高三数学新复习资料

1、一、高三数学总复习要领(一)学好数学的“诀窍”激发兴趣，唤起热情.独立思考，想透悟深.夯实基础，反璞归真.三种语言，驾熟就轻.基于模仿，步步为营.循序进击，逐步攀登.情商智商，挖掘潜能.规范周到，证严算准.构建网络，自由驰骋.融会贯通，能力倍增.灵活运用，开拓创新.纵横联想，入化出神.(二)数学总复习的指导思想高屋建瓴，统览全局.纵横联系，纵横驰骋.抓住主干，突出重点.全面激活，时刻待命.全神贯注，突破难点.知己知彼，强化弱点.走出误区，克服盲点.提高警惕，制拐防陷.瞄准目标，把握方向.失误挫折，磨砺意志.能力提高，信心百倍.智力投入，主动积极.意志顽强，动力持久.进步成长，情趣盎然.反思小结

2、，迈步稳健.小胜聚大，生命闪光.(三)数学思想的树立函数方程最重要，分类讨论常用到，等价转化威力大，数形结合实在妙.(四)数学双基掌握运用的几个层次第一层次：想通悟透，自然记忆.全面掌握，夯实基础.第二层次：沟通联想，融会贯通.信手拈来，潇洒自如.第三层次：左右逢源，出神入化.奇思妙想，创造灵活.(五)解题能力四要素知识扎实，全面激活.迅速检索，构成机制.技能精湛，操作熟练.计算精确，论证严谨.反映敏捷，判断准确.尝试探索，突破创新.心理过硬，意志坚韧.临危不惧，处变不惊.(六)数学思维的品质深刻性抓住本质，击中要害.广阔性眼观六路，耳听八方.缜密性严谨周密，条分缕析.敏捷性迅速检索，果断决策

3、.创造性打破常规，张扬个性.批判性加强警戒，克盲防陷.(七)解选择题的七字诀直运算推理，直指结论.排逆向思考，排除错项.试观察试值，获取结论.赋主动赋值，实验获解.结数形结合，直观形象.特特例探路，巧妙得解.猜全面考察，科学猜想.(八)解大题的五步曲审采撷信息，挖掘隐含.探尝试探索，建构机制.破准确切入，突破成功.表规范表述，书写清晰.回反馈回顾，扩大战果.(九)建立学习档案佳题妙解、双技集粹、难点突破、错误点击、失分回收、点滴随想.(十)应考“四字经”两则其一盘马弯弓，箭在弦上.笑谈高考，喜迎较量.六月安泰，火爆吉祥.刀锋剑利，子弹登膛.从容上阵，崭露锋芒.五门学科，依次登场.十年积攒，释放

4、能量.双基扎实，智能闪光.双技熟练，艺高胆壮.成竹在胸，意坚志刚.统览全局，调度恰当.尝试探索，敢拼善闯.瞬时陌生，早有提防.警惕陷阱，戒误克盲.问道于零，不迷方向.联想丰富，挖掘隐藏.大小兼顾，当仁不让.见微知著，毫发不伤.计算论证，严谨稳当.条分缕析，敏捷流畅.处变不惊，转化有方.目标引路，分析导航.动静结合，激情满腔.张驰有度，内热外凉.信心百倍，敌弱我强.百折不挠，锐不可挡.迎风弄潮，劈波斩浪.气势恢弘，胜利在望.其二十年寒窗，拼搏在今.合理定位，充满信心.诸强争雄，勇者取胜.排除杂念，渐入佳境.全神贯注，忘我无人.新颖奇特，瞬时陌生.联想转化，排除险情.挖掘潜智，精神亢奋.大胆冲杀，

5、谨思慎行.瞻前顾后，分秒必争.整体驾驭，全局在心.超常发挥，静候佳音.第一章 集合与简易逻辑一.集合有关集合的记号：，N，N*，Z，Q，R，Z+，R-，等.集合分 限集与 限集.集合的表示法：列举法、描述法(公式描述或语言描述)、图示法.BA集合元素的特性： 性、 性、 性.子集 设集合A、B，如果集合A的 集合B的元素，就称集合A是集合B的子集.记为AB(或BA).真子集 设集合A、B，如果AB,且AB(即B中 )，则集合A叫做集合B的真子集，记为 ；子集、真子集的性质：(1)AA(即任何一个集合 )；(2)A(其中叫做空集，即 的子集)；(3)A(A ，即空集为任何 的真子集)；(4)传递

6、性：若AB，且BC，则 (广泛联想)；(5)集合相等：AB，且BAA=B；(6)集合a1，a2，an有 个子集(作为研究题，应从广阔的背景中找到它的模型，并进一步作出解释).全集 在研究某一问题的过程中，所有集合 ，这个集合就叫做全集（在不同的问题中，可以有不同的全集；但在确定的问题中，全集只能有一个）.BAUA补集 记全集为U，在全集中，由所有 的元素组成的集合叫做全集U中集合A的补集(简称A补)，记为 ，即UA= .AUA全集和补集的性质 (1)AU，UAU；(2)U(UA= ，称A与UA ；ABAB(3)U= ，UU= (与U )；(4)在全集U中，若UA=B，则UB=A，称集合A与B

7、.(广泛联想)交集 由所有 的元素组成的集合，叫做集合A与集BA合B的交集，记为AB，即AB=x|xA， xB.并集 由所有 的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为AB=x|xA， xB.交集和并集的性质：(1)AA=A，AA=A；(2)AB=BA，AB=BA；(3)A= ；A= ；(4)AB A，AB B；A AB，B AB，AB AB；(5)若AB=A，则A B，反之亦然；若AB=A，则A B，反之亦然；(6)U(AB)= ，U(AB)= (对偶律)；(7)若将集合A的元素的个数记为card(A)，则card(A)、card(B)、card(AB)、card(AB)之间有下列关系

8、(经研究找出结论)： .二.含绝对值的不等式的解法设a0，则|x|a ；|x|a ，其中的x可以换成f(x)，或根据需要换成其它任何代数式和三角式(应用十分广泛的代换).其几何意义是：x|x|a表示数轴上到 点 的点的集合(请在数轴上用阴影表示出这两个集合).ax-aao-axo三.不等式(x-a)(x-b)0(或0(或0，ab)等价，其解集都是 ，或是 ；但不等式(x-a)(x-b)0与0(aa,B=x| |x-1|3 (B)ax1，N=x|xx2，P=x|xx1，Q=x|x0的解集是 ( )(A)(MN)(PQ) (B)(MN)(PQ) (C)(MN)(PQ) (D)(MN)(PQ)12.

9、设对两个非空集合A、B，给出“差集”的一个定义：A-B=x|xA，且xB，则A-(A-B)等于 ( )(A)A (B)B (C)AB (D)AB13.以集合2，3的子集为元素组成的集合是 .14.用反证法证明“ab0”所提出的反设可以是：ab=0；a、b都为0；a、b中至多有一个为0；a、b中至少有一个为0，其中错误的是 .15.设命题“”()与命题“()是奇数”，则复合命题pq；pq；p；q中的真命题是 .16.用集合运算符号分别表示出下列各图形中的阴影部分：UBACABCUACUB(1) (2) (3)分别得：(1) ；(2) ；(3) .第二章 函数一.映射设集合A、B和对应法则f，如果

10、对于集合A中的每一个元素，按照对应法则f，在集合B中 ，那么这个对应就叫做从集合A到集合B的映射.映射的两个允许(1)允许“多对一”，即在集合A中，可以有两个或两个以上的元素与集合B中的一个元素对应；(2)允许集合B中有“闲元素”.即指集合B中的某个元素，它不是集合A 中任何元素的像,那么该元素被称为“闲元素”.二.函数设从集合A到集合B的映射f，如果A、B都是 ，那么这个映射就叫做函数.集合A中的元素通常用x表示，与x对应的集合B中的元素通常用y表示，y是x的函数记为y=f（x）.其中x叫做 ，与它对应的值叫做函数值.若x=a，则对应的函数值记为 ，x取值的集合A叫做函数的 ，与x对应的所有

11、y的值组成的集合叫做函数的 ，若记函数的值域为集合C，则集合B与集合C之间的关系是 ，若集合B中没有 ，那么此时则有 .函数的记号“y=f(x)”只是一个抽象的符号，若有具体的式子，则称该式为函数的解析式.只要在函数的定义域内，自变量x可以根据需要作自由代换，如f(x)=2x+1，则f()=2+1，甚至还可以作迭代：即ff(x)= ，余类推，这种函数自变量的自由代换有着非常重大的作用.除了f(x)外，有时还用其他的形式表示函数，如g(x)、h(x)、H(x)、S(t)，等等.分段函数：若函数在定义域的不同区间有不同的解析式，则称该函数为分段函数，如 (x2)； (x2).f(x)= |x-2|

12、= 要注意的是，该函数的定义域仍然是R.函数的定义域、值域、函数的解析式称为函数的 .三.函数的定义域两种定义域：(1)自然定义域：由函数本身决定的，或由实际应用题的意义决定的定义域；(2)指定定义域：命题人给出的函数的定义域.如函数y=的定义域是 ；函数y=的定义域是 ，这两种最重要的自然定义域是求函数定义域的最基本的根据.函数，如果不加限制，它的自然定义域就是实数集R.但是有时命题人可以任意指定它的定义域，如2，5，等等，必须引起我们高度的重视.四.函数的图像设函数y=f(x)，xA，在直角坐标系xOy中，点的集合(x，y)|y=f(x)，xA就叫做函数y=f(x)的图像.若函数为S=f(

13、t)，则函数的图像就在直角坐标系tOS中.函数的图像与函数的定义域密切相关.函数的图像不一定都是连续的光滑曲线，也可以是 ，等.五.函数的值域Oxy函数的值域与函数的定义域密切相关，在研究函数的值域时必须考虑其定义域，否则必犯致命的错误.以函数为例，有不同的定义域就有相应的值域，画出相应的图形，并填写下表：定义域值 域R-1，21，3-2，2（-3，-1六.函数的奇偶性设函数f(x)的定义域是I，(1)若对于属于I的任意一个x的值，都有 ，则函数f(x)叫做奇函数；(2)若对于属于I的任意一个x的值，都有 ，则函数f(x)叫做偶函数.由奇函数、偶函数的定义知，它们的定义域都是 ，这是函数为奇、

14、偶函数的 条件.奇函数的图像关于 成 图形；偶函数的图像关于 成 图形.七.函数的单调性对于给定区间上的函数f(x)及属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，如果都有f(x1) f(x2)，则称函数f(x)在这个区间上是 函数；如果都有f(x1) (x2)，则称函数f(x)在这个区间上是 函数.函数的奇偶性是在函数的整个定义域上研究函数性质的，而函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是函数定义域的某个子集.奇函数在对称的两个区间上有 的单调性，偶函数在对称的两个区间上有 的单调性.若奇函数f(x)在x=0时有意义，则有f(0)=0，这样的函数的图像过原点，但若说“奇函数的图像

15、过原点”就错了.常见函数的单调性一次函数y=kx+b的单调性： ；二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调性： ；反比例函数的单调性： ；函数的单调性的判断与证明若是基本函数，则可以直接判断其单调性，否则必须给出严格的证明过程：1o在指定区间上任意给出两个自变量的值x1、x2，且有x1x2；2o比较并确定f(x1)与f(x2)的大小；3o综合1o、2o得结论.研究函数的单调性还有一个“锐利武器”，那就是导数法，请用此法研究上述三类函数的单调性.复合函数的单调性若y=f(U)，U=g(x)，则y=fg(x)称为复合函数，判断这类函数的单调性有下列规律：xUy则y是关于x的此表并没有将所有情况列

16、全，若列全，则共有 种情况；能从中找出一般规律来吗？ 函数 函数 函数 函数八.反函数设函数y=f(x)，定义域是A，值域是C，若由y=f(x)解得x=(y)，且对于 ，那么函数x=(y)就叫做函数y=f(x)的反函数.若函数y=f(x)存在反函数x=(y)，习惯上将x、y的位置交换，则得函数y=f(x)的反函数y=f-1(x).函数y=f(x)与函数y=f-1(x)互为反函数，它们的定义域和值域分别为 ，它们的图像关于直线 成 对称图形，函数与其反函数在各自的定义域上有 的单调性.九.指数函数和对数函数函数叫做指数函数；函数叫做对数函数，它们是一对最典型的互为反函数的函数.指数函数、对数函数

17、的图像及性质分 类图 像指数函数的性质对数函数的性质定义域值 域过定点单调性定义域值域过定点单调性十.基础练习1.函数是偶函数，且在(0，+)上是增函数，则的大小关系是 ( )(A) (B) (C) (D)2.在(-，0)上为减函数的是 ( )(A) (B) (C) (D)3.函数在区间(-，-2)上是减函数，则m的取值范围是 ( )(A) (B) (C) (D)4.设函数，其中的奇函数是 ( )(A) (B) (C) (D)5.设函数若，则 ( )（A）-18 （B）-26 （C）-10 （D）106.设奇函数和偶函数，常数，F是奇函数，时，F=f(x)-g(x)-c，则时，F()= ( )

18、(A) (B) (C) (D)7.设函数，则 ( )(A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)是非奇非偶函数 (D)可能是偶函数8.函数()的反函数是，则的值依次是 ( )(A)1，-2，-3 (B)-1，2，3 (C)-1，2，-3 (D)1，2，39.函数()的值域是 ( )(A)1，7 (B) (C) (D)10.函数的反函数是 ( )(A) (B)(C) (D)11.设奇函数在(0，+)上是增函数，若，则集合x|xf(x)0是 ( )(A)(-，-3)(3，+) (B)(-3，0)(0，3) (C)(-3，0)(3，+) (D)(-，-3)(0，3)12.设偶函数的定义域是R，若时，是增函

19、数，则对于，且|x1|0的解集是x|x2，可以用充要条件来解释，也可用“两性”来解释，即集合x|x2中的所有x的值都满足不等式x|x2；所有满足不等式x-20的x的值都在集合x|x2中.这“两性”在直线方程和曲线方程的研究中有着非常重要的意义.几类特殊角的集合：第一象限的角的集合是 = ；第二象限的角的集合是 = ；第三象限的角的集合是 = ；第四象限的角的集合是 = ；终边在x轴上的角的集合是 ；终边在y轴上的角的集合是 ；终边在坐标轴上的角(轴线角)的集合是 .三.任意角的三角函数的定义在xOy直角坐标系中，P（x,y）是角的终边上的任意一点，|OP|=r(r0)，则规定sin= = ，c

20、os= = ，(由此可得x= ，y= ).P(x,y)Oxytan= = ，cot= = ，sec= = ，x=rcos，y=rsin.csc= = .由sin与cos的定义得 如果将看成参数，则消去后x=acosy=bsin得x2+y2=r2，这不是圆的标准方程吗？如果r=1，就得单位圆的方程.进而联想到椭圆的标准方程与其参数方程 (是参数).由此引发的三角代换法是解许多题的一把重要钥匙.而且这种大跨度的联想、沟通也是创造思维的体现.对数学知识的理解、驾驭只有达到这种境界，才能实现灵活运用和融会贯通. 四.单位圆中的“三线”xOyTMPA在单位圆( 的圆）中，由任意角的三角函数的定义，可将正

21、弦、余弦、正切转化为有向线段：sin= = = =MP(正弦线)；cos= = = =OM(余弦线)；tan= = = =AT(正切线).将三角函数的值(比值)转化为有向线段，变得形象、直观，奇妙而又非常有用.仔细领悟单位圆中“三线”的意义，然后填写下表：0sincostan五.同角的三角函数间的关系(1)=1；(2) ；(3) ；注意公式的“三用”：正用、逆用、变用，如由公式(1)可得重要代换公式：若，则= ；若，则= .六.诱导公式()=， .=，= ， 上述公式可高度概括为口诀：“奇 偶 ，符号看 ”，其中的“奇”与“偶”分别指的是中的系数k，“变”的意思是将原函数变为它的“余函数”，即

22、正弦变为余弦，余弦变为正弦，余类推.要注意的是，不管是什么角，都要将它看成锐角，再由+所在的象限决定其符号.这样一来，那么多公式就浓缩为简单的十个字，十分便于记忆和运用.七.加法定理公式系统所谓“加法定理”是和角公式、差角公式、倍角公式、降幂公式、升幂公式与万能公式的统称.这些公式的“鼻祖”是公式“”，回顾一下它的推导过程是极为有意义的.DCBAOxy如图，在单位圆中，设A（1，0），作AOB=，BOC=，AOD=-，则AOC=+，B(cos，sin)，C(cos(+)，sin(+)，D(cos,-sin).由AOCBOD得AC2=BD2，则得 .利用单位圆在坐标系中证明数学命题的方法被称为“

23、解析法”，这是一种重要的方法，研究、学习解析几何用的就是这种方法，这也是数形结合思想的充分体现.这里，构造全等三角形也是一种常用的方法.由公式推导其他公式的全过程必须熟练掌握，达到了如指掌的境界，只有这样，才能深刻理解，并形成自然牢固的记忆，才能灵活运用.请完成下面的公式系统.解析法 ， , , .上面的三组公式分别被称“升幂公式”、“降幂公式”、“万能公式”，虽然教材中没有作为正式内容要求记忆，但因其作用重大，所以应该熟记和灵活运用.其实只要掌握它们的来龙去脉，记忆和运用是不成问题的，现以sin为例：.不仅推得了公式，而且反映了“1的代换”与“弦切互化”等重要技巧和常用方法.八.常用技能技巧

24、(1)连续使用 如= ； ； ；(2)逆向使用 如= ；(3)变式使用 如；(4)角的“拆、凑、配、添、变、换” 如，；如何操作？要根据需要，瞄准目标.另外，岂止在这里用到“拆、凑、配、添、变、换”，还有哪些地方也能用到呢？广泛联想.(5)符号与角的范围的讨论、三角形中的角的三角函数的关系与符号及取值范围；(6)引入辅助角的重要变换= ；特别地，应该熟练掌握、运用下列结果：= (广泛联想)；(7)恒等变换中的“弦切互化”、“割弦互化”、目标导向、消除差异、另找依据等；BA1aC(8)直角三角形示意图法 设，作RtABC，设斜边AB=1，BC=a，A=，则AC=，那么，那么BAt1C，再由所在象

25、限来确定正负号.由此联想到：设，用同样的方法，可得，那么，再由所在象限来确定正负号.以上道理讲起来很麻烦，但实际上操作起来却比较简单，唯一要注意的就是符号的正确选取.当然如果对于熟悉的勾股数，如3，4，5；5，12，13等，问题就更为简单了.(9)与函数、方程、不等式、向量、解三角形、正弦定理、余弦定理、平面几何问题、立体几何问题、解析几何问题、导数问题、二项式定理等知识的综合运用.(10)两种重要题型由角或其取值范围求它的三角函数的值或取值范围；由三角函数的值或取值范围求角或角的取值范.围，常用单位圆中的“三线”和扇形区域.特别是有关“范围”的问题，更是数学中绕不开、躲不过的“坎”，所谓“成

26、也范围，败也范围”，有着深刻的道理.sin，cos现以 为例，如何求的取值范围呢？先在单位圆中找出sin=和cos=对应的终边，再根据大、小分别找出对应的扇形区域，最后求出交集，则得所求范围 .九.角所在象限之间的关系的终边所在的象限的终边所在的象限的终边所在的位置一二三四。现以第一象限角为例，说明其中的奥妙.若角的是第一象限角，则有（kZ），那么.由于k是整数，所以有k为奇数和偶数两种情况，分别有，则的终边所在的位置是第一象限与第三象限的前半象限.而的终边所在的位置是第一、第二象限象限及y轴的正半轴(含原点)(也可说是在x轴的上方，但不能只说在第一象限和第二象限).类似于上述讨论，请对的有关

27、问题进行研究.还要说明的是，将整数集Z拆成奇数集与偶数集的并集，即Z=2k+12k(kZ)与上面将奇数集与偶数集合并成整数集(见几类特殊角的集合)是不同方向的两种变化，必须熟练掌握.同样，如果kZ，则Z=3k3k+13k-1，也有“拆”与“合”两种变化，要做到“根据需要，拆合自如”.联想到分式的“通分”与“裂项”、多项式的合并与拆项、多项式的乘法与因式分解、二项式定理与等比数列前n项和公式的双向使用、和式“”的“收”与“放”等，都是两种方向的变换，反映出较高的灵活与应变能力.十一.已知三角函数的值，求角(1)若sinx=a(a-1，1)，求角x；1若a=1，则x= ；2若a=-1，则x= ；3

28、若a(-1，1)，则x=，或x=，kZ，还可合并为x=.(注意符号因子的应用).(2)cosx=a(a-1，1)，求角x.1若a=1，则x= ；2若a=-1，则x= ；3若a(-1，1)，则x=.(3)tanx=a(aR)，则x=.这部分原来属于三角方程的内容，现在一般不作要求，但在“不拘泥于课本”的说法下，不得不适当扩大一些，具体掌握起来要量力而行.还要注意有时给出角的范围，则必须适当选取k的值使所求角在指定的范围内.如果将等号改为不等号，则变为三角不等式，同样也要注意上面所说的问题.y=tanxy=cosxy=sinx十二.三角函数的图像及其性质函 数Oyx1-1Oyx1-1xOy图 像定

29、义域值 域单调性奇偶性负区间对称中心对称轴三角函数是一种特殊的函数，研究它们的图像和性质，既要联系一般函数的图像和性质，又要充分考虑其特殊性，熟练、快速、准确地画出有关图形，是解决许多问题的重要策略.画图是一项十分重要的基本功，应努力做到适当选取坐标系、选取单位长，大小合理、布局科学、清晰美观，才能便于应用.十三.函数的图像及三角图像的变换 以为例：作图像的两种方法： (1)五点描图法Oyx列表 描图x2x+0sin(2x+)y(2)图像变换法 将曲线 得曲线；将曲线 得曲线；将曲线 得曲线；将曲线 得曲线+1.其中最关键的步骤是，一般规律是：将函数的图像 得函数的图像；将函数的图像 得函数的

30、图像.此外，函数的图像还有其他的变换.十四.正、余弦定理(1)在ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，则有 =2R(其中的R是 ).请写出正弦定理的主要变形：(2)余弦定理在ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，则有 ； ； .反过来，有cosA= ；cosB= ；cosC= .注意字母的轮换与对称，这在许多情况下会给我们带来很大方便.十五.基础练习1.角、的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边重合或关于y轴对称，则 ( )(A) (B)(C) (D) 2.角的终边上有一点P()，则角(都有)= ( )(A) (B) (C) (D)3.若a=sin2，b=cos(-2

31、)，c=tan2,则a、b、c的大小关系是 ( )(A)abc (B)acb (C)cba (D)cab4.四个函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx中，有且只有三个在()内是增函数，且，则= ( )(A)0 (B) (C) (D)O2xy5.给出函数图像的一部分，则该函数是 ( )(A) (B)(C) (D)6.的值是 ( )(A)4 (B)-4 (C)2 (D)-27.设，且，则的取值范围是 ( )(A) (B) (C) (D)8.函数的定义域是 ( )(A) (B)0，1 (C)0，1 (D)9.角A的终边不在坐标轴上，若cosA=tanA，则sinA= ( )(A)

32、 (B) (C) (D)10.A、B、C是三角形的三个内角，若sinAsinBcosAcosB，则该三角形是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上都错11.若cos()=，则sin2= ( )(A) (B) (C) (D)12.直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，则其最小角为 ( )(A) (B) (C) (D)13.设tan2，则= ( )(A) (B) (C) (D)14.若，则= ( )(A)2002 (B)2000 (C)2001 (D)199915.若tan+cot=-2,则（n为奇数）的值 ( )(A)为2 (B)为-2 (C)为4 (D)无法确

33、定16.若，且，则的取值范围是 ( )(A)()() (B)()()(C)()() (D)()()()17.函数f(x)=的定义域是 .18.若称函数图像的最高点为“峰”，最低点为“谷”，那么此图像的“峰”与“谷”之间的最短距离为 .19.函数f(x)=3cos(x+23)+4cos(x+83)的值域是 .20.函数的周期是 .第五章 平面向量一.向量既有 又有 的量叫做向量.向量可以用 表示( 表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向)；也可以用 表示；在建立坐标系后，还可以用 表示.向量的 ，也就就是向量的长度称为向量的 .长度 方向 的向量叫做相等的向量.向量的大小仅是向量的一个属性

34、，因此不能比较两个向量之间的大小，只能比较它们 的大小.长度为 的向量叫做零向量，记作，零向量只有 个，它的方向是 的. 叫做单位向量，单位向量有 个，且每个都有确定的方向，对于非零向量，则必为 . 叫做平行向量(也叫做 向量).规定：零向量与任何向量都平行.二.向量的加减法DACB向量加法的三角形法则：作，则 = .三角形法则又叫首尾相连法，它适应于求任意两个向量的和.当向量和不共线时，求还可以用平行四边形法则：作，再以 作 ，则有 .任何向量与 的和还是它本身，即： .向量的加法满足 律和 律，即 ， .与长度相等但方向 的向量叫做的相反向量，记做，规定.向量与向量的 的和叫做与的差：即

35、.向量减法的三角形法则：已知、，在平面内任取一点O，作，则 ，即可以表示为从 的终点指向 的终点的向量(可简记为：共起点，连终点，指向被减向量的终点).睢宁高级中学二OO七届数学总复习资料之一：三基手册 28对于平面内的任意两点A、B，若须用加法表示，则可在平面内任意取一点 ，那么总有 ；若须用减法表示，则可在平面内任意取一点 ，那么总有 .已知向量和，则有 ； ，还有 .联系实数的性质与三角形、平行四边形的性质.三.实数与向量的积实数与向量的积仍是一个 ，记作，它的长度和方向有如下规定：(1)；(2)当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 ；(3)当=0时，或时，= .运算法则(都是实

36、数)(1)( 律)；(2)( 律)；(3)( 律).实数与向量的积也叫做数乘向量.向量与非零向量共线的充要条件是 ；当与同向时， 0；当与反向时， 0，当时， 0.平面向量基本定理(向量的分解)如果、是同一平面内两个 的向量，那么对这一平面内的任一向量， ，使成立， 的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一个基底(基底具有不唯一性，但当基底确定后， 就是唯一确定的了).四.平面向量的坐标运算在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴的正方向相同的两个单位向量、为基底，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数x、y使，则可直接记作= ，这就将以形为主要特征的向量表示成坐标，是将平面图形数字化处理的基

37、础，是数学的重大突破.用坐标表示向量后，向量的所有运算都可以转化为坐标运算：(1)若，则 ； ().(2)若A(x1，y1)、B(x2，y2)，则= ，用文字语言表达就是：平面内连接两点所得的向量用坐标表示就等于 .(3)两向量平行的充要条件：设，则() .五.线段的定比分点设点P是直线上 的任意一点，若存在一个实数，使 ，则叫做点分有向线段所成的比，点P叫做 . .若点P是的 分点，则(此时与同向)；当点P是的 分点，则(此时与反向).设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，P(x，y)、且，则有定比分点坐标公式 .().特别地，当=1时，则AB的中点为M( )；(在三点中，任何一点都可以

38、作为起点、分点、终点，因而在解题过程中要灵活选择分点以求方便).设A(x1，y1)、B(x2，y2)，C(x3，y3)不共线，则ABC的的重心为G( ).线段的定比分点坐标公式的主要作用有两个：(1)求分点的坐标；(2)求分比：等.六.平面向量的数量积及运算律OA(1)向量的夹角 已知两个 向量、，作，记，叫做向量、的夹角(求两个向量的夹角一定要把它们的起点移到一起)，那么；，或.(2)射影 如图，规定OA=叫做向量在向量方向上的射影，射影是矢量，不是线段的长度，随着向量的旋转，向量、的夹角的变化，有五种不同的情1o当=0时，OA= ；2o当为锐角时，OA ；3o当为直角时，OA ；4o当为钝

39、角时，OA ；5o当时，OA= .(3)平面向量的数量积的定义及几何意义 已知两个 向量、，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积(或内积)，记为，所以=，另规定零向量与任一向量的数量积为.(4)的几何意义是：数量积等于的长度与 的乘积.平面向量数量积的性质(1) (为单位向量)；(2) ；(3)、同向 ；、反向 ；特别地， ，则得= = ；(4)夹角公式coc= ；(5) ；(5)乘法公式 如 等.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：= ；(2)数乘向量与数量积的运算律：= ；(3)分配律：= .向量的数量积有分配律吗？即成立吗？七.平面向量数量积的坐标表示若，则(1)= ；(2) = ；(3

40、) ；(4)夹角公式： ；(5) .在不同的地方出现了两点的距离公式，这叫殊途同归.八.平移将图形F上所有的点按照向量移动，得到图形，这一过程叫做图形的平移. 设是图形F上任意一点，按照向量平移后，图形上的对应点为，则由，从而得到平移公式 ，要熟悉此公式的各种用法.设函数y=f(x)的图像为曲线F，将曲线F按向量平移，得曲线，设曲线F上的任意一点为P(x0，y0)，则得y0=f(x0) 设曲线上的对应点为，而 即 代入式即得曲线对应的函数式y-k=f(x-h)，也可以写为y=f(x-h)+k.这样看来，按向量平移与普通意义上的平移并没有什么不同，如圆x2+y2=R2按向量(-2，3)平移，则得

41、圆x-(-2)2+(y-3)2=R2，即(x+2)2+(y-3)2=R2.反过来，若按向量(2，-3)左平移，则圆(x+2)2+(y-3)2=R2变为x2+y2=R2，实现了简化的目的.从上面式的运用中窥见了求轨迹方程的一种重要方法，即反代法的本质.九.基础练习1.在ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，则等于 ( )(A) (B) (C) (D)2.设任意不共线的非零向量、，给出下列四个命题： 不与垂直 其中，真命题是 ( )(A) (B) (C) (D)3.若向量，则 ( )(A) (B) (C) (D)4.若将函数的图象按向量平移，使图像上点P的坐标由(1，0)变为(2，2)

42、，则平移后图像的解析式为 ( )(A) (B) (C) (D)5.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点构成的图形是 ( )(A)一条线段 (B)一个圆面 (C)圆上的一群孤立点 (D)一个圆6.单位向量的夹角是60o，则 ( )(A)-8 (B) (C) (D)87.若则夹角的余弦值为 ( )(A) (B) (C) (D)8.已知A(2，1)，B(-3，-2)，则点M的坐标是 ( )(A) (B) (C) (D)9.已知则点M与线段AB的关系为 ( )(A)M不在AB上 (B)M在AB外 (C)M是AB的中点 (D)M与A、O、B构成平行四边形10.与向量平行的单位向量是

43、( )(A) (B) (C)或 (D)11.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3，1)、B(-1，3)，若点C满足，则点C的轨迹方程是 ( )(A) (B) (C) (D)12.给出下列命题：点P为的外分点，则P分所成的比的取值范围是；的充要条件是，且；两个相等向量若其起点相同，则终点也相同.若，则，其中正确命题的个数为 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个13.设向量，则 .14.已知分别是x、y轴上的单位向量，且则夹角的余弦值为 .15.已知O(0，0)和A(6，3)两点，若点P在直线OA上，且又P是线段OB的中点，则点B的坐标是 .16.已知A(m，-n)、B(-m

44、，n)，点C分所成的比为-2，则点C的坐标为 .17.将函数的图像按向量经过一次平移后，得到的图像，则= .18.若将向量绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则向量 .第六章 不等式一.不等式的性质不等式的基本性质 若a、bR，则a-b0 ；a-b=0 ；a-b1ab；=1a=b；1ab .(2)传递性：ab，bc .广泛联想(3)加法性质aba+c b+c(单调性)；ab，cda+c b+d(同向相加)，推广得若aibi(i=1，2，n)，则 ；a+bca-+c-b(移项法则)；ab，cb，c0ac bc(同乘正)；ab，cb0，cd0ac cd(同向正，相乘)，推广得ab0anbn(nN*，n

45、1).用反证法可得ab0(n，n1).(5)除法性质 ab0；ab0，0cb，bc，则ac，这是应用放缩法的依据，在操作时，要注意不等号的方向必须一致，否则易产生这样的错误：为若由ab，cb后，得ac就是非常荒唐的；(2)同向不等式可以相加但不可以相减，即由ab，cd，不能得a-cb-d；(3)不等式两边同乘一个数或式时，只有在确定它们是“正”或“负”时，才能得到同向(或异向)不等式.在这里，稍有疏忽，极易出错；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式两边必须都为正.请考虑，两边同奇次乘方时，要不要考虑符号？二.解不等式不等式的同解性 设A、B是两个关于x的代数式，则有(1)AB0 ；(2)

46、ABa(a0) ；(6)|A|0) .由简单原理推出不等式的解法，联系第一章有关知识.-3O O O O-142用轴序法解高次不等式如解不等式(x+3)(x+1)(x-2)(x-4)0.在数轴上标出零点，再确定每一段的符号，最后得解.如图，上面的不等式的解集是 .解这类不等式时，要注意变化，如含非负式（如）、含分母时，要正确处理.轴序法实质是数形结合的体现，在解其他不等式时也要注意数形结合的应用.三.均值不等式对于两个正实数a、b，恒有(当且仅当a=b时取等号)成立.不等式的各种变形： .上述不等式也叫二元基本不等式，它有着广泛的应用，其中最重要的就是极值定理：对于两个正实数a、b，(1)若ab为定值S，则当且仅当a=b= 时，a+b有最小值 ；(2)若a+b为定值P，则当且仅当a=b= 时，ab有最大值 .说明：用极值定理求最值讲究的是“正、定、等”三字；有时要创造条件得到定值，才能求得极值；用“导数法”也能求得极值，可以思考比较一下，用哪种方法简便？四.不等式的证法(1)比较法求差比较法：概括为“作差，变形、定号”；求商比较法：参见前面不等式的基本性质.(2)综合法(由因导果，顺向思维)：从题设或一个已知能够成立的不等式或定理出发，逐步推出结论成立.(3)分析法(执果索因，逆向思维)：从结论出发，步步逆推，推到与已知条件、某个定理相符合或肯定成立，但应注意每