2021年全国中考数学真题分类汇编--四边形：命题、四边形中的计算与证明（压轴题）（ 答案版）

1、2021全国中考真题分类汇编（四边形）-命题、四边形中的计算与证明（压轴题）一、选择题1. （2021湖南省衡阳市）下列命题是真命题的是（）A正六边形的外角和大于正五边形的外角和B正六边形的每一个内角为120C有一个角是60的三角形是等边三角形D对角线相等的四边形是矩形【分析】根据多边形的外角和都是360度对A作出判断；根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角和，再求出每个内角对B作出判断；根据等边三角形的判定对C作出判断；根据矩形的判定对D作出判断【解答】解：A每个多边形的外角和都是360，故错误，假命题；B正六边形的内角和是720，每个内角是120，故正确，真命题；C有一个角是60的等腰三

2、角形是等边三角形，故错误，假命题；D对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题故选：B2. （2021怀化市）以下说法错误的是（）A多边形的内角大于任何一个外角B任意多边形的外角和是360C正六边形是中心对称图形D圆内接四边形的对角互补【分析】直接利用中心对称图形的定义以及圆内接四边形的性质、多边形的外角和的性质分别分析得出答案【解答】解：A多边形的内角不一定大于任何一个外角，故此选项错误，符合题意；B任意多边形的外角和是360,正确，不合题意；C正六边形是中心对称图形,正确，不合题意；D圆内接四边形的对角互补,正确，不合题意；故选：A3. （2021岳阳市） 下列命题是真命题的是（ ）A.

3、 五边形内角和是B. 三角形的任意两边之和大于第三边C. 内错角相等D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B4. （2021四川省达州市）以下命题是假命题的是（）A的算术平方根是2B有两边相等的三角形是等腰三角形C一组数据：3，1，1，1，2，4的中位数是1.5D过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】根据算术平方根、等腰三角形的定义、中位数以及平行公理判断即可【解答】解：A、2的算术平方根是，符合题意；B、有两边相等的三角形是等腰三角形，不符合题意；C、一组数据：3，1，4，2，4的中位数是6.5，不符合题意；D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，不符

4、合题意；故选：A5. （2021四川省广元市）下列命题中，真命题是（ ）A. B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D. 已知抛物线，当时，【答案】D【解析】【分析】根据零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除选项【详解】解：A、，错误，故不符合题意；B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意；C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意；D、由抛物线可得与x轴的交点坐标为，开口向上，然后可得当时，正确，故符合题意；故选D6. （2021四川省凉山州）下列命题中，假命题是（ ）A. 直角三角形斜边上

5、的中线等于斜边的一半B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合C. 若，则点B是线段AC的中点D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心【答案】C【解析】【分析】根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题；B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；C、若在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC的中点，故为假命题；D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；故选C7. （2021泸州市）下列命题是真命题的是（ ）A.

6、 对角线相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】B【解析】【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；故选：B8. （

7、2021遂宁市）下列说法正确的是（）A. 角平分线上的点到角两边的距离相等B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C. 在代数式，中，是分式D. 若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式，中，是分式，故选项错误；D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；故选：A9. （2021绥化

8、市）下列命题是假命题的是（ ）A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【答案】C【解析】【分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解【详解】解：选项A：三角形的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；选项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，符合题意；

9、选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题意；故选：C10. （2021呼和浩特市）以下四个命题：任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队两个正六边形一定位似有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多比其他的都少其中真命题的个数有BA1个B2个C3个D4个11. (2021内蒙古包头市)下列命题正确的是（）A. 在函数中，当时，y随x的增大而减小B. 若，则C

10、. 垂直于半径的直线是圆的切线D. 各边相等的圆内接四边形是正方形【答案】D12. （2021黑龙江省龙东地区）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，则下列结论：；点D到CF的距离为其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意易得，由三角形中位线可进行判断；由DOC是等腰直角三角形可进行判断；根据三角函数可进行求解；根据题意可直接进行求解；过点D作DHCF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解【详解】解：四边形是正方形，点是的中点，则，OFBE，DGFDCE，故正确；点G是CD的中点，OGCD，

11、ODC=45，DOC是等腰直角三角形，故正确；CE=4，CD=8，DCE=90，故正确；，故错误；过点D作DHCF，交CF的延长线于点H，如图所示：点F是CD的中点，CF=DF，CDE=DCF，设，则，在RtDHC中，解得：，故正确；正确的结论是；故选C13.（2021山东省泰安市）如图，在矩形ABCD中，AB5，BC5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）ABCD3【分析】如图，以AB为边向右作等边ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DHQE于H利用全等三角形的性质证明AFQ90,推出AEF60,

12、推出点Q的运动轨迹是射线FE,求出DH,可得结论【解答】解：如图，以AB为边向右作等边ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DHQE于H四边形ABCD是矩形，ABPBAE90,ABF,APQ都是等边三角形，BAFPAQ60,BAFA,PAQA,BAPFAQ,在BAP和FAQ中，,BAPFAQ(SAS),ABPAFQ90,FAE906030,AEF903060,ABAF5,AEAFcos30,点Q的运动轨迹是射线FE,ADBC5,DEADAE,DHEF,DEHAEF60,DHDEsin60,根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，故选：A14. （2021四川省南充市）如

13、图，在矩形ABCD中，AB15，BC20，把边AB沿对角线BD平移，点A，B分别对应点A，B给出下列结论：顺次连接点A，B，C，D的图形是平行四边形；点C到它关于直线AA的对称点的距离为48；ACBC的最大值为15；AC+BC的最小值为9其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据平行四边形的判定可得结论作点C关于直线AA的对称点E,连接CE交AA于T,交BD于点O,则CE4OC利用面积法求出OC即可根据ACBCAB,推出ACBC15,可得结论作点D关于AA的对称点D,连接DD交AA于J,过点D作DECD交CD的延长线于E,连接CD交AA于A,此时CB+CA的值最小，最小值CD

14、【解答】解：如图1中，ABAB,ABAB,ABCD,ABCD,ABCD,ABCD,四边形ABCD是平行四边形，故正确，作点C关于直线AA的对称点E,连接CE交AA于T,交BD于点O,则CE4OC四边形ABCD是矩形，BCD90,CDAB15,BD25,BDCOBCCD,OC12,EC48,故正确，ACBCAB,ACBC15,ACBC的最大值为15,故正确，如图2中，BCAD,AC+BCAC+AD,作点D关于AA的对称点D,连接DD交AA于J,过点D作DECD交CD的延长线于E,连接CD交AA于A,此时CB+CA的值最小，最小值CD,由AJDDAB,可得,DJ12,DD24,由DEEDAB,可得

15、,ED,DE,CECD+DE15+,CD9,AC+BC的最小值为9故正确，故选：D15. （2021四川省眉山市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB6，DAC60，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：BDEEFC；EDEC；ADFECF；点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（）ABCD【分析】根据DAC60，ODOA，得出OAD为等边三角形，再由DFE为等边三角形，得EDFEFDDEF60，即可得出结论正确；如图，连接OE，利用SAS证明DAFDOE，再证明ODEOCE，即可得出结论正确；通过

16、等量代换即可得出结论正确；如图，延长OE至E，使OEOD，连接DE，通过DAFDOE，DOE60，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE运动到E，从而得出结论正确；【解答】解：DAC60，ODOA，OAD为等边三角形，DOADAOODA60，ADOD，DFE为等边三角形，EDFEFDDEF60，DFDE，BDE+FDOADF+FDO60，BDEADF，ADF+AFD+DAF180，ADF+AFD180DAF120，EFC+AFD+DFE180，EFC+AFD180DFE120，ADFEFC，BDEEFC，故结论正确；如图，连接OE，在DAF和DOE中，DAFDOE(

17、SAS)，DOEDAF60，COD180AOD120，COECODDOE1206060，COEDOE，在ODE和OCE中，ODEOCE(SAS)，EDEC，OCEODE，故结论正确；ODEADF，ADFOCE，即ADFECF，故结论正确；如图，延长OE至E，使OEOD，连接DE，DAFDOE，DOE60，点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE运动到E，OEODADABtanABD6tan302，点E运动的路程是2，故结论正确；故选：D二填空题1. （2021江苏省无锡市）下列命题中，正确命题的个数为 1所有的正方形都相似所有的菱形都相似边长相等的两个菱形都相似对角线相等的两个

18、矩形都相似【分析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：所有的正方形都相似，正确，符合题意；所有的菱形都相似，错误，不符合题意；边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，正确的有1个，故答案为：12.（2021四川省广元市）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：；为定值；以上结论正确的有_（填入正确的序号即可）【答案】【解析】【分析】由题意易得APF=ABC=ADE=C=90，AD=AB，ABD=45，对于：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得A

19、FP=ABD=45，则问题可判定；对于：把AED绕点A顺时针旋转90得到ABH，则有DE=BH，DAE=BAH，然后易得AEFAHF，则有HF=EF，则可判定；对于：连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易证AOPABF，进而问题可求解；对于：过点A作ANEF于点N，则由题意可得AN=AB，若AEF的面积为定值，则EF为定值，进而问题可求解；对于由可得，进而可得APGAFE，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解【详解】解：四边形是正方形，APF=ABC=ADE=C=90，AD=AB，ABD=45，由四边形内角和可得，点A、B、F

20、、P四点共圆，AFP=ABD=45，APF是等腰直角三角形，故正确；把AED绕点A顺时针旋转90得到ABH，如图所示：DE=BH，DAE=BAH，HAE=90，AH=AE，AF=AF，AEFAHF（SAS），HF=EF，故正确；连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示：点O是对角线的中点，OB=OD，OP=OM，AOB是等腰直角三角形，由可得点A、B、F、P四点共圆，AOPABF，故正确；过点A作ANEF于点N，如图所示：由可得AFB=AFN，ABF=ANF=90，AF=AF，ABFANF（AAS），AN=AB，若AEF的面积为定值，则EF为定值，点P在线段上，的长不可能为定值，故

21、错误；由可得，AFB=AFN=APG，FAE=PAG，APGAFE，故正确；综上所述：以上结论正确的有；故答案为3. （2021遂宁市）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：；若，则，你认为其中正确是_（填写序号）【答案】【解析】【分析】四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，得ABDFBE45，根据等式的基本性质确定出；再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；

22、根据两角相等的两个三角形相似得到EBHDBE，从而得到比例式，根据BEBG，代换即可作出判断；由相似三角形对应角相等得到BAFBDE45，可得出AF在正方形ABCD对角线上，根据正方形对角线垂直即可作出判断设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，结合BE2BHBD，求出BH，DH，即可判断【详解】解：四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，ABDFBE45，又ABF45DBF，DBE45DBF，选项正确； 四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，ADAB，BFBE，BDAB，BE=BF， 又，选项正确；四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，B

23、EHBDE45，又EBHDBE，EBHDBE， ，即BE2BHBD，又BEBG，选项确； 由知：，又四边形ABCD为正方形，BD为对角线，BAFBDE45，AF在正方形另外一条对角线上，AFBD，正确，设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，BE=， BE2BHBD，DH=BD-BH=,，故错误，综上所述：正确，故答案是：4. （2021天津市）如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为_【答案】【解析】【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可【详解】解:如图,作O

24、KBC，垂足点K，正方形边长为4，OK=2，KC=2，KC=CE，CH是OKE的中位线，作GMCD，垂足为点M，G点为EF中点，GM是FCE的中位线，在RtMHG中，故答案为：5. （2021湖南省张家界市） 如图,在正方形外取一点,连接,过点作的垂线交于点,若,.下列结论:；点到直线的距离为；，其中正确结论的序号为 . 6. （2021福建省）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EFAB，G是五边形AEFCD内满足GEGF且EGF90的点现给出以下结论：GEB与GFB一定互补；点G到边AB，BC的距离一定相等；点G到边AD，DC的

25、距离可能相等；点G到边AB的距离的最大值为2其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号）7. （2021广西贺州市）如图在边长为6的正方形中，点，分别在，上，且，垂足为，是对角线的中点，连接、则的长为_【答案】【解析】【分析】根据，则A、B、O、G四点共圆，则可以得到，解直角三角形即可得结果【详解】解：如图，连接，以为半径，的中点作圆，过作是正方形，是对角线，是正方形，在中在中故答案为8.（2021湖北省黄石市） 如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点（1）若正方形的边长为2，则的周长是_（2）下列结论：；若是的中点，则；连接，则为等腰直角三角形其中正确结论的序号是_（把你认为所

26、有正确的都填上）【答案】 . 4 . 【解析】【分析】(1)将AF绕点A顺时针旋转90，F点落在G点处，证明，进而得到，即可求出的周长；(2)对于：将AM绕点A逆时针旋转90，M点落在H点处，证明，即可判断；对于：设正方形边长为2，BE=x，则EF=x+1，CE=2-x，在RtEFC中使用勾股定理求出x，在利用AEF=AEB即可求解；对于：证明A、M、F、D四点共圆，得到AFM=ADM=45进而求解【详解】解：(1)将AF绕点A顺时针旋转90，F点落在G点处，如下图所示：，且，在和中：，又1+2=45，3+2=45，1=3，ABCD为正方形，AD=AB，在和中：，、三点共线，故答案为：；(2)

27、对于：将AM绕点A逆时针旋转90，M点落在H点处，如下图所示： 1+2=45，1+4=EAH-EAF=45，2=4，在和中： ,，在中，由勾股定理得：，在和中： ,，故正确；对于：由(1)中可知：EF=BE+DF，设正方形边长为2，当F为CD中点时，GB=DF=1，CF=1，设BE=x，则EF=x+1，CE=2-x，在RtEFC中，由勾股定理：，解得，即，,故错误；对于：如下图所示：EAF=BDC=45，A、M、F、D四点共圆，AFM=ADM=45，AMF为等腰直角三角形，故正确；故答案为：三、解答题1. （2021辽宁省本溪市）在中，平分，交对角线于点G，交射线于点E，将线段绕点E顺时针旋转

28、得线段（1）如图1，当时，连接，请直接写出线段和线段的数量关系；（2）如图2，当时，过点B作于点，连接，请写出线段，之间的数量关系，并说明理由；（3）当时，连接，若，请直接写出与面积的比值【答案】（1）；（2）,理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）延长，交于点，根据已知条件证明即可；（2）连接，过F作交的延长线于点，由，得，在由 三边关系利用勾股定理可得；（3）证明，得值，与的面积分别与的面积成比例，可得与面积的比值详解】（1）如图,延长，交于点，由题意，将线段绕点E顺时针旋转，四边形是平行四边形四边形是平行四边形平分四边形是菱形是等边三角形,，四边形是平行四边形=在和中（2）连接，过F作

29、交的延长线于点四边形是矩形，平分四边形是矩形在和中设则在中即整理得：（3）如图由（1）可知平分四边形是平行四边形2. （2021宿迁市）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周(1)如图，连接BG、CF，求的值；(2)当正方形AEFG旋转至图位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由旋转的性质联想到连接，证明即可求解；（2）由M、N分别是CF、BE的中点，联想

30、到中位线，故想到连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH，则可证即可得到，再由四边形内角和为可得，则可证明，即是等腰直角三角形，最后利用中位线的性质即可求解；（3）Q、N两点因旋转位置发生改变，所以Q、N两点的轨迹是圆，又Q、N两点分别是BF、BE中点，所以想到取AB的中点O，结合三角形中位线和圆环面积的求解即可解答【详解】解：（1）连接四边形ABCD和四边形AEFG是正方形分别平分即且都是等腰直角三角形（2）连接BM并延长使BM=MH，连接FH、EH是CF的中点又在四边形BEFC中又即即又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形三角形BEH是等腰直角三角形M、N分别是BH、BE的中点（3）取

31、AB的中点O，连接OQ、ON，连接AF在中，O、Q分别是AB、BF的中点同理可得所以QN扫过的面积是以O为圆心，和为半径的圆环的面积3. （2021山东省临沂市）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC（1）求证：AGGH；（2）若AB3，BE1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，BHC的大小是否变化？为什么？【分析】(1)由折叠的性质得出BAGGAFBAF,B,F关于AE对称,证出EAHBAD45,由等腰直角三角形的性质得出答案；(2

32、)连接DH,DF,交AH于点N,由(1)可知AFAD,FAHDAH,得出DHF90,由勾股定理求出AE,证明AEBABG,得出比例线段,可求出AG,BG的长,则可求出答案(3)方法一:连接BD,由锐角三角函数的定义求出,证明BDFCDH,由相似三角形的性质得出CDHBFD,则可得出答案方法二:连接BD,证出点B,C,H,D四点共圆,则可得出结论【解答】(1)证明:将ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，BAGGAFBAF,B,F关于AE对称,AGBF,AGF90,AH平分DAF,FAHFAD,EAHGAF+FAHBAF+FAD(BAF+FAD)BAD,四边形ABCD是正方形,BAD90,EAHB

33、AD45,HGA90,GAGH；(2)解:如图1,连接DH,DF,交AH于点N,由(1)可知AFAD,FAHDAH,AHDF,FNDN,DHHF,FNHDNH90,又GHA45,FNH45NDHDHN,DHF90,DH的长为点D到直线BH的距离,由(1)知AE2AB2+BE2,AE,BAE+AEBBAE+ABG90,AEBABG,又AGBABE90,AEBABG,AG,BG,由(1)知GFBG,AGGH,GF,GH,DHFHGHGF即点D到直线BH的距离为；(3)不变理由如下:方法一:连接BD,如图2,在RtHDF中,在RtBCD中,sin45,BDF+CDH45,FDC+CDH45,BDFC

34、DH,BDFCDH,CDHBFD,DFH45,BFD135CHD,BHD90,BHCCHDBHD1359045方法二:BCD90,BHD90,点B,C,H,D四点共圆,BHCBDC45,BHC的度数不变4. （2021陕西省）问题提出（1）如图1，在ABCD中，A45，AD6，E是AD的中点，且DF5，求四边形ABFE的面积（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE按设计要求，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO2AN2CP，ABC90，AB800m，CD600m，AE900

35、m为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离，请说明理由【分析】（1）过点A作AHCD交CD的延长线于H，先求出AH3，同理EG，最后用面积的差即可得出结论；（2）分别延长AE，与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，设ANx米，则PCx米，BO2x米，BN（800 x）米，AMOC（12002x）米，MK2x米，PK（800 x）米，进而得出S四边形OPMN4（x350）2+470000，即可得出结论【解答】解：（1）如图1，过点A作AHCD交CD的延长线于H，H90，四边形AB

36、CD是平行四边形，CDAB8，ABCD，ADHBAD45，在RtADH中，AD2，AHADsinA6sin453，点E是AD的中点，DEAD8，同理EG，DF5，FCCDDF3，S四边形ABFESABCDSDEFSBFC735；（2）存在，如图2，分别延长AE，与CD，则四边形ABCK是矩形，AKBC1200米，ABCK800米，设ANx米，则PCx米，BN（800 x）米，MKAKAM1200（12005x）2x米，PKCKCP（800 x）米，S四边形OPMNS矩形ABCKSAMNSBONSOCPSPKM8001200 x（12002x）x（12006x）7（x350）2+470000，当

37、x350时，S四边形OPMN最小470000（平方米），AM12002x12007350500900，CPx350600，符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为47000平方米，此时5. （2021湖北省宜昌市）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BEBC，EFCD，垂足为F将四边形CBEF绕点C顺时针旋转（090），得到四边形CBEF，BE所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点KEF所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接BF交CD于点O（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；（2）如图2，当点Q和点D重合时求证：GCDC；若OK1，CO2，

38、求线段GP的长；（3）如图3，若BMFB交GP于点M，tanG，求的值【分析】（1）根据邻边相等的矩形的正方形证明即可（2）证明CGBCDF（ASA），可得结论设正方形的边长为a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明GKPK，求出PG2PK，求出PK可得结论（3）如图3中，延长BF交CH的延长线于R由tanGtanFCH，设FHxCF2x，则CHx，由RBCRFH，推出，推出CHRH，BFRF，可得CR2CH2x，SCFR2SCFH，再由GBCGEH，推出，可得推出GB2（1）x，由GBMCRF，可得（）22，由此即可解决问题【解答】（1）证明：如图1中，在矩形ABCD中，BBCD90，EFAB

39、，EFB90，四边形BEFC是矩形，BEBC，四边形BEFC是正方形（2）证明：如图2中，GCKDCH90，CDF+H90，KGC+H90，KGCCDF，BCCF，GBCCFD，CGBCDF（ASA），CGCD解：设正方形的边长为a，KBCF，BKOFCO，BKBCa，在RtBKC中，BK2+BC2CK2，a2+（a）232，a，由，可得BKKEa，KECFDKEDCF，DEEFa，PE2a，PKa，DKKC，PG，DKPGKC，PKDGKC（AAS），GKPK，PG2PK5a，PG5a6（3）解：如图3中，延长BF交CH的延长线于RCFGP，RBBM，GBGRB，GFCR，tanGtanFC

40、H，设FHxCF2x，则CHx，CBCFEFBC2x，CBHE，RBCRFH，CHRH，BFRF，CR2CH2x，SCFR2SCFH，CBHE，GBCGEH，GB2（1）x，GBMCRF，（）22，SCRF2SCHF，6. （2021广东省）如题图，在四边形中，点、分别在线段、上，且，（1）求证：；（2）求证：以为直径的圆与相切；（3）若，求的面积【答案】解：（1），设，又，2分（2）如图，取中点，过点作，又，为中点， ，又， 又，以为直径的圆与相切 （3），又，为等边三角形， 由（2）得：，在中，在中， 如图，过点，点分别向作垂线交于点， 7. （2021四川省广元市）如图1，在中，点D是边

41、上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、（1）求证：；（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、的中点，连接、求的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可（2）的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，的比值转换为的比值即可求得.（3）过点作垂直于的延长线于点，将相关线段关系转化为CE，可得关系，观察图象，当时，可得最大值【详解】（1）证明：，, 垂直于射线, 又,即： 又 （2）解：点P、M、N分别为线段、的中点

42、， , 又 又 又又又（3）如下图：过点作垂直于的延长线于点, 又 当取得最大值时，取得最大值， 在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，当时，最大，8. （2021浙江省嘉兴市）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转（090），得到矩形ABCD，连结BD探究1如图1，当90时，点C恰好在DB延长线上若AB1，求BC的长探究2如图2，连结AC，过点D作DMAC交BD于点M线段DM与DM相等吗？请说明理由探究3在探究2的条件下，射线DB分别交AD，AC于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明

43、【分析】（1）如图1，设BCx，由旋转的性质得出ADADBCx，DCABAB1，证明DCBADB，由相似三角形的性质得出，由比例线段得出方程，求出x的值即可得出答案；（2）连接DD，证明ACDDAB（SAS），由全等三角形的性质得出DACADB，由等腰三角形的性质得出ADDADD，证出MDDMDD，则可得出结论；（3）连接AM，证明ADMADM（SSS），由全等三角形的性质得出MADMAD，得出MNAN，证明NPANAD，由相似三角形的性质得出，则可得出结论【解答】解：（1）如图1，设BCx，矩形ABCD绕点A顺时针旋转90得到矩形ABCD，点A，B，D在同一直线上，ADADBCx，DCABA

44、B1，DBADABx1，BADD90，DCDA，又点C在DB的延长线上，DCBADB，解得x1，x2（不合题意，舍去），BC（2）DMDM证明：如图2，连接DD，DMAC，ADMDAC，ADAD，ADCDAB90，DCAB，ACDDAB（SAS），DACADB，ADBADM，ADAD，ADDADD，MDDMDD，DMDM；（3）关系式为MN2PNDN证明：如图3，连接AM，DMDM，ADAD，AMAM，ADMADM（SSS），MADMAD，AMNMAD+NDA，NAMMAD+NAP，AMNNAM，MNAN，在NAP和NDA中，ANPDNA，NAPNDA，NPANAD，AN2PNDN，MN2PN

45、DN9. （2021浙江省绍兴市）如图，矩形ABCD中，AB4，点F是对角线BD上一动点，ADB30连结EF（1）若EFBD，求DF的长；（2）若PEBD，求DF的长；（3）直线PE交BD于点Q，若DEQ是锐角三角形，求DF长的取值范围【分析】（1）由题意得点P在BD上，根据含30直角三角形的性质即可求解；（2）由对称可得DEF是等腰三角形，分两种情况画出图形，根据含30直角三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，根据中点的定义以及直角三角形的性质分别求出EM、FM、DM的值，即可得出DF的值，结合（2）中求得的DF的值即可得出答案。【解答】解：（1）点D、点P关于直线EF的对称，点P

46、在BD上，四边形ABCD是矩形，BAD90，AB4，ADB30AD4，点E是边AD的中点，DE2，EFBD，DF8；（2）如图2，PEBD，ADB30PED60,由对称可得，EF平分PED，DEFPEF30，DEF是等腰三角形，DFEF,PEBD,ADB30，QE,PEF30，EF2,DFEF2；如图5，PEBD，ADB30PED120,由对称可得，PFDF,EF平分PED，DEFPEF120，EFD30,DEF是等腰三角形，PEBD,QDQFDF,PEBD,ADB30，QE,QD3DF7QD6；DF的长为2或6；（3）由（2）得，当DQE90时,当DEQ90时，第一种情况，如图4，EF平分P

47、ED,DEF45,过点F作FMAD于点M，设EMa,DMa，a+a2，a8,DF68,2DF；第二种情况,如图5,EF平分AEQ,MEF45,过点F作FMAD于点M，设EMa,DMa，aa2，a5+,DF6+6,6+58,DF最大值为5，6DF8。综上，DF长的取值范围为362DF810. （2021浙江省温州市）如图，在ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧）（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当AB5，tanABE，CBEEAF时【分析】（1）证AECF，再证ABECDF（AAS），得AECF，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE3，BE4，再

48、证ECFCBE，则tanCBEtanECF，得，求出EF2，进而得出答案【解答】（1）证明：AEBCFD90，AEBD，CFBD，AECF，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，ABECDF，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS），AECF，四边形AECF是平行四边形；（2）解：在RtABE中，tanABE，设AE4a，则BE4a，由勾股定理得：（3a）3+（4a）252，解得：a1或a2（舍去），AE3，BE4，由（1）得：四边形AECF是平行四边形，EAFECF，CFAE2，CBEEAF，ECFCBE，tanCBEtanECF，CF2EFBF，设EFx，则BFx+4，52x（

49、x+4），解得：x5或x,（舍去），即EF2，由（1）得：ABECDF，BEDF4，BDBE+EF+DF8+2+48+11. （2021湖北省荆门市）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，AEF90，且EFAE，FHBH（1）求证：BECH；（2）若AB3，BEx，用x表示DF的长【分析】（1）由正方形ABCD，AEF90，FHBH，可得HB，AEBF，从而ABEEHF，可得EHABBC，即可证明CHBE；（2）连接DF，过F作FPCD于P，证明四边形PCHF是正方形，可得PFCPBEx，DPDCCP3x，即可在RtDPF中，得DF【解答】（1）证明：正方形ABCD，B90，ABBC，F

50、HBH，H90B，F90FEH，AEF90，AEB90FEH，AEBF，在ABE和EHF中，ABEEHF（AAS），EHABBC，BEFH，EHECBCEC，即CHBE；（2）连接DF，过F作FPCD于P，如图：HDCHFPC90，四边形PCHF是矩形，由（1）知：BEFHCH，四边形PCHF是正方形，PFCPCHBEx，DCAB3，DPDCCP3x，RtDPF中，DF，DF12. （2021海南省）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AFCE（1）求证：DCEDAF；（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DHEF，垂足为

51、H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC求证：HDHB；若DKHC，求HE的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）直接根据SAS证明即可；（2）根据（1）中结果及题意，证明为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线即可证明；根据已知条件，先证明，再证明，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出的长【详解】（1）证明：四边形是正方形，又，（2）证明；由（1）得，为等腰直角三角形又，点H为的中点同理，由是斜边上的中线得， 四边形是正方形，又，又为等腰直角三角形，四边形是正方形， 又在等腰直角三角形中，13. （2021广西玉林市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点

52、O，已知OAOC，OBOD，过点O作EFBD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设ADEF，AD+AB12，BD4，求AF的长【分析】（1）先根据对角线互相平分证得四边形ABCD为平行四边形，在证得DOFBOE，从而得到DFBE，DFBE，得到四边形DEBF为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论；（2）过点F作FGAB于点G，根据勾股定理求得AD、AB的长度，从而得到ABD30，根据菱形性质得到BEF为等边三角形，再根据勾股定理求出AG和GF的长度，根据勾股定理求出AF的长【解答】（1）证明：OAOC，OBOD，四边形AB

53、CD为平行四边形，ABCD，ABDCDB，在BOE和DOF中，BEDF，BEDF，四边形DEBF是平行四边形，EFBD，四边形DEBF是菱形；（2）过点F作FGAB于点G，如图，ADEF，EFBD，ADB90，在RtABD中，AD2+BD2AB2，AD+AB12，BD4，AD2+（4）2（12AD）2，解得AD4，AB8，ABD30，四边形DEBF是菱形，EBF2ABD60，BEF是等边三角形，OBOD，EFAD，AEBE4，FGBE，EGBG2，在RtBGF中，BF4，BG2，根据勾股定理得，FG，在RtAGF中，AG6，根据勾股定理得，AF414. （2021广西贺州市）如图，在四边形中，

54、交于点，过点作，垂足为，且（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的面积【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先利用角平分线判定定理证得，再由已知角的等量关系推出，并可得，则可证明四边形是平行四边形，最后由得，即可证得结论；（2）由菱形的性质可得，再根据角的等量关系求出，则可利用三角函数求得，此题得解【详解】（1）证明：如图，又，且，为的角平分线，又，四边形是平行四边形，四边形是菱形（2）解：由（1）得四边形是菱形，又，15. （2021江苏省无锡市）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，AEF90，设BE

55、m（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，当m时，求线段CF的长；在PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式【分析】（1）过F作FGBC于G，连接CF，先证明ABEEGF，可得FGBE，EGABBC，则EGECBCEC，即CGBE，再在RtCGF中，即可求CF；ABE绕A逆时针旋转90，得ADE，过P作PHEQ于H，由ABEADE，BADE90，BAEDAE，AEBE，AEAE，BEDE，可得C、D、E共线，由EAQEAQ

56、，可得EAEQ，故AEBAEQ，从而QEP90AEQ90AEBCEP，即EF是QEC的平分线，有PHPC，用ABEECP，可求CPm（1m），即可得hm2+m；（2）分两种情况：当m时，由ABEECP，可求HGm2+m，根据MGCD，G为BC中点，可得MNDQ，设DQx，则EQx+m，CQ1x，RtEQC中，EC2+CQ2EQ2，可得MN，故yNHMGHGMN1m+m2，当m时，由MGAB，可得HG，同可得MNDQ，即可得y，【解答】解：（1）过F作FGBC于G，连接CF，如图：四边形ABCD是正方形，AEF90，BAE90AEBEFG，BG90，等腰直角三角形AEF，AEEF，在ABE和EGF中，ABEEGF（AAS），FGBE，EGABBC，EGECBCEC，即CGBE，在RtCGF中，CF；ABE绕A逆时针旋转90，得ADE，过P作PHEQ于H，如图：ABE绕A逆时针旋转90，得ADE，ABEADE，BADE90，BAEDAE，AEBE，AEAE，