数列的概念与简单表示方法

1、 13/13 6.1数列的概念及简单表示法1数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1_an其中nN递减数列an1_1时，anSnSn1eq f(n2,3)aneq f(n1,3)an1.eq f(an,an1)eq f(n1,n1).eq f(an,an1)eq f(n1,n1)，eq f(a4,a3)eq f(5,3)，eq f(a3,a2)eq f(4,2)，eq f(a2,a1)3.以上n1个式子的等号两端分别相乘，得到eq f(an,a

2、1)eq f(nn1,2)，又a11，aneq f(nn1,2).思维升华已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现eq f(an,an1)f(n)时，用累乘法求解(1)已知数列an满足a11，aneq f(n1,n)an1(n2)，则an_.(2)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an1(nN)，则a5等于()A16 B16 C31 D32答案(1)eq f(1,n)(2)B解析(1)aneq f(n1,n)an1 (n2)，an1eq f(n2

3、,n1)an2，a2eq f(1,2)a1.以上(n1)个式子相乘得ana1eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(n1,n)eq f(a1,n)eq f(1,n).(2)当n1时，S12a11，a11.当n2时，Sn12an11，an2an2an1，an2an1.an是等比数列且a11，q2，故a5a1q42416.数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列an(1)若ann25n4，数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值(2)若ann2kn4且对于nN，都有an1an.某数k的取值X围思维启迪(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值(2)数列是一类特殊

4、函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)n2kn4.f(n)在N上单调递增，但自变量不连续从二次函数的对称轴研究单调性规X解答解(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN，所以eq f(k,2)3.12分温馨提醒(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值X围，使问题得到解决(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取(3)易错分析：本题易错答案为k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量

5、是正整数.方法与技巧1求数列通项或指定项通常用观察法(对于交错数列一般用(1)n或(1)n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2强调an与Sn的关系：aneq blcrc (avs4alco1(S1n1,SnSn1n2).3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式失误与防X1数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的2数列的通项公式不

6、一定唯一A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1数列0,1,0，1,0,1,0，1，的一个通项公式是an等于()A.eq f(1n1,2)Bcos eq f(n,2)Ccos eq f(n1,2) Dcos eq f(n2,2)答案D解析令n1,2,3，逐一验证四个选项，易得D正确2数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6等于()A344B3441C45D451答案A解析当n1时，an13Sn，则an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列又a23S13a13，aneq blcrc (avs4alc

7、o1(1n1，,34n2n2.)当n6时，a63462344.3若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10等于()A15 B12 C12 D15答案A解析由题意知，a1a2a1014710(1)10(3102)(14)(710)(1)9(392)(1)10(3102)3515.4已知数列an的通项公式为an(eq f(4,9)n1(eq f(2,3)n1，则数列an()A有最大项，没有最小项B有最小项，没有最大项C既有最大项又有最小项D既没有最大项也没有最小项答案C解析数列an的通项公式为an(eq f(4,9)n1(eq f(2,3)n1，令t(eq f(2,3)n1，t

8、(0,1，t是减函数，则ant2t(teq f(1,2)2eq f(1,4)，由复合函数单调性知an先递增后递减故有最大项和最小项，选C.5若Sn为数列an的前n项和，且Sneq f(n,n1)，则eq f(1,a5)等于()A.eq f(5,6)B.eq f(6,5)C.eq f(1,30)D30答案D解析当n2时，anSnSn1eq f(n,n1)eq f(n1,n)eq f(1,nn1)，所以eq f(1,a5)5630.二、填空题6已知数列eq f(n2,n21)，则0.98是它的第_项答案7解析eq f(n2,n21)0.98eq f(49,50)，n7.7数列an中，a11，对于所

9、有的n2，nN，都有a1a2a3ann2，则a3a5_.答案eq f(61,16)解析由题意知：a1a2a3an1(n1)2，an(eq f(n,n1)2(n2)，a3a5(eq f(3,2)2(eq f(5,4)2eq f(61,16).8已知an是递增数列，且对于任意的nN，ann2n恒成立，则实数的取值X围是_答案(3，)解析方法一(定义法)因为an是递增数列，所以对任意的nN，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.方法二(函数法)设f(n)ann2n，其图象的对称轴为直线neq f(,

10、2)，要使数列an为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足f(1)3.三、解答题9数列an的通项公式是ann27n6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n4时，a4424766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是这个数列的第16项(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍)故数列从第7项起各项都是正数10已知数列an的通项公式为aneq f(9nn1,10n)，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若

11、没有，说明理由解an1aneq f(9n1n2,10n1)eq f(9nn1,10n)eq f(9n,10n)eq f(8n,10)，当n0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a10a11，故数列an有最大项，为第8项和第9项，且a8a9eq f(989,108)eq f(99,108).B组专项能力提升(时间：30分钟)1跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为()A8种 B13种 C21种 D34种答案C解析设跳到第n个格子的方法种数有an，则

12、到达第n个格子的方法有两类：向前跳1格到达第n个格子，方法种数为an1；向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an2，则anan1an2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21.跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2数列an满足anan1eq f(1,2) (nN)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21为()A5 B.eq f(7,2) C.eq f(9,2) D.eq f(13,2)答案B解析anan1eq f(1,2)(nN)，a1eq f(1,2)a2eq f(1,2)2，a22，a3eq f(1,2)2，a42，故a2n2，a2n1eq f(1,2)2.S2110eq f(1,2)a15eq f(1,2)2eq f(7,2).3若数列n(n4)(eq f(2,3)n中的最大项是第k项，则k_.答案4解析由题意得eq blcrc (avs4alco1(kk4f(2,3)kk1k5f(2,3)k1,kk4f(2,3)kk1k3f(2,3)k1)，所以eq blcrc (avs4alco1(k210,k22k90)，由kN可得k4.4已知数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bneq f(2,an1)，且前n项和为Tn，设T2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判