线性代数 第5章 特征值与特征向量 - 习题详解

1、PAGE 1第5章 特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量练习5.11. 证明特征值与特征向量的性质3.设是一个多项式. 又设是矩阵的一个特征值, 是其对应的一个特征向量, 则是矩阵多项式的一个特征值, 仍是其对应的一个特征向量.证 由得再由定义得证. 2. 求矩阵的全部特征值与特征向量. 解 由得的特征值为（二重）. 当时，解齐次方程组得基础解系所以，属于的全部特征向量为（）. 当时，解齐次方程组得基础解系所以，的全部特征向量为（）. 3. 求平面旋转矩阵的特征值. 解 由得矩阵的两个特征值为，4. 已知是矩阵的一个特征向量. 试确定的值及特征向量所对应的特征值. 解 设所对应的特征值为，

2、则由, 即，得解之得. 5. 设3阶矩阵的三个特征值为, 与之对应的特征向量分别为求矩阵. 解 由假设矩阵可逆，所以6. 设3阶矩阵的特征值为, 求行列式. 解 记的特征值为,则，故的特征值为，计算得所以7. 设, 证明的特征值只能是或. 解 设是的特征值，则有特征值由于，故其特征值全为零，所以，从而或. 8. （1）证明一个特征向量只能对应于一个特征值；（2）设为矩阵阵的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为和, 证明（）不是的特征向量.证 （1）设的对应于特征向量的特征值有和，即由此推出，由于，因此. （2）（反证）假设是的特征向量，对应的特征值为，即由，得移项因线性无关，所以由得，这与

3、矛盾. 5.2 方阵的对角化练习5.21. 证明相似矩阵的性质17. 性质1 相似关系是一种等价关系. 即具有：（1）自反性：；（2）对称性：；（3）传递性：. 证（1）由，得（2）设，则，（3）设，则，. 性质2 设, 又, 则；证 设，则性质3 设, 又可逆, 则可逆且；证 设，由于是可逆矩阵的乘积，所以可逆. 且，性质4 设, 则；证 见正文. 性质5 设, 则与的特征值相同；证 由性质4即得证. 性质6 设, 则；证 由行列式等于所有特征值的乘积以及性质5即得证. 性质7 设, 则.证 由迹等于所有特征值之和以及性质5即得证. 2. 设，已知与相似，求. 解 由和得解和. 3. 设,

4、（1）求可逆矩阵使得为对角矩阵；（2）计算. 解（1）易求得的特征值为，对应的特征向量分别为. 令，则（2）4. 设（1）求可逆矩阵, 使为对角矩阵；（2）计算；（3）设向量, 计算. 解 （1）按对角化的方法易求得，和（2）由所以（3）（方法1）先按（2）先计算，再计算. . （方法2）先求在基下的分解，然后再求. 解得所以在基底下的分解为则5. 已知方阵与对角矩阵相似, 且是的二重特征值. （1）求与的值. （2）求可逆矩阵使为对角矩阵. 解 （1）（2）求另一个特征值解得基础解系（见下面的前两列），解得基础解系（见下面的第三列）. ，6. 设矩阵（1）确定的值使可对角化. （2）当可对角

5、化时, 求可逆矩阵, 使为对角矩阵.解 （1）求的特征值可对角化（2）方法同前， 习题五1. 设，证明的特征值只能是1或2.证 设是的特征值，则有特征值由于，故的特征值全为零，所以从而或. 2. 设阶矩阵的各行元素之和都等于1，证明矩阵的特征值. 提求：,. 证 设,.3. 证明阶Householder矩阵（其中）有个特征值, 有一个特征值. 提示：方程组有个线性无关的解向量记为, 直接验证. 又.证 方程组有个线性无关的解向量记为,即于是上式说明有个特征值. 又上式说明有一个特征值.综上，的特征值为. 4. 设是矩阵, 是矩阵, 证明与有相同的非零特征值. 特别地，如果, 则与的特征值完全相

6、同. 证法1 由（设）立即得证. 证法2 设是的一个非零特征值，对应的特征向量为，即用左乘上式得只要再证明，上式说明也是的特征值. 如果，将其代入式得左边，右边（）矛盾. 因此. 同理，的非零特征值也是的特征值. 5. 设与都是阶矩阵，是的特征多项式，证明可逆的充要条件是矩阵和没有公共的特征值. 证 设为的特征值，则从而于是因此（）不是的特征值与没有公共的特征值. 6. 设，已知与相似.（1） 求；（2） 求可逆矩阵，使. 提示：与有相同的特征多项式，比较两个特征多项式的系数.解 （1）分别求得与的特征多项式由得，即，解得（2） 由于与相似，所以的特征值与的特征值相同，就是的对角元再求出对应于

7、这些特征值的特征向量分别为令则有. 7. 设是3阶方阵，是3维列向量，矩阵可逆，且求矩阵.解 8. 设是阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足. （1）证明线性无关. （2）令，求. 解（1）设两边左乘上面两式相减线性无关，代入前面式子. 说明线性无关. （2）9. 设，求解 的特征值为，对应的特征向量分别为令，则从而10. 设, . 证明当时, 可对角化；当时, 不可对角化.证 设. 由知有特征值，对应的特征向量. 再设齐次方程组的个线性无关解为，则说明有特征值，对应的特征向量为. 综上，的个特征值为，对应的特征向量为（它们线性无关）. 因此，可对角化. 相应的对角矩阵为设. 由的特征值全是零（重）. 但属于的线性无关的特征向量个数为所以不可对角化. 11求解微分方程组解 写成矩阵形式，由初值定出常数12在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村. 假设该国