模型10 手拉手模型

1、专题10 手拉手模型一、单选题1如图，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD40，连接AC，BD交于点M，连接OM下列结论：ACBD；AMB40；OM平分BOC；MO平分BMC其中正确的个数为（）ABCD【答案】D【分析】由证明得出，正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，正确；作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故错误；即可得出结论【详解】解：，即，在和中，正确；，由三角形的外角性质得：，正确；作于，于，如图2所示：则，在和中，平分，正确；

2、，当时，才平分，假设，平分，在和中，与矛盾，错误；综上所述，正确的是；故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键2如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50 ，以下四个结论：ADCABE；CD=BE；DOB=50；点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】D【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断【详解】DAB=CAEDAB+BAC=CAE+BACDAC=EABAB=AD，AC=AEADCABECD=BE，故正确；ADCABEADC =ABE设AB与CD交于G点，AG

3、D =BGCDOB=DAB=50,故正确；过点A作AFCD于F点，过点A作AHBE于H点，则AF、AH分别是ADC与ABE边上的高ADCABEAF=AH点A在DOE的平分线上，正确故选D【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定3如图，和都是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）A以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合B以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合C沿所在直线折叠后，与重合D沿所在直线折叠后，与重合【答案】3B【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断【详解】解：A根据题意可知AE=AB，AC=AD，EAC

4、=BAD=135，EACBAD，旋转角EAB=90，正确；B因为平行四边形是中心对称图形，要想使ACB和DAC重合，ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180，即可与DAC重合，错误；C根据题意可EAC=135，EAD=360EACCAD=135，AE=AE，AC=AD，EACEAD，正确；D根据题意可知BAD=135，EAD=360BADBAE=135，AE=AB，AD=AD，EADBAD，正确故选B【点睛】本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点二、填空题4如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：AE=BD；线段AE

5、和BD所夹锐角为80；FGBE其中正确的是_（填序号）【答案】【分析】利用等边三角形的性质证明可判断，利用，可得利用三角形的外角的性质可得 从而可判断， 再结合等边三角形的性质证明可判断， 由可得：，结合可得，从而可判断【详解】解：如图，记与的交点为，与都是等边三角形， AC=BC，CD=CE，BCA=DCE=60 点B、C、E在同一条直线上， ACD=60，BCD=ACE=120 在和中， 所以结论正确； ，BDC=CEA， AHB=DBE+BEA=DBE+BDC=180BCD=60， 所以错误； 在和中， ，所以正确； ，CG=CF，ACD=60，GFC=60， 又DCE=60，GFC=D

6、CE， GFBC，所以正确 故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，平行线的判定，解决本题的关键是找到判定三角形全等的条件5如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ以下结论：PQAE；AOE120；CO平分BCD；CPQ是等边三角形，OC+BOAO恒成立的是_【答案】【分析】由“”可证，可得，由“”可得，利用全等三角形的性质依次判断可求解【详解】解：等边和等边，即 ，在与中，又，即，又，又，为等边三角形，故正确；，故正确；，故正确；

7、如图，在上截取，连接， ，又，是等边三角形，故正确；不一定垂直，不一定等于，不一定等于，不一定平分，故错误；故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，能熟练应用相关性质是解题的关键三、解答题6如图，点C是线段AB上任意一点（点C与点A，B不重合），分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N连接MN证明：（1）ACEDCB； （2）ACMDCN； （3）MNAB【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）由等边三角形的性质得出

8、ACCD，BCCE，ACDBCE60，得出DCBACE，由SAS即可得出ACEDCB；（2）由全等三角形的性质得出EACBDC，再证出ACDDCE，由ASA证明ACMDCN即可；（3）由全等三角形的性质得出CMCN，证出MCN是等边三角形，得出MNCNCB60，即可得出结论【详解】（1）ACD和BCE是等边三角形，ACCD，BCCE，ACDBCE60，ACDDCEBCEDCE，DCBACE，在ACE与DCB中，ACEDCB（SAS）；（2）由（1）得：ACEDCB，EACBDC，ACDBCE60，DCE60，ACDDCE，在ACM与DCN中，ACMDCN（ASA）（3）由（2）得：ACMDCN

9、，CMCN，又MCN180606060，MCN是等边三角形，MNC60NCB，MNAB【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键7如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H（1）证明：ADGCDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；（3）连结AE和CG，请问ADE的面积和CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由【答案】(1)答案见解析；(2) AG=CE，AGCE；(3) ADE的面积=CDG的面积【分析】（1）利用SAS证明ADGCDE；（2）利用ADGCDE得到

10、AG=CE，DAG=DCE，利用DAG+AMD=90得到DCE+CMG=90，即可推出AGCE；（3）ADE的面积=CDG的面积，作GPCD于P，ENAD交AD的延长线于N，证明 DPGDNE，得到PG=EN，再利用三角形的面积公式分别表示出ADE的面积，CDG的面积，即可得到结论ADE的面积=CDG的面积.【详解】（1）四边形ABCD与DEFG都是正方形，AD=CD，DG=DE，ADC=EDG=90，ADC+CDG=EDG+CDG，ADG=CDE，ADGCDE（SAS），（2）AG=CE，AGCE，ADGCDE，AG=CE，DAG=DCE，DAG+AMD=90，AMD=CMG，DCE+CMG

11、=90，CHA=90，AGCE；（3）ADE的面积=CDG的面积，作GPCD于P，ENAD交AD的延长线于N，则DPG=DNE=90，GDE=90，EDN+GDN=90，PDG+GDN=90，EDN=PDG，DE=DG，DPGDNE，PG=EN，ADE的面积=，CDG的面积=，ADE的面积=CDG的面积.【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键.8在ABC中，BAC=90，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作ADE（顶点ADE按逆时针方向排列），且DAE=90，AD=AE，连接CE（1）如图1，若点D在

12、BC边上（点D与BC不重合），求证：ABDACE；求证：（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则ADE的面积为_（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰RtADE，DAE=90，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为_【答案】（1）见解析；见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据BAC=DAE，推出BAD=CAE，再结合AB=AC，AD=AE，即可证明ABDACE，根据ABD=ACE，可得ABD+ACB=ACE+ACB=BCE，根据BD=CE，即可证明结论；（2）过点A作AFDE于点F，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得AFDE，利用全等三

13、角形的判定定理可得ABDACE，由全等三角形的性质可得ADBAEC，DBEC，易得EC5，DC12，利用勾股定理可得DE的长，利用三角形的面积公式可得结论；（3）根据RtBCE中，BE10，BC6，求得CE8，进而得出CD862，在RtDCE中，求得DE=，最后根据ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长【详解】（1）BAC=DAE，BAD=CAE，又AB=AC，AD=AE，ABDACE，ABDACE，ABD=ACE，BD=CE，ABD+ACB=ACE+ACB=DCE=90，；（2）过点A作AFDE于点FADAE，点F是DE的中点，DAE90，AFDE，同理可证ABDACE，ADBAEC，DB

14、EC，DB5，BC7，EC5，DC12，DAE90，ADEAED90，ADCCDEAED90，AECAEDCDE90，即CEDCDE90，ECD90，DE2CE2CD225144169，DE0，DE13，AF，ADE的面积为DEAF13；（3）由（1）可知：ABDACE，BDCE，ABDACE，BCE=ACB+ACE=ACB+ABD=90，RtBCE中，BE10，BC6，CE8，BDCE8，CD862，RtDCE中，DE=，ADE是等腰直角三角形，AE=【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，还有等腰三角形的性质等，综合利用定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键9如图，在中，以A

15、B，AC为边向外作等边和等边，连结BE，CF交于点O求证：（1）；（2）AO平分EOF【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）如图（见解析），先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的面积公式可得，由此即可得证【详解】（1）和都是等边三角形，即，在和中，；（2）如图，过点A作于点D，作于点G，连接AO，由（1）已证：，点A在的角平分线上，即AO平分【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键10如

16、图，中，中，且，当把两个三角形如图放置时，有（不需证明）（1）当把绕点旋转到图的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图中选择一种情况进行证明；（2）若图中和交于点，连接，求证：平分【答案】（1）相等，证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用SAS证出DCAECB，即可证出结论；（2）过点C作CMAD于M，CNBE于N，利用SAS证出DCAECB，从而得出CM=CN，然后利用角平分线的判定定理即可证出结论【详解】解：（1）相等，证明图如下在DCA和ECB中DCAECB；（2）过点C作CMAD于M，CNBE于N在DCA和ECB中DCAECBCM=CNCMAD，CNBE平分【点睛】此题考查的是

17、全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题关键11如图1，点是线段上除点、外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁做等边三角形和等边三角形，连接和BC相交于点Q， （1）求证：（2）求的度数（3）如图2所示，和仍为等边三角形，但和不在同一条直线上，是否成立，的度数与图1是否相等，请直接写出结论【答案】（1）见解析；（2）60；（3）成立，相等【分析】（1）根据等边三角形的性质得到PA=PC，APC=60，PB=PD，BPD=60，于是得到APD=CPB，证得APDCPB，即可证明AD= BC；（2）由APDCPB，再根据三角形的外角的性质即可求解；（

18、2）根据等边三角形的性质得到PA=PC，APC=60，PB=PD，BPD=60，于是得到APD=CPB，证得APDCPB，即可证明AD= BC，再根据三角形的外角的性质即可求得AQC=60【详解】（1）APC是等边三角形，PA=PC，APC=60，BDP是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，在APD与CPB中，APDCPB(SAS)，AD= BC；（2）由（1）得：APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180-120=60；（3）AD= BC成立，AQC=60，理由如下：APC是等边三角形，PA=

19、PC，APC=60，BDP是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，在APD与CPB中，APDCPB(SAS)，AD= BC；PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180-120=60【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键12B，C，D三点在一条直线上，ABC和ECD是等边三角形求证：BE=AD【答案】证明见解析【分析】证简单的线段相等，可通过证线段所在的三角形全等来得出结论观察所求和已知条件，可证ACDBCE；这两个三角

20、形中，已知的条件有：BC=AC，EC=CD，而ACD和BCE同为60角的补角，由此可根据SAS证得两三角形全等，即可得证【详解】解：ABC和ECD是等边三角形，ACB=ECD=60，BC=AC，EC=CDACB+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD在BCE和ACD中，BCEACD（SAS）BE=AD13如图，ABD和BCE都为等边三角形，连接AE、CD求证：AEDC【答案】见解析【分析】先由ABD和BCE是等边三角形，可知AB=BD，BE=BC，ABD=CBE，从而得到ABE=CBD，即可证明ABEDBC，从而得到结论【详解】解：证明：ABD和BCE都为等边三角形，AB=BD，BE=BC，

21、ABD=CBE，ABE=CBD，ABEDBC（SAS），AE=DC【点睛】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出ABEDBC是解答此题的关键14如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ试说明：（1）AD=BE； （2）填空AOE= ；（3）CP=CQ；【答案】（1）见解析；（2）120；（3）见解析【分析】（1）由于ABC和CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，ACB=

22、DCE=60，从而证出ACDBCE，可推知AD=BE；（2）由（1）推出CAD=CBE，利用三角形内角和定理可求得BOP=ACP=60，从而求得AOE的度数；（3）由ACDBCE得CBE=DAC，加之ACB=DCE=60，AC=BC，得到CQBCPA（ASA），从而证明CP=CQ【详解】（1）ABC和CDE为等边三角形，AC=BC，CD=CE，BCA=DCE=60，ACD=BCE，在ACD与BCE中，ACDBCE(SAS)，AD=BE；（2）ACDBCE，CAD=CBE，APC=BPO，BOP=ACP=60，AOE=18060=120，故答案为：120；（3）ACDBCE，CAD=CBE，AC

23、B=DCE=60，BCQ=60，在CQB和CPA中，CQBCPA（ASA），CP=CQ【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题15如图1，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE，连结BE（1）求证：ACDBCE；（2）图2，延长BE至Q，P为BQ上一点，连结CP，CQ使CPCQ5，若BC8时，求PQ的长【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由题意易得，然后根据题意可进行求证；（2）作交于，则，由（1）易得，然后根据勾股定理求解即可【详解】（1）和均为等边三角形，且

24、，（2）作交于，则，在中，由已知和（1）得，在中，【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及勾股定理、含30角的直角三角形，关键是根据题意得到三角形的全等，然后根据勾股定理及直角三角形的性质进行求解问题即可16如图，在ABC和ADE中，BAC=DAE=90，点P为射线BD，CE的交点（1）问题提出：如图1，若AD=AE，AB=ACBD与CE的数量关系为 ；BPC的度数为 （2）猜想论证：如图2，若ADE=ABC=30，则（1）中的结论是否成立？请说明理由如果不正确请写出正确结论（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB=3，AD=1，若把ADE绕点A旋转，当EAC=90时，直接写出PB的长 【

25、答案】（1）相等，90；（2）结论不成立，结论成立；（3）或【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到，依据同角的余角相等得到，然后依据“”可证明，最后，依据全等三角形的性质可得到；由三角形内角和定理可求的度数；（2）先判断出，即可得出结论；（3）分为点在上和点在的延长线上两种情况画出图形，然后再证明，最后依据相似三角形的性质进行证明即可【详解】解：（1）和是等腰直角三角形，故答案为：相等；故答案为： （2）（1）中结论不成立，；结论成立，理由：在中，在中，；（3）解：如图，当点在上时，同（1）可证又，如图，当点在延长线上时，同（1）可证，综上所述，的长为或【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是

26、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得是解题的关键17如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC判断线段EC与BF数量关系和位置关系， 并给予证明【答案】EC=BF，ECBF，理由详见解析【分析】先由条件可以得出EAC=BAE，再证明EACBAF就可以得出EC=BF，再利用角度之间的转化可得BMD=90，即可证明ECBF【详解】解：EC=BF， ECBF证明如下：AEAB，AFAC，BAE=CAF=90，BAE+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF，在ABF和AEC中，ABFAEC（SAS），EC=BF，AEC=ABF，AEAB，

27、BAE=90，AEC+ADE=90，ADE=BDM（对顶角相等），ABF+BDM=90，在BDM中，BMD=180-ABF-BDM=180-90=90，ECBF【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质的运用，垂直的判定的运用解答时注意证明三角形全等的手拉手模型18如图，B，C，E三点在一条直线上，ABC和DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N（1）求证：AEBD；（2）连接MN，求证：MNBE；（3）若把DCE绕点C顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角

28、为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得（2）是等边三角形，由可知，根据可证明，得到，又，可知是等边三角形，得到，由，得到，所以（3）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，即在和中，（2）证明：如图1中，连接，在和中，是等边三角形，（3）成立；理由如下：如图2中，、均为等边三角形，即，在和中，【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用解决本题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型19在ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与BC重合)，以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，DAE=

29、BAC，连接CE(1)如图1,当点D在线段BC上,如果BAC=90，则BCE= 度；(2)如图2，说明：ABDACE说明：CE+DC=BC设BAC=，BCE=当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论【答案】（1）90；（2）详见解析； 详见解析；（3）相等或互补【分析】（1）要求BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出ABDACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；（2）根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出ABDACE即可；问要求BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条

30、件和全等三角形的判定定理，得出ABDACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；问在第问的基础上，进行分析解答即可【详解】解：（1）90理由：BAC=DAE，BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），B=ACEB+ACB=ACE+ACB，BCE=B+ACB，又BAC=90BCE=90；故答案为：90（2）BAC=DAE，BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在ABD与ACE中， ，ABDACE（SAS）；BAC=DAE，BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在ABD与ACE中， ，ABDACE（SAS

31、），B=ACEB+ACB=ACE+ACB，BCE=B+ACB，又BAC=90BCE=90，+=180；相等或互补,理由：（1）当点D在射线BC的反向延长线上时，=DAE=BAC，DAB=EAC，在ADB和AEC中， ，ADBAEC（SAS），ABD=ACE，ABD=BAC+ACB，ACE=BCE+ACB，BCE=B+ACB，又BAC=90BCE=90，+=180（2）当点D在线段BC和BC延长线上时，是+=180，在BC的反向延长线上时，是=，综上所述，+=180或=【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化

32、为已知角是关键20如图，、均是等边三角形，、分别与、交于点、，求证：（1）；（2）；（3）为等边三角形；（4）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=DC，EC=BC，ACD=BCE=60，求出ACE=DCB，根据SAS推出ACEDCB即可；（2）根据全等三角形的性质得出CAE=CDB，根据等边三角形的性质得出AC=DC，ACM=BCE=60，求出DCE=60，推出ACM=DCN，根据ASA推出ACMDCN即可；（3）根据有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形推出CMN为等边三角形，推出CMN=CNM=DCN=60，求出CMN

33、=ACM=60，即可得出答案；（4）根据等边三角形的性质得出CMN=ACM=60，根据平行线的判定得出即可【详解】解：证明：（1）DAC、EBC均是等边三角形，AC=DC，EC=BC，ACD=BCE=60，ACD+DCE=BCE+DCE，即ACE=DCB，在ACE和DCB中，ACEDCB（SAS），AE=BD；（2）由（1）可知：ACEDCB，CAE=CDB，即CAM=CDN，DAC、EBC均是等边三角形，AC=DC，ACM=BCE=60，又点A、C、B在同一条直线上，DCE=180-ACD-BCE=180-60-60=60，即DCN=60，ACM=DCN，在ACM和DCN中，ACMDCN（A

34、SA），CM=CN；（3）由（2）可知CM=CN，MCN=60，CMN为等边三角形（有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形）；（4）CMN为等边三角形CMN=CNM=DCN=60，CMN=ACM=60，MNBC【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等21如图，和都是等边三角形，点分别在边上,，（1）求证：（2）判断四边形的形状【答案】（1）见解析；（2）平行四边形【分析】（1）由和都是等边三角形得到，根据推出，即可证得结论；（2）根据ABDACF得到BD=CF，再根据等

35、边三角形的性质得到，推出即可得到结论.【详解】证明：（1）和是等边三角形，ABDACF（ASA）；（2）四边形是平行四边形理由如下：ABDACF，又是等边三角形，四边形DFCE是平行四边形.【点睛】此题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，内错角相等两直线平行的判定定理，证明四边形是平行四边形.22如图1，是以为直角的直角三角形，分别以，为边向外作正方形，连结，与交于点，与交于点（1）求证：；（2）如图2，在图1基础上连接和，若，求四边形的面积【答案】（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD，AB=BF，CBD=ABF=90，求出ABD=CBF，根据全等三

36、角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出BAD=BFC，AD=FC=6，求出ADCF，根据三角形的面积求出即可【详解】解：（1）四边形、是正方形，即在和中，；图1 图2（2），【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出ABDFBC是解此题的关键23（1）如图1，和都是等边三角形，且，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：（2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、恰交于点求证：； 如图2，在（2）的条件下，试猜想，与存在怎样的数量关系，并说明理由【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；，理由详见解析【分析】（1）根

37、据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD，ACB=DCE=60，进而得出BCE=ACD，判断出（SAS），即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出（SAS），（SAS），即可得出结论； 先判断出APB=60，APC=60，在PE上取一点M，使PM=PC，证明是等边三角形， 进而判断出（SAS），即可得出结论【详解】（1）证明：和都是等边三角形， BC=AC，CE=CD，ACB=DCE=60， ABC+ACE=DCE+ACE， 即BCE=ACD， （SAS）， BE=AD； （2）证明：和是等边三角形， AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60， ACB+BCD=DCE+BCD， 即A

38、CD=BCE， （SAS）， AD=BE， 同理：（SAS）， AD=CF， 即AD=BE=CF； 解：结论：PB+PC+PD=BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则AQC=BQP， 由知， CAD=CBE， 在中，CAD+AQC=180-ACB=120， CBE+BQP=120， 在中，APB=180-（CBE+BQP）=60， DPE=60， 同理：APC=60， CPD=120， 在PE上取一点M，使PM=PC， 是等边三角形， ，PCM=CMP=60， CME=120=CPD， 是等边三角形， CD=CE，DCE=60=PCM， PCD=MCE， （SAS）， PD=ME，

39、BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键24如图，均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由【答案】，理由见解析【分析】由等腰直角三角形的性质可得，可得，由“”可证，可得【详解】解：，理由如下：和均为等腰直角三角形，在和中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键25探究等边三角形“手拉手”问题（1）如图1，已如ABC，ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知ABC、ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若DEC60，试说明点B，点D，点E在同一直线上；（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE若BEC60，猜测线段BE、