数学建模-稳定性问题

1、稳定性问题 在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的开展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么方法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下面，我们将研究几个与稳定性有关的问题。 一般的微分方程或微分方程组可以写成：定义 称微分方程或微分方程组 为自治系统或动力系统。（3.28） 假设方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足。称点Xo为微分方程或微分方程组3.28)的平衡点或奇点。 例 Logistic模型

2、共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。 当NoK时，那么位于N=K的上方。从图3中不难看出，假设No0，积分曲线在N轴上的投影曲线称为轨线将趋于K。这说明，平衡点N=0和N=K有着极大的区别。 定义1 自治系统 的相空间是指以（x1,xn）为坐标 的空间Rn。 特别，当n=2时，称相空间为相平面。空间Rn的点集(x1,xn)|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,n称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。 定义2 设x0是的平衡点，称： 1x0是稳定的，如果对于任意的0，存在一个0，只要|x(0)- x0|，就

3、有|x(t)- x0|对所有的t都成立。 （2）x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。 微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。 3x0是不稳定的，如果1不成立。根据这一定义，Logistic方程的平衡点N=K是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点N=0那么是不稳定的。 解析方法定理1 设xo是微分方程 的平衡点：若 ,则xo是渐近稳定的若 ,则xo是渐近不稳定的证 由泰勒公式，当x与xo充分接近时，有： 由于xo是平衡点，故f(xo)=0。若 ，则当x0，从而x单增；当xxo时，又有f(x)0，可能出现以下情形： 若q0，120。 当p0时，零点不稳定

4、； 当p0时，零点稳定 若q0，120时，零点不 稳定 当p0时，零点稳定（2） 0，零点稳定若a=0，有零点为中心的周期解 综上所述：仅当p0时， 零点才是渐近稳定的；当p=0且q0时有周期解，零点是稳定的中心非渐近稳定；在其他情况下，零点均为不稳定的。 非线性方程组平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立:定理2 假设的零点是渐近稳定的，那么的平衡点 也是渐近稳定的；假设的零点是不稳定的，那么 的平衡点也是不稳定的。 高维几乎线性微分方程组的稳定性 关于本节前边所讨论的按线性近似决定平面几乎线性近似系统的奇点的理论可以推广到高维情况。但是高维系统相空间中轨线的相图更加复杂，而实际问题往往更关

5、心是解的稳定性，所以下边我们将主要讨论按线性近似决定高阶微分方程组零解的稳定性问题。阶常系数线性微分方程组为此先讨论阶线性方程组零解的稳定性。(5.4.27)的任一解均可表示为形如 的线性组合，这里 为系数矩阵 的特征方程的根 为 阶单位阵， 为 的多项式，其次数低于 所对应的初等因子的次数，由线性方程组解的理论可以得出如下定理。定理 系统(5.4.27)的系数矩阵 的特征为 那么(1) 假设 均具有负实部，那么系统(5.4.27)的 零解是渐近稳定的；(2) 假设 中至少有一个具有正实部，那么系统 (5.4.27)的零解是不稳定的；(3) 假设 中没有正实部的根，但是有零根或零实部的纯虚根，

6、那么当零根或零实部根的初等因子都是一次时(5.4.27)的零解是稳定的。当零根或零实部的根中至少有一个的初等因子大于1时系统 (5.4.27)的零解是不稳定的。特征方程的不容易求得，无法判断其正负例 研究方程组(5.4.28)零解的稳定性。解 方程组的系数矩阵为特征方程为 Routh-Hurwitz 判据定理 对一元 次常系数代数方程其中 ，做行列式式中，当 时 ，那么(5.4.30)的所有根均具有负实部的充要条件是 的一切主子式都大于零，即下边不等式同时成立： 对于上边例子中方程 (5.4.29) ， ，故(5.4.29)的根均具有负实部，因此方程组(5.4.28)的零解是渐近稳定的。定义同

7、 (5.4.27) ，下面考虑非线性微分方程组(5.4.31) 其中且满足 及 。这时(5.4.31)也称为几乎线性系统，且 是其解。定理 假设 的所有特征根均具有负实部，那么(5.4.31)的 零解是渐近稳定的。假设 的特征根中至少有一个具 有正实部，那么系统(5.4.31)的零解是不稳定的。例 讨论非线性方程组的零解的稳定性。解 原方程组在原点处 的线性近似方程组 的系数矩阵为容易求出它的 3 个特征根为有一个正实根，而非线性项 满足(5.4.32)，因此由定理 5.4 知系统 (5.4.33) 的零解是不稳定的。说明：(1) 由定理得到的常系数的线性方程组的稳定性是大范围的，而由定理得到的非线性方程组的稳定性是小范围的。(2) 当系统(5.4.31)的线性近似系统(5.4.27)的系数矩阵 的特征根均具有非正实部，但至少有一个零实部的根或零根，这时非线性系统(5.4.31)的稳定性态并不能由其线性近似系统来决定，这种情况我们称之为临界情形