《高中数学课程标准导读》复习思考题答案

1、（0773）高中数学课程标准导读复习思考题答案1简述数学在现代社会发展中的地位和作用。纵观近代科学技术的发展，可以看到数学科学是使科学技术取得重大进展的一个重要因素，同时它提出了大量的富有创造性并卓有成效的思想。本世纪的数学成就，可以归入数学史上最深刻的成就之列，它们已经成为我们这个工业技术时代发展的基础。数学科学的这些发展，已经超出了它们许多实际应用的范围，而可载入人类伟大的智力成就的史册。数学科学是集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一身的一门科学。这个领域已被称作模式的科学。其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。无论是探讨心脏中的血液流动这种实际的

2、问题还是由于探讨数论中各种形态的抽象问题的推动，数学科学家都力图寻找各种模型来描述它们，把它们联系起来，并从它们作出各种推断。部分地说，数学探讨的目的是追求简单性，力求从各种模型提炼出它们的本质。2试述教育部对于新课程建设的要求以及新课程建设的主要目标。根据教育部副部长王湛建立具有中国特色的基础教育体系的报告，新课改立足与解决以下主要问题：1）明确区分义务教育与非义务教育，建立合理的课程结构，更新课程内容。义务教育面向每一个学生，课程标准应是绝大多数学生都能够达到的教学目标。课程内容应是基础性的，不应被任意扩大、拔高。2）突出学生的发展，科学制定课程标准。传统的教学大纲以学科的内容体系来表述课

3、程的知识点和教学要求。课程标准不但对于知识内容、技能和能力有具体要求，而且对于学生学习课程的情感态度、价值观、教学的过程方法等方面也都有明确要求。3）加强学生思想品德教育的针对性和实效性。课程中渗透德育，培养学生的爱国主义精神、对科学热爱和不断追求的精神。4）以创新精神和实践能力的培养为重点，建立新的教学方式，促进新的学习方式的变革。新课程强调教学过程中师生互动，正确处理知识传授与能力培养的关系。注重培养学生自主性和独立性，引导学生质疑、调查、探究，采用自主生动的学习方式。5）建立促进学生发展、教师提高的课程评价体系。评价功能从注重甄别与选拔转向激励、反馈与调整；评价内容从过分注重学业成绩转向

4、注重多方面发展的潜能；评价主体从单一转向多元；评价角度从终结性转向过程性、发展性，更加关注学生的个别差异；探求新的评价方式，使得这些方式更具有可操作性、方法简明易行，第一线教师容易便于使用。6）建立国家、地方、学校三级课程管理模式，提高课程的适应性，满足不同的地方、学校和学生的需要。继续完善基础教育由地方负责、分级管理的体制。3试述基础教育课程改革的具体目标是什么。根据教育部国家基础教育课程改革指导纲要基础教育课程改革的具体目标：改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。改变课程结构过于强调学科本位、科目过

5、多和缺乏整合的现状，整体设置九年一贯的课程门类和课时比例，并设置综合课程，以适应不同地区和学生发展的需求，体现课程结构的均衡性、综合性和选择性。 改变课程内容“繁、难、偏、旧”和过于注重书本知识的现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能。改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。改变课程评价过分强调甄别与选拔的功能，发挥评价促进学生发展、教师提高和改进教学实践的功能。改变课程管理

6、过于集中的状况，实行国家、地方、学校三级课程管理，增强课程对地方、学校及学生的适应性。4试述高中数学新课程的框架和内容结构的特点。与以往的高中数学课程相比，新课标之下的数学课程突出课程内容的基础性与选择性。高中数学课程标准要求，高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两个方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要

7、的基础性数学课程。高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促使学生的个性发展和对未来人生规划的思考。学生可以在教师的指导下进行自主选择，必要时还可以进行适当的转换、调整。同时，高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择空间，他们可以根据学生的基本需求和自身条件，制订课程发展计划，不断地丰富和完善供学生选择的课程。高中数学课程分必修课与选修课。必修课程由5个模块组成。选修课程分4个系列：系列1、2是必选课。其中系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生设立的；系列2是为那些希望在理工

8、、经济等方面发展的学生设立的。系列3、4是任选课，是为对于数学兴趣高并希望进一步学习更多数学知识的学生而设立的，内容反映的某一方面重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础、提高数学素养、提高应用意识，有利于扩展数学视野，更多地了解数学的价值。设置了数学探究、数学建摸、数学文化的内容。此类内容不设专门章节，而是渗透到各章节、各模块内容中。但是建议在高中阶段至少要安排学生进行一次比较完整的数学探究活动、一次数学建摸活动。“数学文化”是一个抽象的概念，它通过具体的数学内容教学、通过解决数学问题的方法、途径，使学生在更加深入地理解数学本质的基础上逐渐地产生某些普遍性的数学观念、形成一种可以指导更广

9、泛范围内的思想模式与行为规范。这部分内容的教学，对于教师有更高的要求。5对下面两个有关函数概念教学的案例进行对比分析，通过分析说明自己对于高中数学课程标准有关教学理念的理解。案例1 1.已知f(x)=(m-1)x2+1-lg(m)x+1是偶函数，求f(10)、f(-3.1)、f(2)的大小顺序。2已知f(x)=ax2+bx+c(a0)对任意x都有f(2-x)= f(2+x),求解不等式flg (x2+x+1/2)bc，则（1）b+ca（三角形两边之和大于第三边）；（2）存在实数s1使；（3）ABC是锐、直、钝角三角形当且仅当s2、s=2、s2（分别）。证明 （2）因为b/a，c/a时1使。（3

10、）若s2，则=故，于是cosA0, A是锐角。但A是ABC的最大角，因此ABC是锐角三角形。同样地若s1使使得ABC是锐、直、钝角三角形当且仅当s2、s=2、s2（分别）。这个定理将“三角形两边之和大于第三边”、“勾股定理”及“锐、直、钝角判定定理”统一起来。由此可见表面上看起来难以联系在一起的两个数学问题之间居然存在如此密切的联系，现代数学中还有更加丰富的结果说明不同数学问题之间令人难以置信的关联，也是现代数学令人神往的地方。10从若干方面论述教师知识结构对于高中数学课程标准的适应性问题。新课标对教师的知识结构提出了新的要求，系列3、4的选修课程涉及大量的以往高中数学课程中没有的知识。对称与

11、群，欧拉公式与必曲面分类，三等分角与数域扩充，初等数论与密码，球面几何，矩阵与变换，统筹法与图论，等等。这些知识虽然都是大学数学专业能够覆盖的，但是如何在中学阶段、在中学生的知识背景和理解能力的条件之下实施课程教学，这是非常值得研究和探讨的问题。越是复杂高深的知识在知识背景比较浅近的人群之内传播，对于教师本人在知识理解和讲授方法方面的要求越高。从这个意义上说，对中学生讲授高等数学比在大学对数学专业的学生讲授高等数学，教师所面临的困难更大。 另外，新课程的教学法提倡启发式、探究式教学，这样的教学方式也对教师的知识和能力提出了更高的要求。我们认为教学中的探究与真正的数学研究没有本质的区别，我们难以

12、想象完全缺乏研究能力的教师能够启发学生进行探究性学习。11用教学实例说明直观几何在中学几何课程中的地位和作用。几何的直观性是一个有目共睹的事实，由于几何的直观性，使得几何在数学中（即使在数学家正在研究的高深的数学中）具有非常重要的地位。下面我们引用当代伟大的数学家Michael Atiyah（1929，英国皇家学会会员，法国科学院、美国科学院、瑞典科学院外籍院士，菲尔兹奖获得者）的话：现代数学与传统数学的差别更多地是在方式上而不是在实质上。本世纪的数学在很大程度上是在与实质上具有的几何困难作斗争，这些困难是由于研究高维问题而产生的。集合直观仍然是领悟数学的最有效的渠道，应当在各级学校尽可能广泛

13、地利用几何思想。现在各国中学几何课程中都加入了直观几何的内容。学生能够在直观几何课中遇到引人入胜的难题，例如，种种迷人的折纸与拼图游戏，观察和实验是直观几何的主要内容。学生能够通过生动的、富有想象力的活动，发展自己的空间想象力；通过实实在在的动手操作，了解什么是几何变换；通过折叠、拼合建立关于对称的直观概念。观察、实验、操作、想象等认知活动在直观几何中以形形色色、丰富多彩的方式表现出来。几何图形是帮助我们进行数学想象的最有效的工具。本来，数学中的概念都是非常抽象的概念，而真正抽象的对象是难以思考的，直观的几何图形是我们最容易利用的数学形象。因此，直观几何不但能够帮助初学者掌握基础知识，也能够帮

14、助人们进行真正的数学研究与数学创造。直观几何并不仅仅停留在直观操作的层面，经过教师的细心引导，直观几何中也可以包含丰富多彩的、严格的逻辑推理。12你能否理解代数中的模式直观，以实例说明。模式直观是一种比图形直观更为广泛的直观思维途径。模式直观并不是如许多人所想象的那样，“直观”离不开几何图形。模式直观是一种在大多数场合不能利用几何图形并借助于视觉形象所产生的对于事物之间逻辑关系的一种直接的、形象的推断和理解。有时模式直观表现为人们对复杂过程所发生的程序或秩序的理所当然的了解和理解。在上面的证法2中我们把“从n个元素的集合中取m个元素的过程分解为两种绝然不同的取法程序，其中一种在所取的m个元素中

15、不含固定元素a，另中一种在所取的m个元素中含固定元素a，这样合在一起就是从n个元素的集合中取m个元素的所有可能的情形”。证法2 的合理性建立在这种“程序分划”的模式直观之上。一个非常典型的模式直观的实例是关于组合公式（m，n 2）的证明。证法1：证法2：在n个元素中固定一个元a，那么从n个元中取m个元可分为两种情形。一定不取a，共有种取法；一定取a，共有种取法，加起来共个取法。容易看出证法1依赖于组合符号的定义及烦琐的数字计算，是一种对发现公式本身丝毫无助的纯验证法。而证法2直观形象，通过这种途径我们不但能够证明公式，而且这是一种发现公式的真正途径。可是，令人不可思议的是，传统的教学观点甚至认

16、为证法2不能算作逻辑证明，不少旧教材仅仅把证法1作为该公式的证明，而把证法2作为对公式的一种“直观理解”。现在我们暂时不对这些有分歧的观点做出过多的判断和评论，关于证法2是否是真正的数学证明这个问题，读完下文之后读者一定能够自行判断。13试述数学文化的含义。数学文化是指一个人通过某种特定的学习途径获得一定的数学知识之后，所表现出来的特有的行为准则、思想观念及对待事物的态度.数学文化是由数学的思想、知识、方法、技术、理论等所辐射出来的能与相关文化领域结合为一体的一个具有强大精神与物质功能的动态系统.数学文化包括以下几个方面.(1)知识成分:包括数学理论知识、数学问题、数学语言等.(2)能力因素:

17、包括数学应用能力、将问题通过适当途径而数学化的能力、逻辑论证能力、计算能力、问题解决能力、数学表达能力等.(3)数学观念:包括数学思维方式、思想观点、情感态度、价值观念.虽然数学文化的内容涵盖了一个人数学修养的各个方面，但是它更强调当一个人的数学知识与其它各个领域的知识能力相融合之后所表现出来的综合素质.14下面列举5个长期困扰中小学学生和教师的数学问题，请选择其中1-2个加以分析研究，讨论如何在数学课程中更加恰当地解决此类问题，以教师教学中的探究引导学生进行数学问题的探究与思考。1）为什么1.2+1.3=2.5而?2）为什么“负负得正”？3）为什么0.9991）。我们现在所学习的数学中很多公

18、式、符号都是欧拉倡导和引入的。例如：，利用这个公式，我们能够求出诸如，。现在全世界通用的函数符号，自然对数的底e也正是欧拉的名字Euler第一个字母。现代数学教科书中几乎处处都离不开欧拉的名字：欧拉定理、欧拉公式、欧拉函数、欧拉方程，等等。高斯所开创的许多数学分支已经与我们今天所学习和研究的数学有直接的关系。无论是微分几何还是代数数论，直到现在正在研究的许多数学问题都与高斯最初所研究的问题息息相关。高斯19岁所发现的“二次互反律”，现在的数论研究者还在进一步研究它多种形式的推广，高斯24岁所出版的数论著作算术研究中所包含的问题至今还是数论研究者乐意解决的问题。高斯的素数分布猜想，直到1949年由两位当代最杰出的数论家给出初等证明。甚至仅仅在高斯20岁前后几年中，我们就能列出这位伟大的数学家一连串辉煌的成就和贡献：发现“二次互反律”（1796，19岁）证明正17边形不能够尺规作图（1796，19岁）最小二乘法原理（1795，19岁）发现非欧几何，但没有发表（1792，15岁）证明代数基本定理，这是第一个正确的证明（1798，21岁）出版算术研究（1