55偏导数的应用

1、5.5.1 二元函数的极值与最值5.5 偏导数的应用1. 二元函数的极值 定义5.5.1 设函数z=f(x, y)在点 的某邻域内有定义, 如果对该邻域内一切异于 的点(x, y), 恒有不等式成立，则称函数z=f(x, y)在点 处取得极大值(或极小值) ，并称点 为函数f(x, y)的极大值点(或极小值点). 函数f(x, y)的极大值与极小值统称为极值, 函数f(x, y)的极大值点与极小值点统称为极值点.1 定理5.5.1（极值存在的必要条件) 如果函数f(x, y)在点 处有极值，且在该点处偏导数存在，则偏导数必为零，即 把使得 同时为零的点称为二元函数z=f(x, y)的驻点或稳定

2、点。2定理5.5.2(极值存在的充分条件) 设函数z=f(x, y)在点 的某邻域内连续并有连续的一阶及二阶偏导数，且 则 (1) 当 且A0时， 函数z=f(x, y)在点 处取得极小值；当 且A0时，函数在点 处取得极大值。 (2) 当 时， 函数在点 处不取得极值。 (3) 当 时， 函数在点 处是否取得极值，不能确定，需另法判别。35.5.2 二元函数的最值 对于定义在有界闭区域D上的二元连续函数, 只要求出函数在区域D内的全部极值点, 并算出其函数值; 求出函数在区域边界上的最大值与最小值, 再将函数的极值与函数在区域D的边界上的最值相比小较, 其中最大(小)的就是函数在闭区域D上的

3、最大(小)值. 在求解实际问题的最值时, 如果从问题的实际意义知道z=f(x, y)在区域D内一定取得最值, 且只有一个驻点, 则该驻点就是所求函数的最值点. 例5.5.2(最小用料问题) 要用铁皮做一个体积为5立方米有盖长方体水箱，怎样选取长、宽和高的尺寸，才能使用料最省？ 4 例5.5.3(最大利润问题) 某工厂生产甲, 乙两种产品, 其出售价格分别为10万元与9万元, 若生产x单位的甲产品与生产y单位的乙产品所需要的总费用为求甲, 乙两种产品的产量各为多少时, 才能获得最大利润?最大利润是多少?55.5.3 条件极值 在前面讨论的求二元函数f(x, y)的极值问题中, 两个自变量x与y在

4、其定义域内可以任意取值, 不受其他条件限制, 这种极值问题称为无条件极值. 但实际问题往往要求自变量x与y还要满足一定的附加条件g(x, y)=0, 称g(x, y)=0为约束条件或约束方程, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值. 在求解等式约束条件下的条件极值问题时, 如果能从约束条件g(x, y)=0中解出y或x, 将它代入函数f(x, y)中去, 条件极值就可以转化为无条件极值来求解. 如例5.5.2. 但是, 从约束条件方程中解出某些变量有时运算比较麻烦, 有时无法得到明显的解析表达式, 从而条件极值无法转化为无条件极值. 此时, 可利用下面介绍的拉格朗日乘数法. 它的基本思想是,

5、 设法将条件极值问题转化为无条件极值问题.6 求解在约束条件h(x, y)=k下，函数z=f(x, y) 的极值问题，是属于条件极值问题，可用拉格朗日乘数法解。其步骤如下： (1) 先将约束条件h(x, y)=k改写为k-h(x, y)=0，设g(x, y)= k-h(x, y) 。构造此问题的拉格朗日函数其中, 为待定常数, 称为拉格朗日乘数. 将原条件极值问题转化为三元函数 的无条件极值问题.(2) 由无条件极值问题的极值存在的必要条件, 有联立方程组, 从中消去 或解出 后, 求出可能的极值点(x, y).7(2) 由无条件极值问题的极值存在的必要条件, 有联立方程组, 从中消去 或解出 后, 求出可能的极值点(x, y). (3) 由问题的实际意义来判定求出的点(x, y)是否为极值点.特别地, 当某个实际问题确有极值, 而求出的又只有一个可能的极值点, 那么这一点就是要找的极值点(最值点), 不需另加判定. 类似地，求三元函数G=f(x, y, z)在约束条件g(x, y, z)=0,h(x, y, z)=0(约束条件一般应少于未知量的个数)下的极值。8 例5.5.4 用拉格朗日乘数法解例5.5.2中的体积一定的长方体水箱表面积的