实变函数与泛函分析基础_第三版综合练习题

1、PAGE PAGE 16实变函数综合练习题实变函数综合训练题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D）2、若是开集，则（ B ）（A） （B）的内部 （C） （D）3、设是康托集，则（ C ）（A）是可数集 （B）是开集 （C） （D）4、设是中的可测集，是上的简单函数，则（ D ）（A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）（A）在上，不一定恒为零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）

2、1、设是中的无理点全体，则（C、D）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）2、若至少有一个内点，则（ B、D ）（A）可以等于零 （B） （C）可能是可数集 （D）是不可数集3、设是可测集，则的特征函数是 （A、B、C ）（A）上的简单函数 （B）上的可测函数 （C）上的连续函数 （D）上的连续函数4、设在可测集上可积，则（ B、D ）（A）和有且仅有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上不一定可积 （D）在上一定可积5、设是的单调函数，则（ A、C、D）（A）是的有界变差函数 （B）是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导三、填空题（将正确的

3、答案填在横线上）1、设为全集，为的两个子集，则 。2、设，如果满足，则是 闭 集。3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。4、设是无限集，则的基数 （其中表示可数基数）。5、设，为可测集，则。6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数。7、设是的内点，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上 不一定 可积。10、若是上的绝对连续函数，则一定 是 上的有界变差函数。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。 （ ）2

4、、任何无限集均含有一个可数子集。 （ ）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）4、设是零测集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数。（ ）5、设是可测集上的非负可测函数，则必在上可积。 （ ）五、简答题1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？答：不一定为开集。例如 取上一列开集为，而是闭集，不是开集。2、可测集上的可测函数与简单函数有何关系？答：简单函数是可测函数；可测函数不一定是简单函数；可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。3、上的有界变差函数与单调函数有何关系？答：单调函数是有界变差函数；有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。六、计算题1、设，其中

5、是有理数集，求。解： 因为，所以于，于是2、求。解： 因为而 所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明： （方法1）对任意，有且，即或且所以 或，即。反之，对任意，有或，即或且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设是中的有理点全体，则是可测集且。证明： 因为是可数集，则对任意，取开区间，显然它们把覆盖住。于是 。让得，从而是可测集且。3、证明：上的实值连续函数必为上的可测函数。证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测集上的可积函数，为的一列可测子集，如果，则。证明：因为且，所以从而由题设 又在上的可积，且 所

6、以由积分的绝对连续性得即。5、设是可测集上的可积函数，为中的一列递增可测子集，。证明：记，其中显然在上，且于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。实变函数综合训练题（二）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A） （B） （C） （D）2、若是闭集，则（ B ）（A）的内部 （B） （C） （D）3、设是有理数集，则（ C ）（A） （B）是闭集 （C） （D）是不可数集4、设为上的连续函数，为任意实数，则（ D ）（A）是开集 （B）是开集（C）是闭集 （D）是开集5、 设是中的可测集，都是上的可测函数，若，则（ A ）（A）于 （B）在上， （C）在上， （D）在上

7、，二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的有理点全体，则（C、D）（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点 （C）是可数集 （D）2、若的外测度为零，则（ B、D ）（A）一定是可数集 （B）一定是可测集 （C）不一定是可数集 （D） 3、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）（A）存在 （B）在上可积 （C） （D） 4、若在可测集上有积分值，则（A、C ）（A）和中至少有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上也有积分值 （D）在上一定可积5、设是的绝对连续函数，则（ A、B、C ）（A）是

8、上的连续函数 （B）是上的一致连续函数（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、 设，是两个集合，则 2、设，如果满足，则是 开 集。3、设为直线上的开集，若开区间满足和 ，则 必为的 构成 区间。4、设是偶数集，则则的基数 （其中表示可数基数）。5、设，为可数集，且，则。6、设是可测集上的可测函数，则对任意实数，（），都有是 可测集 。7、若是可数集，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，是上的可测函数，如果，则 不一定成立 。9、设是上的非负可测函数，则在上的积分的值 一定存在 。10、若是上的有界变差函数，则必可表示成两个 递增函数的差（或递减

9、函数的差） 。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个开集的交集仍为开集。 （ ）2、任何无限集均都是可数集。 （ ）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）4、设是可测集，则是上的可测函数对任意实数，都有是可测集。 （ ）5、设是可测集上的可测函数，则一定存在。 （ ）五、简答题1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定为闭集。例如 取上一列闭集为，而是开集，不是闭集。2、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？答：连续函数是可测函数；可测函数不一定连续；可测函数在上是“基本上”连续的。3、上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？答：绝对连续函数是有界变差函数；

10、有界变差函数不一定是绝对连续函数。六、计算题1、设，其中是康托集，求。解：因为，所以于，于是再由积分与积分的关系得。2、设，求。解：因为，而所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明：（方法1）对任意，有且，即且，所以 且，即。反之，对任意，有且，即且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设，且，则是可测集。证明： 对任意，显然又（因为），从而所以（因为）所以，即是可测集。3、证明：上的单调函数必为上的可测函数。证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实数，记，由于是单调递增函数，显然是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测集上的可测函数，则在上可积在上可积。证明：必要性：因为在

11、上可积，则和而，所以，即在上可积。充分性：因为，且，则 ，。所以在上可积。5、设可测集上的非负可测函数列，且（）， 存在使得，记，则在上勒贝格可积，且。证明：不妨设，由题设注意到单调递减可得，且在上恒有，于是，由勒贝格控制收敛定理得，在上勒贝格可积，且。6、 设，为上几乎处处有界的可测函数列，证明：在上的充要条件是。证明：先证。事实上，由对任意，再结合依测度收敛的定义即可得上面的结论。下面证明本题的结论。必要性：因可得，于是，当时，有因此，当时，并注意到和可得所以。充分性：对任意，由可得 ，从而。实变函数综合训练题（三）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ） （A）

12、（B）（C） （D）2、若是孤立点集，则（ B ）（A） （B） （C）的内部 （D）3、设是上的无理数集，则（ C ）（A）是可数集 （B）是开集 （C）是不可数集 （D）4、设是上的单调函数，则（ D ）（A）在上连续 （B）在中的不连续点有不可数个（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）（A），在上几乎处处为零 （B）在上， （C）在上， （D） 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是上康托集，则（B、C）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）2、若至少有一个聚点，则（C、D ）（A） （

13、B） （C）可能是可数集 （D）可能是不可数集3、设是不可测集，则的特征函数是 （C、D ）（A）上的简单函数 （B）上的可测函数 （C）上的连续函数 （D）上的不可测函数4、设在可测集上不可积，则（ B、D ）（A）和都在上不可积 （B）和至少有一个在上不可积（C）在上可能可积 （D）在上一定不可积5、设是的有界变差函数，则（ A、D）（A）在上几乎处处连续 （B）是的连续函数（C）在上不可导 （D）在上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设为全集，为的两个子集，则 2、设，如果满足，则是 完全 集。3、若开区间和是直线上开集的两个不同的构成区间，则。4、设是无限集，是至多可

14、数集，则的基数 。5、设，为可测集，则。6、设是定义在可测集上的有限实函数，若对任意实数，都有是可测集，则是可测集上的 可测函数 。7、设是孤立点集，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则 不一定成立 。9、设是上的可测函数，则在上的可积的充要条件是在上 勒贝格可积 。10、若是上的有界变差函数或绝对连续函数，则上的导数 几乎处处存在 。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个型集的并集仍为型集。 （ ）2、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。 （ ）3、设是可测集，则一定存在开集，使得，且。（ ）4、设和都是可测集，是和上的可测函数，则不一定是上的可测函数。 （ ）

15、5、设是可测集上的可测函数，且存在（可为），则和至少有在上可积。 （ ）五、简答题1、简述无穷多个零测集的并集是否必为零测集？答：不一定为零测集。例如 ，显然为单元素集，为零测集，不是零测集。2、上的可测集与Borel集的关系？答：Borel集是可测集；可测集不一定是Borel集；可测集一定可以表示成一个Borel集与零测集的差或并。3、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？答：可测集上的连续函数一定是可测函数；可测集上的可测函数不一定是连续函数；对上的一个可测函数，任取，在可测集中去掉一个测度小于的可测子集后，可使此可测函数成为连续函数。六、计算题1、设，其中是有理数集，求。解： 因为，所以

16、于，于是2、设，求。解：因为，而所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明： （方法1）对任意，有且，即，且所以 或，即。反之，对任意，有且，即，且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设是中的无理点全体，则是可测集且。证明： 记是中的有理点全体，由于是可数集，从而可测，且。又，所以，是可测集且。3、设，证明：是上的可测函数的充要条件是为可测集。证明：充分性：因为是上的可测函数，则对任意实数，是可测集，特别取，注意到，可得为可测集。必要性：若为可测集，则是上的简单函数，从而为上的可测函数。4、设为可测集上的可测函数列，若，则在上。证明：对任意，由于所以，即在上。5、设，若是上一列

17、几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意，存在，只要，就有，证明：。证明：由题设及Egoroff定理得，对题设中的，存在可测集，在上一致收敛于，从而对题设中的，存在，当时于是，当时，并注意到题设的条件，有。即 。实变函数综合训练题（四）（含解答）一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的有理点全体，则（C、D）考核对典型集合掌握的情况（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点 （C）是可数集 （D）2、设是中的无理点全体，则（C、D）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）3、若的外测度为零，则（ B、D ）考核零测集的特点（A）一定是可数集 （B）一定

18、是可测集 （C）不一定是可数集 （D） 4、若至少有一个内点，则（ B、D ）考核典型集的外测度可数性的特点（A）可以等于零 （B） （C）可能是可数集 （D）是不可数集5、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）考核可测函数与勒贝格积分的简单综合（A）存在 （B）在上可积 （C） （D） 6、设是可测集，则的特征函数是 （A、B、C ）考核特征函数的特点（A）上的简单函数（B）上的可测函数 （C）上的连续函数（D）上的连续函数7、若在可测集上有积分值，则（A、C ）考核勒贝格积分的定义（A）和中至少有一个在上可积 （B

19、）和都在上可积（C）在上也有积分值 （D）在上一定可积8、设在可测集上可积，则（ B、D ）考核勒贝格积分的定义（A）和有且仅有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上不一定可积 （D）在上一定可积9、设是的绝对连续函数，则（ A、B、C ）考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质（A）是上的连续函数 （B）是上的一致连续函数（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导10、设是的单调函数，则（ A、C、D）考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质（A）是的有界变差函数 （B）是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导二、单项选择题（每题仅有一个正确答案）1设是中的无理点

20、全体，则是（）.考核对典型集合掌握的情况（）可数集 （）有限集 （）不可数集 （）零测集2下面集合关系成立的是（）. 考核对集合的基本运算掌握的情况（） （） （） （）3若至少有一个内点，则有（）. 考核对典型集合外测度掌握的情况（） （） （）（） 4设是开集，则（ ）.考核开集闭集的基本特征（） （） （） （）5设是可测集，则的特征函数是上的（）. 考核对集合的特征函数的认识（）简单函数 （）常函数 （）连续函数（）单调函数6设是有理数集，,则是上的（）.考核目标同上题（）连续函数（）单调函数（）简单函数（）定积分存在的函数7设在可测集上勒贝格可积，则（）. 考核勒贝格积分的定义（）和

21、有且仅有一个在上勒贝格可积；（）和都在上勒贝格可积（）和都在上不勒贝格可积；（）在上不勒贝格可积8设是上的无理数集，表示连续基数，则（）. 考核对典型集合基数和测度掌握的情况（） （） （） （）9设是上的单调函数，则是上的（）. 考核基本的有界变差函数和绝对连续函数（）连续函数 （）绝对连续函数 （）可导函数 （）有界变差函数10设在上绝对连续，则在上（）.考核绝对连续函数的关系的基本性质（）有界变差 （）可导 （）单调 （）连续可微三、填空题1设，为的两个子集，则等于 考核集合之间的基本关系2设，为两个集合，则 等于 考核目标同上3设，如果满足，则是 闭 集考核开集、闭集的定义4设，如果中

22、的每一点都是内点，则是 开 集考核开集、闭集的定义5若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足且 考核开集的构成区间的定义和特点6设是上的开集,若开区间满足且,则称是开集的 构成 区间考核开集的构成区间的定义和特点7设是无限集，则的基数 大于或等于 （其中表示可数基数）考核可数集的性质8设是偶数集，则的基数 等于 （其中表示可数基数）考核可数集的性质9设，为可测集，则 大于或等于 考核测度的性质，单调性和次可加性10设，为可测集，则 小于或等于 考核测度的性质，次可加性11设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数. 考核可测函数的定义12设是可测集上

23、的可测函数，则对任意实数，()，有是 可测 集. 考核可测函数的基本性质13设是可数集，则 等于 .考核典型集合的测度和外测度14设是康托集，则 等于 .考核典型集合的测度和外测度15设函数列为可测集上的可测函数列，且在上依测度收敛于，则存在的子列，使得在上 几乎处处收敛于 . 考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的黎斯定理16设,是上的可测函数列，是上的实函数,若在上几乎处处收敛于，则在上 依测度 收敛于.考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的勒贝格定理 17设在上黎曼可积，则在上勒贝格可积，且它们的积分值 相等 考核黎曼积分与勒贝格积分的关系18设,都在上勒贝格

24、可积，且几乎处处相等,则它们在上勒贝格积分值 相等 考核勒贝格积分的基本性质19若是上的绝对连续函数，则 是 上的有界变差函数考核有界变差函数和绝对连续函数的关系20若是上的有界变差函数，则可以表示成两个单调函数的 和或差 考核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理四、判断说明题（注意这类题不仅要求判断对还是不对，而且还要简单的说明理由）1无限个闭集的并集仍为闭集考核开集、闭集的性质答：不对，因为闭集只对有限的并集运算封闭。2无限个开集的交集仍为开集考核开集、闭集的性质答：不对，因为开集只对有限的交集运算封闭。3无限集均含有一个可数子集考核可数集的性质答：对，因为这是可数集与无限集的关系

25、。4无限集都是可数集考核无限集的分类答：不对，因为无限集还包括不可数集。5设是可测集，则一定存在型集，使得，且考核可测集与型集或型集的关系答：对，因为这是可测集与型集的关系。6设是可测集，则一定存在型集，使得，且考核可测集与型集或型集的关系答：对，因为这是可数集与型集的关系。7设是测度为零的集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数考核可测函数的基本性质答：不对，因为零测集上的任何实函数都是可测函数。8设是可测集，是上几乎处处为零的实函数，则在上可测考核可测函数的基本性质答：对，因为常函数0是可测函数，由可测函数的性质可得在上可测。9设是可测集上的非负可测函数，则必在上勒贝格可积考核勒贝格积分的

26、定义答：不对，因为可测集上的非负可测函数只能保证有勒贝格积分，不一定能保证勒贝格可积。10设是可测集上的可测函数，则一定存在考核勒贝格积分的定义答：不对，因为可测集上的可测函数，不一定能定义勒贝格积分，因此不一定能保证存在。五、简答题（此类题关键是要把要点答出来）1简述无穷多个开集的交集是否必为开集？考核开集、闭集的运算性质要点：首先，回答结论：不一定为开集其次，举出交集为开集的例子和交集不是开集的例子。2简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？考核开集、闭集的运算性质要点：首先，回答结论：不一定为闭集其次，举出并集为闭集的例子和并集不是闭集的例子。3可测集上的可测函数与简单函数有何关系？考核可测

27、函数与简单函数的关系要点：1、简单函数是可测函数；2、可测函数不一定是简单函数；3、可测函数一定可表示成一列简单函数的极限。4可测集上的可测函数与连续函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系要点：1、连续函数是可测函数；2、可测函数不一定是连续函数；3、对任意，在中去掉一个测度小于的可测集后，可测函数能成为连续函数（鲁津定理）。5上的有界变差函数与单调函数有何关系？考核单调函数与有界变差函数的关系要点：1、单调函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是单调函数；3、有界变差函数能分解成两个单调函数的和或差。6上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？考核有界变差函数与绝对连续函数的关系要点：1、绝对连续函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是绝对连续函数。六、计算题（注意这类题要写出主要步骤）1设，其中是有理数集，求考核简