专题2.8函数与方程讲-2016年高考数学理一轮复习讲练测原卷版

1、【课前小测摸底细】1.【习题改编，P119B 组第 1 题】方程对于函数与方程，常考：1.结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系2根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解【经典例题精析】考点 1 方程的根与函数零点【1-1】方程的解的个数为（）(A ) 1(B) 3(C) 4(D) 5【1-2】下列说法，正确的是（ ）A. 对于函数，因为，所以函数在区间有零点B. 对于函数，因为，所以函数在区间内没有零点C. 对于函数，因为，所以函数在区间有零点D. 对于函数，因为，所以函数在区间内有唯一零点【1-3】关于“二分法”求方程的近似解，说法

2、正确的是（）A“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有零点得到；B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解，在内有可能无零点；D“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解；【回眸】1方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点.（）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即：方程有零点.有实数根函数的图象与轴有交点函数（）函数的零点与方程根的关系函数的零点就是方程的根，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标（）三个等价关系(三者相互转化)提醒：函数的零点不是点，是方程的根，即当函数的自变

3、量取这个实数时，其函数值等于零函数的零点也就是函数的图象与轴的交点的横坐标二次函数的零点：），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点由函数在闭区间上有零点不一定能推出所以是在闭区间上有零点的充分不必要条件注意：如果函数在区间上的图

4、象是连续不断的曲线，并且函数在区间上是一个单调函数，那么当时，函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使.如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内不一定没有零点如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间内有零点时不一.定有，也可能有.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：=若，则就是函数的零点；=若，则令（此时零点）；

5、=若，则令（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤注：函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点.注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.（）用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题：第一步中要使：(1)区间长度尽量小；(2).，的值比较容易计算且根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程的根，可以构造函数，函数的零

6、点即为方程的根求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度，当区间长度小于精确度时，运算即告结束，此时区间内的任何一个值均符合要求，而通常取区间的一个端点值作为近似解的实根分布及条件.二次方程方程的两根中一根比大，另一根比小；二次方程的两根都大于二次方程在区间内有两根二次方程在区间内只有一根，或(检验)或(检验)检验另一根若在内成立注意：二次函数零点分布问题，即一元二次方程根的分布问题，解题的关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组或方程二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与次函数的图象通过对称轴，判别式 ，相应区间端点函数值来考虑有关函数零点的重要结论轴交点的个数问题，结合二

7、(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变(4)函数至多有个零点【方律技巧】1函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.确定函数的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数上的图象是否连续,再看是否有在区间.若有,则函数有零点.在区间(2)数形:通过画函数图象,观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断.确定方程在区间上根的个数的方法(1)解方程法:当对应方程易解

8、时,可先解方程,看求得的根是否落在区间上再判断.(2)数形:通过画函数与的图象,观察其在区间上交点个数来判断.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令；(2)构造，；(3)作出图像；(4)由图像交点个数得出结论应用函数零点的存在情况求参数

9、的值或取值范围常用的方法直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形：先对式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解与方程根有关的计算和大小比较问题的解法数形:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为所熟悉的函数的式，然后构造两个函数，即把方程写成的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足

10、的各种关系【新题变式探究】【变式一】【2015 届省天水一中高三第五次模拟】已知函数，在下列区间中，包含的零点的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，4）D（4，）【变式二】已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左至右依次交于四个不同点、，若，则实数的值为考点 2 函数零点的应用【2-1】【2015 高考湖南，理 15】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是.【2-2】【2015 届黑龙江省哈尔滨六中下学期第四次】定义在上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的恒有成立；（2）当时，记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）ABCD【2-3】【2015 届省天水市一中高三第

11、五次】直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是 （）AB或C或D【回眸】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合的应用【方律技巧】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形：先对式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【新题变式探究】【变式一】已知函数，集合，记分别为集合中的元素个数，那么下列结论不正确的是（）ABCD【变式二】若平面直角坐标系内两点满足条件：都在函数f(x)的图象上；关于原点对称，则称点对()是函数的一个“友好点对”(点对()与点对()为同一个“友好点对”)已的“友好点对”有个知函数，则三、易错试题常警惕易错典例：若函数在区间上的图象是连续不断的曲线，且在内有一个零点，则的值 ()A大于 0B小于 0C等于 0D不能确定易错分析：本题