北京市中考数学专题突破六：圆的有关计算(含答案)

1、专题突破(六)圆中有关计算圆的中档解答题分值为5分，难度中等偏上，是每一位考生力争满分的题型之一，所考查知识点相对稳定，主要考查学生对圆、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力从题目本身来看，一般都采取标准的两问式子.2015年随着考试改革，本题的位置调整为23题，难度等同于去年年份20112012201320142015题号202123考点圆周角定理；切线的判定；相似三角形的性质与判定；解直角三角形垂径定理；切线的判定与性质；相似三角形的性质与判定；解直角三角形切线长定理；相似三角形的性质和判定；勾股定理的应用切线的性质；等腰三角形的判定；全等三角形的性质与判定；勾股定理的应用切线

2、的性质；等边三角形的判定和性质；勾股定理的应用12015北京 如图Z61，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，弦CDBM，交AB于点F，且eq o(DA,sup8()eq o(DC,sup8()，连接AC，AD，延长AD交BM于点E.(1)求证：ACD是等边三角形；(2)连接OE，若DE2，求OE的长图Z6122014北京 如图Z62，AB是O的直径，C是eq o(AB,sup8()的中点，O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交O于点H，连接BH.(1)求证：ACCD；(2)若OB2，求BH的长图Z6232013北京 如图Z63，AB是O的直径

3、，PA，PC分别与O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DEPO交PO的延长线于点E.(1)求证：EPDEDO；(2)若PC6，tanPDAeq f(3,4)，求OE的长图Z6342012北京 如图Z64，已知AB是O的直径，C是O上的一点，ODBC于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.(1)求证：BE与O相切；(2)连接AD并延长交BE于点F，若OB9，sinABCeq f(2,3)，求BF的长图Z6452011北京 如图Z65，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且CBFeq f(1,2)CAB.(1)求证：直线

4、BF是O的切线；(2)若AB5，sinCBFeq f(r(5),5)，求BC和BF的长图Z6512014东城一模 如图Z66，AB是O的直径，点E是eq o(BD,sup8()上的一点，DACAED.(1)求证：AC是O的切线；(2)若点E是eq o(BD,sup8()的中点，连接AE交BD于点F，当BD5，CD4时，求DF的值图Z6622014海淀一模 如图Z67，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC，AC分别交于D，E两点，DFAC于点F. (1)求证：DF为O的切线；(2)若cosCeq f(3,5)，CF9，求AE的长图Z6732014西城一摸 如图Z68，在ABC中，ABA

5、C，以AB为直径作O，交BC于点D，连接OD，过点D作O的切线，交AB的延长线于点E，交AC于点F.(1)求证：ODAC；(2)当AB10，cosABCeq f(r(5),5)时，求AF及BE的长图Z6842015东城一模 如图Z69，在O中，AB为直径，OCAB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作O的切线交于点G，且GD与AB的延长线交于点E.(1)求证：12；(2)已知OFOB13，O的半径为3，求AG的长图Z6952015海淀二模 如图Z610，AB为O的直径，C，D为O上不同于A，B的两点，ABD2BAC，连接CD.过点C作CEDB，垂足为E，直线AB与CE相交于点F.(1)求证：

6、CF为O的切线；(2)当BF5，sinFeq f(3,5)时，求BD的长图Z61062015青山区一模 如图Z611，AB是O的直径，BC交O于点D，E是eq o(BD,sup8()的中点，连接AE交BC于点F，ACB2EAB.(1)求证：AC是O的切线；(2)若cosCeq f(2,3)，AC6，求BF的长图Z61172015朝阳一模 如图Z612，ABC内接于O，AB为直径，点D在O上，过点D作O的切线与AC的延长线交于点E，EDBC，连接AD交BC于点F.(1)求证：BADDAE；(2)若AB6，AD5，求DF的长图Z61282015丰台一模 如图Z613，O的直径AB垂直于弦CD，垂足

7、为E，过点C作O的切线，交AB的延长线于点P，连接PD.(1)判断直线PD与O的位置关系，并加以证明；(2)连接CO并延长交O于点F，连接FP交CD于点G.如果CF10，cosAPCeq f(4,5)，求EG的长图Z61392015海淀一模 如图Z614，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，过点C作O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为O的直径(1)求证：ODCE；(2)若DF1，DC3，求AE的长图Z614102015西城一模 如图Z615，AB为O的直径，M为O外一点，连接MA与O交于点C，连接MB并延长交O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称作BEl于点E，连接A

8、D，DE.(1)依题意补全图形；(2)在不添加新的线段的条件下，写出图中与BED相等的角，并加以证明图Z615参考答案北京真题体验1.解：(1)证明：BM是O的切线，AB为O的直径，ABBM.BMCD，ABCD，eq o(AD,sup8()eq o(AC,sup8()，ADAC.eq o(DA,sup8()eq o(DC,sup8()，DCAD，ADCDAC，ACD为等边三角形(2)ACD为等边三角形，ABCD，DAB30.连接BD.AB为O的直径，BDAD，EBDDAB30.DE2，BE4，BD2 eq r(3)，AB4 eq r(3)，OB2 eq r(3).在RtOBE中，OEeq r(

9、OB2BE2)eq r(1216)2 eq r(7).2.解：(1)证明：如图，连接OC.C是eq o(AB,sup8()的中点，AB是O的直径，OCAB.BD是O的切线，BDAB，OCBD.AOBO，ACCD.(2)E是OB的中点，OEBE.在COE与FBE中，CEOFEB，OEBE，COEFBE，COEFBE(ASA)，COBF.OB2，BFOC2，AFeq r(4222)2 eq r(5).AB是O的直径，BHAF，ABFBHF，ABBFAFBH，BHeq f(ABBF,AF)eq f(42,2 r(5)eq f(4 r(5),5).3解：(1)证明：PA，PC与O分别相切于点A，C，A

10、POEPD，PAAO，即PAO90.AOPEOD，PAOE90，APOEDO，EPDEDO.(2)连接OC.PAPC6，tanPDAeq f(3,4)，在RtPAD中，AD8，PD10，CD4.tanPDAeq f(3,4)，在RtOCD中，OC3，OD5.EPDEDO，OEDDEP，eq f(PD,OD)eq f(DE,OE)eq f(10,5)eq f(2,1)，DE2OE.在RtOED中，OE2DE252，OEeq r(5).4解：(1)证明：连接OC.EC与O相切，C为切点，ECO90.OBOC，OCBOBC.ODBC，DBDC，直线OE是线段BC的垂直平分线，EBEC，ECBEBC，

11、ECOEBO，即EBO90.AB是O的直径，BE与O相切(2)过点D作DMAB于点M，则DMFB.在RtODB中，ODB90，OB9，sinABCeq f(2,3)，ODOBsinABC6.由勾股定理，得BDeq r(OB2OD2)3 eq r(5).在RtDMB中，同理得DMBDsinABC2 eq r(5)，BMeq r(BD2DM2)5.O是AB的中点，AB18，AMABBM13.DMFB，AMDABF，eq f(MD,BF)eq f(AM,AB)，BFeq f(MDAB,AM)eq f(36 r(5),13).5解：(1)证明：如图，连接AE.AB是O的直径，AEB90，1290.AB

12、AC，1eq f(1,2)CAB.CBFeq f(1,2)CAB，1CBF，CBF290，即ABF90.AB是O的直径，直线BF是O的切线(2)如图，过点C作CGAB于点G.sinCBFeq f(r(5),5)，1CBF，sin1eq f(r(5),5).AEB90，AB5，BEABsin1eq r(5).ABAC，AEB90，BC2BE2 eq r(5).在RtABE中，由勾股定理，得AE2 eq r(5)，sin2eq f(2 r(5),5)，cos2eq f(r(5),5).在RtCBG中，可求得GC4，GB2，AG3.GCBF，AGCABF，eq f(GC,BF)eq f(AG,AB)

13、，BFeq f(GCAB,AG)eq f(20,3).北京专题训练1.解：(1)证明：AB是O的直径，ADBADC90.BAEDCAD，CC，CCADCB90，BACADC90.又AB是O的直径，AC是O的切线(2)可证ADCBAC，eq f(AC,BC)eq f(CD,AC)，即AC2BCCD36.解得AC6.E是eq o(BD,sup8()的中点，DAEBAE.CAFCADDAEABFBAEAFD，CACF6，DFCFCD2.2解：(1)证明：如图，连接OD，AD.AB是O的直径，ADB90.又ABAC，D为BC的中点又O为AB的中点，ODAC.DFAC，DFOD.又OD为O的半径，DF为

14、O的切线(2)如图，连接BE.DFAC，CF9，cosCeq f(CF,CD)，CDeq f(CF,cosC)9eq f(3,5)15.ADB90，ADC90，cosCeq f(CD,AC)，ACeq f(CD,cosC)15eq f(3,5)25.AB是O的直径，AEB90.又DFAC，DFBE，eq f(CF,EF)eq f(CD,BD)1，EFCF9，AEACEFCF25997.3解：(1)证明：如图，连接AD.AB是O的直径，ADB90，ADBC.ABAC，12.又OAOD，1ODA，2ODA，ODAC.(2)EF是O的切线，ODE90.由(1)知ODAC，12，ADB90，AFEOD

15、E90，ADFABC.在RtADB中，AB10，cosABCeq f(r(5),5)，AD4 eq r(5)，BD2 eq r(5)，OD5.在RtAFD中，cosADFcosABCeq f(r(5),5)，DF4，AF8.ODAC，eq f(OD,AF)eq f(OE,AE)，即eq f(5,8)eq f(BE5,BE10)，BEeq f(10,3).4解：(1)证明：如图，连接OD.DE为O的切线，OD为O的半径，ODDE，ODE90，即2ODC90.OCOD，CODC，2C90.而OCOB，3C90，23.13，12.(2)OFOB13，O的半径为3，OF1.12，EFED.在RtODE

16、中，OD3，设DEx，则EFx，OE1x.OD2DE2OE2，32x2eq blc(rc)(avs4alco1(x1)eq sup12(2)，解得x4，DE4，OE5.AG为O的切线，OA为O的半径，GD为O的切线，AGAE，GAGD，GAE90.在RtAGE中，设DGAGt，则GEt4.AG2AE2GE2，t282eq blc(rc)(avs4alco1(t4)eq sup12(2)，解得t6，AG6.5.解：(1)证明：如图，连接OC.OAOC，12.又312，321.又421，43，OCDB.CEDB，OCCF.又OC为O的半径，CF为O的切线(2)如图，连接AD.在RtBEF中，BEF

17、90，BF5，sinFeq f(3,5)，BE3.OCBE，FBEFOC，eq f(FB,FO)eq f(BE,OC).设O的半径为r，eq f(5,5r)eq f(3,r)，解得req f(15,2).AB为O的直径，AB15，ADB90.4EBF，FBAD，sinBADeq f(BD,AB)sinFeq f(3,5)，eq f(BD,15)eq f(3,5)，BD9.6解：(1)证明：如图，连接AD.E是eq o(BD,sup8()的中点，eq o(DE,sup8()eq o(BE,sup8()，EABEAD.ACB2EAB，ACBDAB.AB是O的直径，ADB90，DACACB90，DA

18、CDAB90，即BAC90，ACAB.又AB是O的直径，AC是O的切线(2)如图，过点F作FHAB于点H.在RtACD中，cosCeq f(CD,AC)eq f(2,3)，AC6，CDeq f(2,3)64.在RtACB中，cosCeq f(AC,BC)eq f(2,3)，BCeq f(3,2)69，BDBCCD945.EABEAD，即AF平分BAD，而FDAD，FHAB，FDFH.设BFx，则DFFH5x.FHAC，HFBC.在RtBFH中，cosBFHcosCeq f(2,3)eq f(FH,BF)，eq f(5x,x)eq f(2,3)，解得x3，即BF的长为3.7解：(1)如图，连接O

19、D.ED为O的切线，ODED.AB为O的直径，ACB90.BCED，ACBEEDO90，AEOD，DAEADO.OAOD，BADADO，BADDAE.(2)如图，连接BD.AB是O的直径，ADB90.AB6，AD5，BDeq r(AB2AD2)eq r(11).BADDAECBD，tanCBDtanBADeq f(r(11),5).在RtBDF中，DFBDtanCBDeq f(11,5).8解：(1)PD与O相切证明：如图，连接OD.在O中，ODOC，ABCD于点E，12.又OPOP，OCPODP，OCPODP.又PC切O于点C，OC为O的半径，OCPC，OCP90，ODP90，ODPD.又点D在O上，PD与O相切于点D.(2)如图，过点F作FMAB于点M.OCP90，CEOP于点E，3490，APC490，3APC.cosAPCeq f(4,5)，RtOCE中，cos3eq f(CE,OC)eq f(4,5).CF10，OFOCeq f(1,2)CF5，CE4，OE3.又FMAB，ABCD，FMOCEO90.51，OFOC，OFMOCE，FMCE4，OMO