2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习8圆锥曲线的综合问题含解析

1、M1，2在椭圆C上将M1，2代入得4c24c21，x2课时规范练A组基础对点练x2y211(2018东北三省四市联考)在平面直角坐标系中，椭圆C：a2b21(ab0)的离心率为2，点3(1)求椭圆C的方程；(2)已知P(2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值c1解析：(1)由题可知ea2，所以a2c，x2y2则椭圆C的方程为4c23c21，313所以c21，a24，b23，x2y2所以椭圆C的方程为431.y2(2)由题易知，直线l的斜率不为0，设l的方程为xmy1，联立方程431，xmy1，消去x得(3m24)y2

2、6my90.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2则y1y23m243m246m9，3m243m24则|AB|1m2121m2121m2.点P(2,0)到直线l的距离为3所以四边形APBQ的面积S223m24.3m241m令t1m2，t1，则S24t1，点Q(2,0)到直线l的距离为，1m21m21121m24241m2243t211.3tt11设函数f(t)3tt(t1)，则f(t)3t20，所以f(t)在1，)上单调递增，124有3tt4，故S16，当且仅当t1时取等号3tt所以当t1，即m0时，四边形APBQ面积最大，最大值为6.x2y232(2016高考北京卷)已知椭圆C：a

3、2b21(ab0)的离心率为2，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值ca23，解析：(1)由题意得12ab1，a2b2c2，解得a2，b1.当x00时，直线PA的方程为y(x2)x2所以椭圆C的方程为4y21.(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)2设P(x0，y0)，则x204y04.y0 x02令x0，得yM2y0 x02，从而|BM|1yM|x02.12y0直线PB的方程为y0 xx1.y10令y0，得xNx0y01，从而|AN|2

4、xN|x01.2x0所以|AN|BM|2y11x02x02y0022x04y04x0y04x08y044xy4x08y08x0y0 x02y02(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得OP24PAPB成立？若解析：(1)由椭圆的对称性知|GF|CF|2a4，32(6k3)0，k.OP24PAPB，x0y0 x02y02004.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.综上，|AN|BM|为定值x2y23已知椭圆E：a2b21的右焦点为F(c,0)且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直3线DF的距离为2，过原点和x轴不重合的直线与椭

5、圆E相交于C，G两点，且|GF|CF|4.(1)求椭圆E的方程；存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由a2.3又原点O到直线DF的距离为2，bc3a2，bc3，又a2b2c24，abc0，b3，c1.x2y2故椭圆E的方程为431.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，8k2k116k216k834k2，x1x234k2x1x2，1224(1k2)45，解得k2，34k234k234k2即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x2

6、2)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，8k2k144k216k216k8141k2不符合题意，舍去，1存在满足条件的直线l，其方程为y2x.x2y24(2018陕西质检)已知椭圆a2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求eqoac(,F)2AB面积的最大值解析：(1)由已知条件，得b3，且2a2c2333，所以ac3.又a2c23，所以a2，c1，x2y2所以椭圆的方程为431.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线

7、的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2联立方程4y231，xmy1，消去x得，(3m24)y26my90.因为直线过椭圆内的点，所以无论m为何值，直线和椭圆总相交，y1y2所以y1y23m243m246m9，1所以eqoac(,S)F2AB2|F1F2|y1y2|y1y2|y1y224y1y212m213m2429m2116.又m20，所以9(m21)112m2116递增，所以9(m21)1m21m269161616，所以eqoac(,S)F2AB123，当且仅当m0时取等号，所以eqoac(,S)F2AB的最大值为3.B组能力提升练1(2018武汉调研测试)已知直线y2x

8、与抛物线：y22px(p0)交于O和E两点，且|OE|5.(1)求抛物线的方程；(2)过点Q(2,0)的直线交抛物线于A，B两点，P为直线x2上一点，PA，PB分别与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积xMxN是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则请说明理由解析：(1)由y22px与y2x，解得交点O(0,0)，E2，p，所以|OE|2p25，解得ppp2y1y24t，yy0所以设P(2，y0)，则直线PA的方程为yy01x122，所以抛物线的方程为y24x.(2)设直线AB的方程为xty2，代入y24x中，则y24ty80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x2)y1y2

9、8.令y0，得(y0y1)xMy0 x12y1，同理可得(y0y2)xNy0 x22y2，由得，02(y0y1)(y0y2)xMxN(y0 x12y1)(y0 x22y2)，即y2(y1y2)y0y1y2xMxNy0 x1x22y0(y1x2y2x1)4y1y2y02y0y14y244y1y224411y2y2y2y21yy21y016y2y2y0y1y21224y1y2.00由可得(y24ty08)xMxN4(y24ty08)0当点P不在直线AB上时，y24ty080，所以xMxN4；当点P在直线AB上时，xMxNxQ2，所以xMxN4.综上，xMxN为定值，且定值为4.22已知椭圆C的中心

10、在原点，焦点在x轴上，离心率为2，它的一个焦点恰好与抛物线y24x的焦点重合(1)求椭圆C的方程；1(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为4，(2)当b1时，在x轴上是否存在定点T，使得TATB为定值？若存在，求出定值；若不存在，请2y01y011y02011kABkACxx2x224，不合题意，故直线BC的斜率存在设直线BC的方1由kABkACxx4，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由x2y2c2解析：(1)设椭圆C的标准方程为a2b21(ab0)，则ea2，c1，故a22，b21，x2所以椭圆C的标准方

11、程为2y21.(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：xx0，设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，1x20 x000程为：ykxm(m1)，并代入椭圆方程，得(12k2)x24kmx2(m21)0，由(4km)28(12k2)(m21)0，解得2k2m210.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，由根与系数的关系得，4km2m2112k2x1x212k2，x1x2，y1y21112得4y1y24(y1y2)4x1x2，即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又因为m1，所以m3，此时直线BC的

12、方程为ykx3.所以直线BC恒过一定点(0,3)x2y2223(2018石家庄质检)已知椭圆C：a2b21(ab0)的离心率为3，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点(1)若以AF1为直径的动圆内切于圆x2y29，求椭圆长轴的长；说明理由解析：(1)设AF1的中点为M，连接AF2，MO.111在AF1F2中，由中位线定理得，|OM|2|AF2|2(2a|AF1|)a2|AF1|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程1当两个圆内切时，|OM|32|AF1|，所以a3，故椭圆长轴的长为6.22(2)由b1及离心率为3，得c22，a3，x2所以椭圆C的方程为9y21

13、.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x22)x29y29，ykx22，消去y并整理得(9k21)x2362k2x72k290.36k2360，xx12，x1x2362k272k299k219k21，则TATBx1x2(x1x2)x0 x20y1y2，当直线AB的斜率不存在时，不妨设A22，3，B22，3，当T1192，0时，0，使得TATB为定值81.综上，在x轴上存在定点Tk21y1y2k2(x122)(x222)9k2.假设存在定点T，设T(x0,0)，29x0362x071k2x2099k211927220当9x0362x0719(x09)，即x09时，TATB为定值，定值

14、为x2981.9212179TATB，39，381.19279x2y24已知焦距为23的椭圆C：a2b21(ab0)的左焦点为F1，上顶点为D，直线DF1与椭圆C的另一个交点为H，且|DF1|7|F1H|.(1)求椭圆的方程；(2)点A是椭圆C的右顶点，过点B(1,0)且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x3于M，N两点，线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k，求证：kk为定值解析：(1)椭圆C的焦距为23，F1(3，0)又D(0，b)，|DF1|7|F1H|，点H的坐标为，7，83b76431则49a2491，解得a24，则b2a231，x2椭圆C的方程为4y21.(2)证明：根据已知可设直线l的方程为yk(x1)ykx1，由x24y240，得(4k21)x