高考数学之不等式放缩常用技巧(带答案)

1、高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：奇巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)(12) (13) (14) (15) (16) (17) 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以(2)因为,所以例2.(1)求证:(

2、2)求证: (3)求证:(4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证:解析: 一方面: 因为,所以另一方面: 当时,当时,当时,所以综上有例4、已知an=n ，求证： eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) eq f( eq r(k) , eq ao(2,k) ) 3证明： eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) = eq o(,sup5(n),sdo5(k=1) 1 eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) eq f(1

3、, eq r(k1)k(k1) ) eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) eq f(2, eq r(k1)(k1) ( eq r(k1) eq r(k1) ) =1 eq o(,sup5(n),sdo5(k=2) ( eq f(1, eq r(k1) ) eq f(1, eq r(k1) ) ) =11 eq f(1, eq r(n1) ) 23例5、已知数列满足求证：证明: 例6.已知,求证:.解析:所以从而二、函数放缩例7.求证：. 解析:先构造函数有,从而所以例8.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: ,例9.求证:解析:提示:函数构

4、造形式: 例10.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题)例11. 已知证明. 解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即例12. 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.( = 1 * ROMAN I)求证：函数上是增函数； ( = 2 * ROMAN II)当；( = 3 * ROMAN III)已知不等式时恒成立，求证：解析:( = 1 * ROMAN I),所以函数上是增函数 ( = 2 * ROMAN I

5、I)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以令,有 所以(方法二) 所以 又,所以三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例13. 姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即例14.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩例15.求证:解析: 例16、求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。五、借助数列递推关系例

6、17.求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到所以例18. 求证: 解析: 设则,从而,相加后就可以得到例19. 若,求证: 解析: 所以就有六、均值不等式放缩例20.设求证解析: 此数列的通项为，即注： = 1 * GB3 应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ = 2 * GB3 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例21.已知函数，若，且在0，1上的最小值为，求证：解析: 例22、已知，证明：不等式对任何正整数都成立.证明：要证，只要证 .因为 ，故只要证 ，即只要证 .因为，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.七、经典题目方法探究探究.已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:.证明:首先:可以得到.先证明 (方法一) 所以(方法二)因为,相乘得: ,从而.(方法三)设A=,B=,因为AB,所以A2AB,所以, 从而.下面介绍几种方法证明(方法一)因为,所以,所以有 (方法二),因为,所以 令,可以得到,所以有(