2.2.2 椭圆的几何性质2

1、解析几何中的最值问题（教学设计）教学目标：1. 掌握抛物线和椭圆的定义2. 通过对图解析几何中关于距离、面积等最值的求解，培养学生的“推理能力”和“等价转化”的数学思想方法 HYPERLINK 3. 利用最值的求解培养学生注意探索、研究、揭示事物的内在联系，培养分析问题、解决问题的能力。教学重点、难点：教学重点：解析几何中关于距离、面积等最值的求解. HYPERLINK 教学难点：利用圆锥曲线的定义对所求距离进行转化. HYPERLINK 教学过程：一、复习导入，激发动机复习：已知平面内两定点A,B，动点P，当点P在线段AB上时，PA+PB最小；当点P在AB延长线或BA延长线上时PA-PB有最

2、大值或最小值，即当三点共线时，和或差有最值。（设计意图：分解难点，让学生先回忆起重要结论，以便在应用中能更好的解决问题）师：解析几何中的最值问题就需要用到这个结论。二、典型例题题型一 利用圆锥曲线定义解决最值问题例1：若点A的坐标为（3,2），F为抛物线 的焦点，点P是抛物线上的一动点，则求PA+PF取得最小值时的点P的坐标。问题1：点A的位置？ （设计意图：让学生对图形中点与线的位置关系有清楚的了解。）生：抛物线内部。问题2：P能否落在线段AF上？生：不能。问题3：能否转化？生：过点P作准线的垂线PQ，根据定义有PQ=PF 问题4：P能否落在线段QA上？生：能，此时PA+PF=PA+PQQA

3、师：小结：利用抛物线定义可使动点落在线段上，从而求出距离和的最小值。问题5：将问题改为PA-PF，可求最大值还是最小值？生：做出直线AF，与抛物线交于两点，分别对应取最大值和最小值时的点P。师：小结：当动点落在线段延长线上时，动点到线段两端点距离之差能取到最大最小值。求出最值及点P的坐标。 问题6：思考题1：若将点A的坐标改为（3,3），PA+PF，PA-PF的最值有什么变化？师：接下来，我们换个模型，看看椭圆中的类似问题。变式1：已知F是椭圆 的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1,1）为一定点，求（1）PA+PF的最小值；（2）PA+PF的最大值和最小值。问题7：系数 怎么处理？生：利用椭圆的

4、第二定义进行转化，转化为点P到左准线的距离。师;求出(1)中的最小值。问题8：（2）中点P不能落在线段AF上，怎么办？生：利用椭圆第一定义进行转化，PA+PF=PA+ 2 - 即可。师：求出最大最小值。师：思考题2：将题中点A的坐标改为（1,3），结论会发生变化吗？自己出题并解答。师：小结：利用圆锥曲线的定义，可构造三点共线，从而解决距离和或距离差的最值问题。题型二 利用性质求最值例2（1）：已知双曲线 的左顶点为 ,右焦点为 ，P为双曲线右支上一点，则 的最小值为 变式1：P若为左支上一点，结果如何？变式2：椭圆， 分别为其左右顶点，则 的最小值为 变式3：椭圆C：，直线 ，点PC，求点P到

5、直线距离的最小值。小结：若所求值可化为关于x或y的二次函数，则设点P（x,y）,若所求值不能化为关于x或y的二次函数，这类模型可转化为线性规划问题来解决，也可以设P时用三角代换。师：如果把圆与圆锥曲线放在一起，问题会不会变得更为复杂呢？例2（2）：设P,Q分别为圆 和椭圆 上的点，则P,Q两点间的最大距离是 （设计意图：要把两个动点间的距离问题转化为一个动点到一个定点之间的距离，这就要用到圆的几何性质，对数形结合的思想进一步强化。）三、课堂小结：本节课复习了解析几何中的三类最值问题：一是利用圆锥曲线的定义，可构造三点共线，从而解决距离和或距离差的最值问题；二是若所求值可化为关于x或y的二次函数，则设点P（x,y）,若所求值不能化为关于x或y的二次函数，则设P时用三角代换