2022年五级奥数-立体图形问题

1、课程五 立体图形问题学习目标1.长方体、正方体表面积的计算 2.长方体、正方体的切割问题 3.长方体、正方体的体积4.不规则物体的体积重 点计算长方体和正方体的表面积应注意的问题（1）找出必备条件（长、宽、高或棱长），如题中没有直接给出，则先求出必备条件，再求表面积（有盖还是无盖）。（2）统一计量单位，单位不统一的，一般要通过化、聚，使单位统一后再计算。（3）求所需用的面积材料时，一般用“ 进一法“ 取近似值。（4）用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面；每切一刀，就增加两个面。总 结1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式（1）长方体体

2、积长 宽 高 V 长方体 abc （2） 正方体体积棱长 棱长 棱长 V 正方体 a3 2.求不规则物体的体积 水中物体的体积容器的底面积 水上升或下降的高度。水上升或下降的高度水中物体的体积 容器的底面积 容器的底面积水中物体的体积 水上升或下降的高度例 1 有一个长 15 厘米， 宽 10 厘米， 高 8 厘米的长方体， 现在要在这个长方体中挖去一个棱长为 5 厘米的小正方体，那么剩下部分的表面积是多少？第 1 页 共 6 页（ 1）（2）（ 3）分析与解法根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有 3 种情况，可能是在面上，如图（1），可能在顶点上，如图（ 2），可能在棱上，如图

3、（3）。在面上时，可以用长方体的表面积小正方体 4 个面的面积 ;在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时，要用长方体的表面积 解：原长方体表面积为 : +小正方体 2 个面的面积。（15 10+15 8+10 8） 2=700（平方厘米）在角上时，剩下部分的表面积是 700（平方厘米） ；在面上时，剩下部分的表面积是：700+5 5 4=800（平方厘米）在棱上时，剩下部分的表面积是：7005 5 2750（平方厘米）所以剩下部分的表面积是 700 平方厘米，或 800 平方厘米，或 750 平方厘米。说明： 本题也是要考虑可能出现的各种情况，要做到不重不漏。例 2 如图棱长是2 分米的正

4、方体， 沿与 AB 棱垂直的方向切3 刀，沿与 BC 棱垂直的方向切4 刀，沿与 BF 棱垂直的方向切 5 刀，共得到大小长方体120 个。问这 120 个长方体的表面积之和是多少平方分米。A D B C E H 分析与解法F G 在这道题中， 120 个长方体表面积的总和是由原来正方体的表面积与所有切面的面积两部分组成。每切一刀，就增加 2 个边长是 2 分米的正方形，共切 12 刀，增加了 24 个边长是 2 分米的正方形。解：2 2 62 2 （ 345） 2 2496 120（平方分米）答：这 120 个长方体的表面积是 120 平方分米。说明： 此题并没有要求是平均切，所以只能考虑在

5、原来基础上增加了多少。例 3 有一根长 3.5 米的方木，把它截成3 段，表面积增加了144 平方厘米，这根方木的体积是多少立方分米？分析与解法第 2 页 共 6 页把方木截成三段要截2 次，每截一次要增加2 个面，截 2 次增加 4 个面， 4 个面的面积为144 平方厘米， 144436（平方厘米） ，根据体积公式就能求出方木的体积。解：144 436（平方厘米）36 35012600（立方厘米）12.6（立方分米）答：这根方木的体积是 12.6 立方分米。说明： 切 n 刀分出（ n+1）段，增加 2n 个面。例 4 一个长方体的表面积是67.92 平方分米， 底面积是 19 平方分米，

6、 底面周长是17.6 分米， 这个长方体的体积是多少？分析与解法表面积减去两个底面积，差就是长方体的侧面积，侧面积除以底面周长是长方体的高。根据公式 “ 底面积 高”求出长方体的体积。（67.92-19 2） 17.6 29.92 17.6 1.7（分米）19 1.732.3（立方分米）例 5 一个长方体正块，长5 分米，宽 3 分米，高 4 分米，在它的六个面上都漆满油漆然后锯成棱长都是1 分米的正方体木块，锯成的小正方体木块中，几个三面有红色？两个面、一个面有红色的各有几个？有没有六个面都没有红色的？如果有，有几个？分析与解法切开后三个面是红色的 8 个顶点处； 两个面是红色的在每条棱的中

7、间（两头各去掉 1 个）；一面是红色的在每个面的中间 （上下和左右都各去掉 1 个）。六个面都没有红色的，在原来的长方体的正中，也就是把原来长方体涂色的面都去掉剩下的长方体。解：切开后三面有红色的有 8 个；两个面有红色的有 （52）+（32）（ 42） 424（个）一个面有红色的有 （ 52） （ 32）（ 52） （ 4 2）（ 32） （ 42） 222（个）六个面都没有红色的有（5-2） （ 3-2） （ 4-2）=6（个）说明： 平时要多动手，多培养自己的动手能力和空间想象能力。例 6 在长为 16 厘米， 宽为 15 厘米的长方体水箱中有 10 厘米深的水。 现在往水箱里放一块石头

8、完全沉入水中，这时水面上升了 4 厘米。如果把石头取出来又放入一个铁球（球浸没在水中，且水没有溢出），这时水深 17 厘米，正好是水箱的高度。求水箱的容积和铁球、石头的体积。分析与解法第 3 页 共 6 页水上升 4 厘米的体积就是石头的体积。17107（厘米），这 7 厘米高的水的体积就是铁球的体积，由这些已知条件，再根据长方体的体积公式就能分别求出它们的体积。解： 16 15 4960（立方厘米）16 15 （ 1710） 1680（立方厘米）16 15 174080（立方厘米）答：水箱的容积是 4080 立方厘米，铁球的体积是 1680 立方厘米，石头的体积是 960 立方厘米。说明：

9、仔细读题，注意“ 上升了”，“ 水深” 等词语，很容易解题。例 7 一个棱长都是整数的长方体的表面积是110 平方厘米，已知它的6 个面中有 2 个相对面是正方形，它的体积是多少？分析与解法根据题意得知，这个长方体6 个面中有两个面是正方形，假设它的长、宽相等。假设长和宽用字母a 表示，高用 h 表示，根据等量关系式就能找到答案。解：设长方体的长和宽都是a 厘米，高是h 厘米。由题意可知：2a2+4ah=110 即 a（a+2h）=55=5 11 因为 a 和 h 都是整数，所以 a 5，a2h11 所以 a=5,h=3 长方体的体积是 5 5 375（立方厘米）答：长方体的体积是 75 立方

10、厘米。说明 : 当题目出现未知数时，列方程解方程是比较简便的方法。例 8 小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如图（1），从侧面看如图（2），那么他最多用了多少块木块？最少用了多少块木块？（1）（2）分析与解法（1）最多用了 25 块正方体，第一层放3 412 块，第二层放3 39 块，第三层的4 角各放一块共4 块，总共用了 129425 块。（2）在（ 1）的基础上不影响视图（1）、（2）的情况下逐步减少正方体，最少用9 块。我们用图来说明第 4 页 共 6 页3 1 2 3 3 0 0 0 2 1 2 2 0 0 2 0 3 1 2 3 0 1 0 3 小正方体最多

11、25 块 最少 9 块在一个 4 3 的方格长方形中， 每个小方格中标有的数字表示在这个小方格中摞起的小正方体的个数。左图显示最多用 25 块小正方体；右图显示最少用 9 块小正方体。练 习1. 图（ 1）是用棱长 1 厘米的立方体搭成的一个空间图形，问其体积是多少？表面积是多少？2. 从一个长方体上截下一个体积是 32 立方厘米的长方体后，剩下的部分正好是棱长为 4 厘米的正方体，问原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？3. 下面图中哪些可以拼成正方体（）C D A B 4. 一根铁丝围成的长方体，长15 分米，宽8 分米，高7 分米，如果还用这根铁丝改围成一个正方体，那么这个正方体的棱长是多少分米？5. 用棱长是 1 厘米的立方块拼成如图的立体图形，从正面看和从右面看得到的是什么样的图形？第 5 页 共 6 页6. 一个长方体的水箱，从里面量长 8 分米，宽 6 分米，先倒入 102 升水，再放入一