2.2.1 函数的单调性6

1、睢宁县李集中学2016-2017学年度 高一数学（教学设计） PAGE 第PAGE 7页 共7页 函数的单调性执教人：彭尚峰 教学目标：1在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性；2理解单调性的概念，培养识图能力，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；3掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；4通过函数的单调性的学习，让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象培养学生利用定义推理的逻辑思维能力.教学内容分析：函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一

2、个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的学情分析：1.我校学生素质属于全县的三流水平，数学基础非常薄弱。2.学生在初中已经学习了一次函数和二次函数的性质，这为进一步学习函数的单调性做好了铺垫。教学重点：对函数的单调性的理解，能判断或证明一些简单函数的单调性.教学难点：单调性定义的理解，函数单调性的证明与单

3、调区间的书写，以及单调性的逆用.教学方法：学讲方式、探究学习、教师启发讲授教学手段：计算机、投影仪课前准备： 教学设计、PPT、学案教学过程：【自主先学】（一）情景导入：情境：如图，是气温关于时间t的函数，记为f (t)，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣，使学生从图形中直接感知函数的单调性。 【小组讨论、交流展示】（二）知识形成:问题1：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？答：在区间4,14上图中曲线当t的值增大，的值也随之增大.问题2：对于任意的t1、t24,14时，当t1t2时，是否都有f

4、(t1)f(t2)呢？答：图象在区间4,14上是上升的曲线，所以当t1t2时，有f(t1)f(t2).问题3：(1)如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？答：在给定区间上任取x1，x2且x1x2，则f(x1)f(x2). (2)根据上面三个问题，我们能得到什么结论？答：增函数与增区间：一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA.如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，区间I称为yf(x)的单调增区间问题4：类比单调增函数的概念，你能给出单调减函数的概念吗？答：如果对于区间I内的

5、任意两个值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，区间I称为yf(x)的单调减区间问题5：你能找出思考中气温图中的单调区间吗？答：单调增区间：4,14，单调减区间：0,4，14,24问题6：函数的单调性与单调区间是怎样定义的？答：如果函数yf(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数yf(x)在区间I上具有单调性单调增区间与单调减区间统称为单调区间设计意图通过问题逐步体现由图形到函数的解析式的量化过程，进而引出函数的单调性的相关定义。（三）例题探究:【探究1】画出函数图像并说出下列函数的单调区间：(1)yx22； (2)y1 解：(1)函数图象如图(

6、1)，从图中看出函数yx22的增区间为(，0，减区间为0，)(2)函数图象如图(2)，从图中看出函数yeq f(1,x)的单调减区间为(，0)和(0，)反思与感悟: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“”；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有设计意图通过学生的活动体现函数单调区间的写法，再次理解函数单调性的定义。【检测反馈】随堂训练1如图，已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是

7、减函数.设计意图从图象直观判断函数单调性，完成对函数单调性的认识。随堂训练2 .函数的单调递增区间 ；单调递减区间 .设计意图巩固单调区间的写法【质疑拓展】（1）判断函数单调性的方法有哪些？（2）如何证明一个函数在某个区间上的单调性？具体方法和步骤是什么？设计意图引出如何判断函数的单调性。【小组讨论、交流展示】【探究2】求证：函数f(x) eq f(1,x)1在区间(，0)上是单调增函数证明:设x1、x2(，0)内的任意两个值，且x1x2， 取值则x1x20. 因为f(x1)f(x2)(eq f(1,x1)1)(eq f(1,x2)1) 作差 eq f(1,x2)eq f(1,x1)eq f(

8、x1x2,x1x2)， 变形（通分）所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) 定号故f(x)eq f(1,x)1在区间(，0)上是单调增函数 结论步骤(1)取值：任取x1，x2D，且x1x2；(2)作差：f(x1)f(x2)；(3)变形：通常通过因式分解、配方与通分等途径将结果化为积或商的形式；(4)定号：判断差f(x1)f(x2)的正负；(5)小结：指出函数f(x)在给定区间D上的单调性反思与感悟:运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且在x1x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值作差变形定号小结设计意图

9、通过教师的讲解与学生的合作，再结合函数的定义总结出判断函数单调性的方法和步骤，进一步加深对函数单调性的理解，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。【检测反馈】(1)求证：函数f(x)3x+1在区间(，+)上是单调增函数.证明:设x1、x2(，+)内的任意两个值，且x1x2， 取值则x1x20，. 因为f(x1)f(x2)(3x1+1)-(3x2+1) 作差 3(x1-x2 ) 变形所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) 定号故函数f(x)3x+1在区间(，+)上是单调增函数. 结论（2）试讨论函数f(x)的单调性证明:函数的定义域为(，-1) (-1，+)再把函数分解为f(x)1-设

10、x1、x2(，-1)内的任意两个值，且x1x2， 取值则x1x20. 因为f(x1)f(x2)（1-） -（1+） 作差 -= 变形（通分）所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) 定号故函数f(x)在区间(，-1)上是单调增函数 结论同理，函数f(x)在区间(-1，+)上是单调增函数(3)试讨论函数f(x)x22的单调性证明:设x1、x2(，+)内的任意两个值，且x1x2， 取值则x1x20. 因为f(x1)f(x2)（x2 12）（x2 22） 作差 x2 2x2 1 =（x 2x 1）（x 2x 1） 变形（因式分解）当x(，0)时，x 2x 1 0 x 2x 10所以f(x1

11、)f(x2)0，即f(x1)f(x2) 定号故f(x)x22在区间(，0)上是单调增函数 结论当x(0，+)时，x 2x 1 0 x 2x 10所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) 定号故f(x)x22在区间(，0)上是单调减函数 结论设计意图进一步巩固函数的单调性的定义和运用定义解决问题的步骤。（四）课堂小结:(1)单调性是函数的本质属性，可根据图象写出判定函数的单调性；(2)根据已知函数的单调性判定相关函数的单调性；(3)写单调区间时，注意区间的端点；(4)将yf(x)的图象上下平移时，单调区间不发生改变；左右平移时，单调区间相应平移；(5)单调区间不能随便求并集（五）作业布

12、置: 课本P44第7题（六）课后反思: 通过本节课的教学，使我受益非浅。为了使学生从知识、能力和思想上得到最大的认识和发展，我采用“学讲方式”、多媒体辅助教学等教学方式。首先,通过“自主先学”创设情境，激发兴趣，引出新知。在新课改的学讲模式下，以往以教师讲解为主的数学教学模式被打破，逐渐形成了以学生学为主的探究式教学模式，培养学生独立思考问题，解决问题的能力。函数的单调性是函数的一个重要性质，函数的单调性，单调区间的概念掌握起来有一定困难，特别是增函数、减函数的定义很抽象，学生很难理解，不利于学生学习兴趣的激发。因此，为了激发学生的学习兴趣，从生活情境引入新课，使学生从图形中直接感知函数的单调

13、性。其次，通过“小组讨论、交流展示”等环节，形成新知并探究新知。依据循序渐进原则，设计六个问题，使学生初步了解增减函数的定义。 学生各抒己见，教师及时对学生鼓励评价，激发学生探究知识的热情。通过分析函数图象的变化趋势，启发学生归纳总结出增、减函数中函数值与自变量之间的变化规律，使学生会熟练的通过函数的图象来判断一个函数是增函数，还是减函数。在此基础上，给出函数的单调性，函数单调区间的概念。课堂上重点训练了学生从函数图象上来判断函数单调区间，从学生的的课堂反应来看，学生能熟练的通过函数的图象来判断函数的单调性，然后用定义证明一个函数是增函数（减函数）。再次，通过检测反馈、质疑拓展等环节，巩固新知。不同层次的课堂练习的设计紧扣例题形式，及时反馈学生掌握情况，难度稍大的习题，供学有余力的同学完成。在教学中，我深刻体会到学生的接受能力不强，数学基础不牢，思考问题的角度不广，做题的速度不快。但学