已知，且，则的值为（ ）ABCD10从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（ ）ABCD11下列说法正确的是（ ）

3、A命题“，”的否定形式是“，”B若平面，满足，则C随机变量服从正态分布（），若，则D设是实数，“”是“”的充分不必要条件12设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13双曲线的焦距为_，渐近线方程为_14已知两圆相交于两点,，若两圆圆心都在直线上，则的值是_ .15已知“在中，”，类比以上正弦定理，“在三棱锥中，侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为，则_16若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是线段上一动点，.给出下列四个结论：为的重心；当时，平面；当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面

4、积为.其中，所有正确结论的序号是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在四棱锥的底面中，平面，是的中点，且（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由.18（12分）2019年是中华人民共和国成立70周年为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，并绘制了如图所示的频率分布直方图（1）现从年龄在，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；（2）若用样本

5、的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为当最大时，求的值19（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，若直线与曲线相交于、两点，求的值20（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求和的普通方程；（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.21（12分）如图，直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p0)交于M1,M2两点，直线y=p2与y轴交于点F，且直

6、线y=p2恰好平分M1FM2.（1）求p的值；（2）设A是直线y=p2上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M3交直线y=p2于点B，求OAOB的值.22（10分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：.组别频数（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：得分不低于的可

7、以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额(单位：元)概率现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式：，若，则，参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，中最大，最小，又，为三角形的三边长，且最大内角为， 由余弦定理得，设首项为，即得，所以或，又

8、即,舍去，d=-2前项和.故的最大值为.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.2B【解析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意，作出函数的图象如下所示；由函数图像可知，当时，有最大值，当时，有最小值.故选：B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.3C【解析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于

9、C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.4B【解析】先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.【详解】为真命题；命题是假命题，比如当,或时，则 不成立.则，均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.5C【解析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为

10、的等腰直角三角形、高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.6D【解析】利用交集的定义直接计算即可.【详解】，故，故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.7B【解析】由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算【详解】由，得，则，所以故选：B【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键8C【解析】由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的

11、性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形中, ,，,因为,所以,，所以，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.9A【解析】由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为，所以，又，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.10A【解析】设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的

12、双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.【详解】设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，由题意，则所求的概率为.故选：A.【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.11D【解析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.【详解】命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，则可能相交，故B错误；若，则，所以，故，所以C错误；由，得或，故“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相

13、关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.12C【解析】根据偶函数的性质，比较即可.【详解】解：显然，所以是定义域为的偶函数，且在单调递增，所以故选：C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。136 【解析】由题得 所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.14【解析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上，列出方程解得即可得到结论.【详解】由,，设的中点为，根据题意，可得,且，解得，,，故.故答案为：.【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质

14、，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.15【解析】类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角【详解】，故，【点睛】本题考查类比推理类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等16【解析】点在平面内的正投影为点，而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线垂直于平面，而为正三角形，可得为正三角形的重心，所以是正确的；取的中点，连接，则点在平面的正投影在上，记为，而平面平面，所以，所以正确；若设，则由可得，然后对应边成比例，可解，所以正确；由于，而的面积是定值，所以当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，而当点与点重合时，点到平面的距离最大，此

15、时为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以错误.【详解】因为，连接，则有平面平面为正三角形，所以为正三角形的中心，也是的重心，所以正确；由平面，可知平面平面，记，由，可得平面平面，则，所以正确；若平面，则，设由得，易得，由，则，由得，解得，所以正确；当与重合时，最大，为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以错误.故答案为：【点睛】此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）详见解析；（）；（）存在，点为线段的中点.【解析】（）连结，则四边形为平行四边形，得到证明.（）建立

16、如图所示坐标系，平面法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.（）设，计算，根据垂直关系得到答案.【详解】（）连结，则四边形为平行四边形.平面.（）平面，四边形为正方形.所以，两两垂直，建立如图所示坐标系，则，设平面法向量为，则，连结，可得，又所以，平面，平面的法向量，设二面角的平面角为，则.（）线段上存在点使得，设，所以点为线段的中点.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18（1）分布列见解析,（1）【解析】（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1，1，由离散型随机变量概率求法即

17、可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.（1）先求得年龄在内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值【详解】（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，年龄在的人数为人，年龄在内的人数为人年龄在内的人数为人所以的可能取值为0，1，1所以，所以的分市列为011 （1）设在抽取的10名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，所以，所以设，若，则，；若，则，所以当时，最大，即当最大时，【点睛】本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.19（1）的普通方程为，的直

18、角坐标方程为；（2）.【解析】（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，利用两角和的正弦公式以及可将直线的极坐标方程化为普通方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），并设点、所对应的参数分别为、，利用韦达定理可求得的值.【详解】（1）由，得，曲线的普通方程为，由，得，直线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，得，则，设、两点对应参数分别为、，.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.20（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）【解析】（1）消去曲线参数方程中的参数，

19、求得和的普通方程.（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.【详解】（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：.（2）设过原点的直线的极坐标方程为；由得，所以曲线的极坐标方程为在曲线中，.由得曲线的极坐标方程为，所以而到直线与曲线的交点的距离为，因此，即的最小值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.21（1）p=4；（2）OAOB=20.【解析】试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程y=2x-2x2=2py，化简写出根与系数关系，由于直

20、线y=p2平分M1FM2，所以kM1F+kM2F=0，代入点的坐标化简得4-(2+p2)x1+x2x1x2=0，结合跟鱼系数关系，可求得p=4；（2）设M3(x3,x328)，A(t,2)，B(a,2)，由A,M2,M3,三点共线得kM2M3=kAM2，再次代入点的坐标并化简得x2x3-t(x2+x3)=-16，同理由B,M3,M1三点共线，可得x1x3-a(x1+x3)=-16，化简得at=16，故OAOB=at+4=16+4=20.试题解析：（1）由y=2x-2x2=2py，整理得x2-4px+4p=0，设M1(x1,y1)，M2(x2,y2)，则=16p2-16p0 x1+x2=4px1x2=4p，因为直线y=p2平分M1FM2，kM1F+kM2F=0，所以y1-p2x1+y2-p2x2=0，即2x1-2-p2x1+2x2-2-p2x2=0，所以4-(2+p2)x1+x2x1x2=0，得p=4，满足0，所以p=4.（2）由（1）知抛物线方程为x2=8y，且x1+x2=1