四直线、平面平行判定及其性质

1、第四节直线、平面平行的判定及其性质【最新考纲】1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.夯实胆基I夯实胆基II基础梳理1.直线与平面平行的判定与性质2.面面平行的判定与性质P判定性质定义定理图形abak/Z7n/T7/a/条件口程=0aa/bqaa/amU禺结论/ab/aa(a=0a/b(1)a丄a,b丄a?a/b;(2)a丄a,a丄B?a/B.I学情自测(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“”，错误的打“X”.)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平TOCo

2、1-5hz面平行.()若直线a/平面a,Pa，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()答案：x(2)X(3)X(4)V下列命题中正确的是()A.若a,b是两条直线，且a/b,那么a平行于经过b的任何平面BB.若直线a和平面a满足a/a,那么a与a内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面a满足a/b,a/a,b?a，贝Sb/a解析：选项A中，a/B或a?B,A不正确.选项B中，a与a内的直线平行或异面，B错.C中的两个平面平行或相交

3、，C不正确.由线面平行的性质与判定，选项D正确.答案：D（2015北京卷）设a,B是两个不同的平面，m是直线且m?a.“m/B”是“a/8的（）A.充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：由m?a,m/8a/.8但m?a,a/8m/8,m/8是“all8的必要不充分条件.答案：B在正方体ABCDAiBiCiDi中，E是DD“的中点，贝SBDi与平面ACE的位置关系是.解析：如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是厶BDDi的中位线，二EFBDi,又EF?平面ACE,BDi?平面ACE,BDi/平面ACE答案：平行5.设aB,丫为三个不同的平面，a,b为

4、直线，给出下列条件：a?a,b?B,a/3,b/a；a/y,B/Y；a丄丫,B丄Y;a丄a,b丄3,a/b其中能推出all3的条件是（填上所有正确的序号）.解析：在条件或条件中，a/3或与3相交.由allY丫a/3,条件满足.在中，a丄a,a/b?b丄a，从而a/3满足.答案：_名师微博通法领悟一种关系三种平行间的转化关系性质定理丄判定定理判定定理工丄力一线罕平仃灵T线面平仃替IT面早平仃判定定理其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.三个防范一一证明平行问题应注意的三个问题1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.在面面平行的判定中易忽视“面内两条

5、相交直线”这一条件.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.怎磊盘施高效提能I训|林咸册A级基础巩固一、选择题1.（经典再现）设I为直线，a,B是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A.若l/a,I/B,贝卩allBB.若I丄a,I丄B,贝卩allBC.若I丄a,I/B,贝yallBD.若a丄B,I/a,贝卩I丄B解析：选项A，若I/a,I/B,贝a和B可能平行也可能相交,故错误;选项B,若I丄aI丄B，贝a/B,故正确；选项C,若I丄aI，则x丄B,故错误；选项D，若a丄伏l/a，则与B的位置关系有三种可能：I丄B,I/B,I?B,故错误.故选

6、B.答案：B2.正方体ABCDAiBiCiDi中，E,F,G分别是A1B1,CD,B1C1的中点，则正确命题是（）AE丄CGAE与CG是异面直线C.四边形AECiF是正方形D.AE/平面BCiF解析：由正方体的几何特征知，AE与平面BCCiBi不垂直，则AE丄CG不成立；由于EG/AiCi/AC，故A,E,G,C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AECiF中，AE=ECi=CiF=AF，但AF与AE不垂直，故四边形AECiF是正方形错误；由于AE/CiF，由线面平行的判定定理，可得AE/平面BCiF.答案：D3.（2016吉林九校联考）已知m,n为两条不同的直线，a,B,丫为三个

7、不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若mIIa,nIIa,贝卩mIIn若man丄a，贝Umln若allp,m/n,m/a,贝Un/3D.若a丄y,3丄丫，贝卩allp解析：对于选项A,m/anla,则h与n可以平行，可以相交，可以异面，故A错误；对于选项B,由线面垂直的性质定理知，m/n,故B正确；对于选项C,n可以平行3也可以在3内，故C错；对于选项D,口与3可以相交，D错.答案：B（2014辽宁卷）已知m,n表示两条不同直线，a表示平面.下列说法正确的是（）A.若m/a，n/a，贝m/nB.若mJa，n?a，贝mJnC.若mJa，mJn,贝卩n/aD.若m/a，mJn,贝卩nJa解析：

8、若m/a,n/a，贝m,n平行、相交或异面，A错；若mJa，n?a,则mJn,因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线,B正确；若m丄a,mJn,贝卩n/a或n?a,C与昔;若m/a,mJn,则n与a可能相交，可能平行，也可能n?a,D错.答案：B在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是（）AC丄BDAC/截面PQMNAC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45解析：因为截面PQMN是正方形，所以MN/QP，贝卩MN/平面ABC,由线面平行的性质知MN/AC,贝SAC/截面PQMN,同理可得MQ/BD，又MN丄QM,贝卩AC丄BD，故A、B正确.又因为BD/MQ

9、，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45,故D正确.答案：C二、填空题若直线a丄b,且直线a/平面a,则直线b与平面a的位置关系是.解析：当b与a相交或b?a或b/a时，均有满足直线a丄b,且直线a/平面a的情形.答案：b/a或b?a或b与a相交如图所示，正方体ABCDAiBiCiDi中，AB=2,点E为AD的中点，点F在CD上.若EF/平面ABiC，则线段EF的长度等于.解析：由于在正方体ABCDAiBiCiDi中，AB=2,AC=22又E为AD中点，EF/平面ABiC,EF?平面ADC,平面ADCA平面ABiC=AC,EF/AC，/F为DC中点，二EF=；AC=2.

10、答案：28.（20i6承德模拟）如图所示，在正四棱柱ABCDAiBiCiDi中，E,F,G,H分别是棱CCi,CiDi,DiD,DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件时就有MN/平面BiBDDi（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）解析：连结HN,FH,FN，贝SFH/DD“，HNBD,平面FHN/平面B1BDD1,只需MFH,贝SMN?平面FHN,MN/平面BiBDDi.答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合）三、解答题9.如图所示，四棱柱ABCDAiBiCiDi的底面ABCD是正方形，0是底面中心，AiO丄底面ABCD,AB=

11、AAi=2（i）证明：平面AiBD/平面CDiBi；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积.证明：由题设知，BBiDD1,二四边形BBiDiD是平行四边形，二BDB1D1.又BD?平面CD1B1，/BD/平面CDiBi.A1D1B1C1BC,.四边形A1BCD1是平行四边形，*A1B/DsC.又A1B?平面CD1B1,/A1B/平面CD1B1.又BDAA1B=B,.平面A“BD/平面CD“B仆解：vAQ丄平面ABCD,A0是三棱柱ABDA1B1D1的高.又AO=；AC=1,AA1=2,.人1。=AA10A2=1.又Saabd=2%；2X2=1,V三棱柱ABDA1B1D1=SaabdA1O=1.

12、10.(2015江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC丄BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B“CABC“=E求证:DE/(2)BC丄ABi.证明：(1)由题意知，E为BiC的中点,又D为ABi的中点，因此DE/AC.又因为DE?平面AAiCiC,AC?平面AAiCiC,所以DE/平面AAiCiC(2)因为棱柱ABCAiBiCi是直三棱柱,所以CCi丄平面ABC.因为AC?平面ABC，所以AC丄CCi.因为AC丄BC,CCi?平面BCCiBi,BC?平面BCCiBi,BCPCCi=C,所以AC丄平面BCCiBi.又因为BCi?平面BCCiBi，所以BCilAC.因为BC=C

13、Ci,所以矩形BCCiBi是正方形,因此BCiJBiC.因为AC,BiC?平面BiAC,ACCBiC=C,所以BCi丄平面BiAC.又因为ABi?平面BiAC，所以BCilAB仆B级能力提升TOCo1-5hz1.（20i6西安联考）设a,b是两条直线，a,B是两个不同的平面，则allB的一个充分条件是（）A.存在一条直线a,ala,alB存在一条直线a,a?a,alp存在两条平行直线a,b,a?a,b?B,alB,blaD.存在两条异面直线a,b,a?a,b?B,alp,bla解析：对于A，两个平面还可以相交，若解析：对于A，两个平面还可以相交，若alB,则存在一条直线a,alaalB所以A是

14、alB的一个必要条件；同理，B也是alB的一个必要条件；易知C不是alB的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有alB,所以D是alB的一个充分条件.答案：D2.如图所示，棱柱ABCAiBiCi的侧面BCCiBi是菱形，设D是AiCi上的点且AiBl平面BiCD，则AiD:DCi的值为.ClCl解析:AiB/平面BiCD且平面AiBCf平面BQD=OD,AB/OD,四边形BCCiBi是菱形，O为BCi的中点，为AiCi的中点，则AiDDCi=1.答案：i3.（20i4安徽卷）如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点，平面GEFH丄平面ABCD,BC/平面GEFH.(1)证明：GH/EF.若EB=2,求四边形GEFH的面积.(1)证明：vBC/平面GEFH,BC?平面PBC，且平面PBCA平面GEFH=GH所以GH/BC同理，可证EF/BC因此GH/EF.解：连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K，连接0P,GK,因为PA=PC,点O是AC的中点，所以PO丄AC,同理可得PO丄BD,又BDAAC=O,且AC,BD都在底面内，所以PO丄底面ABCD,又因为平面GEFH丄平面ABCD，且PO?平面GEF