全国第八届青年数学教师优质课教学设计正弦定理

1、2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计第一课时正弦定理一、教学内容解析本节课正弦定理第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节正弦定理和余弦定理。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思

2、维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。通过这三个层次：探索发现推导证明实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上，引导学生充分体验、直观感知、

3、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。二、教学目标设置数学课程标准中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的”数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为：1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；2、证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法；3、初步熟知正弦定理的两个重要应用。另外，学生通过亲身经历正弦定理的发现、验证、证明，体会“陌生的知识借助熟悉的知识处理”转化化归的数学思想，培养学生发

4、现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力；通过自主探究、合作交流，亲身体验正弦定理的发现过程，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰难的思维品质和个人素养；培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法。三、学生学情分析1、学生具有的基础本节课内容安排在高二上学期讲授，学生在初中已经学过平面几何的相关知识，并能够较为熟练地解直角三角形，必修四中也刚刚学过三角函数，在本章节的理解上不会有太大问题。2、即将面临的问题学生虽然有一定的观察分析和解决问题的能力，但是在前后知识的串联上会有一定的难度，学生对解直角三角形熟悉，但是面对一般的解三角形问题，解决起来有一定难度。因此，我确定本节课的难点是借助熟知的解

5、直角三角形知识生成正弦定理的过程。3、难点突破技巧在教学过程中，我特别注重提升学生的学习积极性，尽量多得设置思维引导点，带领学生一起分析并解决问题；在问题的处理上，更加注重前后知识的串联，用已有知识解决新问题，并得到新知识；学习过程的推进也是逐步实现，环环相扣，循序渐进。四、教学策略分析本节课采用问题探究式教学模式，循序渐进，用问题驱动课堂教学，在老师的引导下，让学生探究、合作、交流、展示，尽可能多的质疑、探究、讨论，多参与课堂知识的生成和发现的过程，形成思维。五、教学过程学习目标展示1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；2、证明正弦定理，了解正弦定理的一些推导方法；

6、3、初步熟知正弦定理的两个重要应用.学习环节学习目标评价任务获取学生解学习活动引例1：如图，设A、B两点在河的设计意图引例1：引导学直角三角形的知识的掌握情况，评两岸，测绘人员只有皮尺和测角仪两种工生从熟知的直角三具，没法跨河测量，利用现有工具，你能角形出发，解决实价学生设计方案的合理性。利用所学的解三角形知识设计一个测量A、B两点距离的方案吗？（学生发散思维，老师提问发言）际问题，为后续处理一般三角形埋下伏笔。（一）实例引入目标1激发动机观察学生的解决问题的完成（老师追问）引例2：如果测量人员任意选取C引例2：对于一般三角形，学生比过程，并让学生分点，测出BC的距离是54m，较熟悉转化为直角

7、享展示结果，评价学生的转化化归能力，对后续证明B45,C60.问根据这些数据能解决测量者的问题吗？三角形解决，转化化归的思想为后续正弦定理证明埋下的影响。伏笔。学习环节学习目标评价任务评价学生前后知识串联的熟练学习活动在引例2数学模型：ABC中，BC54，B45,C60.求边长AB.设计意图培养学生数学建模思维。程度和对新问题（一）实例引入的探究欲望。问题：再看这个数学问题，已知三角形的部分边长和内角，求其他边长和内在新问题产生时，学生根据已有激发动机目标1角。这个问题其实是解斜三角形的边角关的知识是迷茫的，系问题。但是没有学过，我们知道在任意有疑惑的，这时也三角形中有大边对大角，小边对小角的

8、关是产生知识缺陷，系，那么我们是否能够得到这个边、角关急需新知的时候，系准确量化的表示呢？恰如其分的勾起了学生的求知欲。3,对应边的边长（二）实验探究目标1猜想证明目标2评价学生利用三角函数定义串联三边和三个内角数量关系是否准确合理。探究一：直角三角形边角数量关系（引导学生利用正弦函数定义，关键是引导学生把两个正弦等式absinA;sinB糅合在一起。）cc探究二：斜三角形边角数量关系实验1：如图，在等边ABC中，ABCa:b:c1:1:1，验证从已有的知识结构出发，不让学生在思维上出现跳跃，逐层递进，通过已经熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点，再对特殊的斜三角形进行验证，学习环节学习

9、目标目标1评价任务评价学生实验的完成情况，和实验结果的准确abc是否成立？sinAsinBsinC学习活动实验2：如图，在等腰ABC中，AB30,C120，对应边的边长a:b:c1:1:3，验证过渡到一般的斜三设计意图角形边角关系的探究。让学生亲自体验数学实验探究的目标2性，对实验结果的abcsinAsinBsinC是否成立？过程，逐层递进，认可。体会数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。（二）评价展示过实验3：借助多媒体动态演示，引导多媒体技术的实验探究程，观察学生的感发现随着三角形的任意变换，引入演示，让学生、的值相等。猜想证明目标1目标2知情况，把握信息的情况。abcsinAsinBsinC

10、更加直观感受到变换，加深理解。猜想：通过这样的一些实验，我们可以猜想对于任意的斜三角型也存在这样的边角数量关系：abc；sinAsinBsinC大胆猜想，激发学生探索未知世界的勇气。经历猜想到证问题：但是并没有经过严密的数学推明的过程，让学生导，那么如何证明这个结论呢？体会到数学新知识的获得仅仅靠猜想学习环节学习目标目标1目标2评价任务评价学生证明过程的展示，证明方法和解决思学习活动证明方法1作高法和面积法引导学生利用熟悉的解直角三角形知识对锐角三角形边角数量关系进行证设计意图和演绎推理是不够的，必须经过严密的数学推导进行证路的能力。明，学生展示证明过程，并用不同的方法明才可以。在这个进行说明

11、。过程中，也进一步促进学生数学思维品质的提升。（二）概念生成：展示正弦定理的定义：我们把三角形让学生加深对sinAsinBsinC。实验探究目标1猜想证明评价学生对生成概念的理解的准确程度。边角关系的这条性质称为正弦定理（law正弦定理概念的准ofsines），即在任意一个三角形中，各边确理解和它所对的角的正弦的比相等，即abc证明方法2外接圆法目标1评价学生证多种方法的证引导学生思考外接圆中直角的生目标2明正弦定理的方明，拓宽学生思维，成，并进一步鼓励学生课下对其他证明方法的掌握程度。进一步加深对正弦学习环节学习目标评价任务法的搜集和整理。学习活动带领学生利用正弦定理解三角形，演定理的理解。

12、设计意图让学生了解三示解题过程，解决引例中的疑问，引导学角形的概念，形成生对前后方法进行对比，体会正弦定理的知识的完备性。回（三）评价学生正应用。过头来，解决引例首尾呼应目标1弦定理解决引例借助解决过程给出定义：一般地，把中的问题，让学生解决引例目标3的情况，和前后不三角形的三个角A、B、C和它们的对体会学习正弦定理同解决方法对比的优越性。关注学生能够使用规范的数学语言和符号表述解边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。引导学生利用正弦定理解决例题并展示，教师展示规范的解题过程。例1：在ABC中，已知A30新知识解决实际问题的方便，激发学生不断探索新知识

13、的欲望。通过例题归纳出正弦定理在解三（四）学以致用目标1题过程，能够顺利使用正弦定理，体BA30，45，a2,求C、b、c.。角形中的两个主要引导学生归纳正弦的第一个主要应应用，形成用正弦归类总结目标3现正弦定理的工用定理解三角形的思具性。评价学生利用正弦定理解决问题的掌握情况。路，解决问题，提例2：在ABC中，已知升学习热情，体验23a2，b2，A45，解三角形。学习乐趣。引导学生归纳正弦的第二个主要应用。学习环节学习目标目标1目标3评价任务了解学生对正弦定理解三角形的理解深度，并引导后续的学习。学习活动问题：解三角形还有其他情况吗？如：已知两边和夹角。提问学生，总结分享收获：设计意图串联前后知识，形成知识串，激发学生后续学习的兴趣。有助于加深学（五）目标1总结升华目标2提升素养目标3评价学生的分享内容，把握学生对所学知识的理解程度。生对本节课重点核心知识和数学思想通过学生的总结，突出本节课所学的知识方法的把握，提升和技能，提炼学习过程中渗透的数学思想学生的数学素养。方法，感受学习成功的喜悦。1、正弦定理的其他证明方法；课堂的学习时2、通过以