押第13题 二项式定理（新高考）（解析）

1、押第13题 二项式定理二项式定理是高考全国卷的一个高频考点,大多为基础题,且以小题的形式进行考查,考查热点是求二项展开式指定项的系数，或求形如的展开式中指定项的系数.1二项式定理的展开式,其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项.注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在的展开式中,第项的二项式系数为,第项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：2.二项式定理的通项

2、二项展开式中第r+l项称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.注意：通项公式是表示第项,而不是第项.展开式中第项的二项式系数与第项的系数不同.通项公式中含有五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意是正整数,是非负整数且. 3.项的系数和二项式系数的性质(1)对称性：与首

3、末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）(2)增减性与最大值：当时,二项式系数C的值逐渐增大,当时,C的值逐渐减小,且在中间取得最大值.当n为偶数时,中间一项（第1项）的二项式系数取得最大值.当n为奇数时,中间两项（第和1项）的二项式系数相等并同时取最大值 HYPERLINK /wxc/ .(3)各二项式系数和：,令,则 ,(4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地：当很小时,有.4.二项定理问题的处理方法和技巧运用二项式定理一定要牢记通项,注意与虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个

4、不同的概念,前者只指,而后者是字母外的部分前者只与和有关,恒为正,后者还与,有关,可正可负 对于二项式系数问题,应注意以下几点：求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1；关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法；证明不等式时,应注意运用放缩法. 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求,再求,有时还需先求,再求,才能求出. 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏. 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段

5、. 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项. 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令.在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别.5. 求展开式系数最大项如求 ()的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为,且第项系数最大,应用从而解出k来,即得6.二项式应用问题(1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式

6、,应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可(2)求余数问题时,应明确被除式与除式 (),商式与余式的关系及余式的范围(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围7.二项式定理是一个恒等式,使用时有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等)；二是赋值二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以

7、使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法,一般对任意,某式子恒成立,则对中的特殊值,该式子一定成立,特殊值如何选取视具体情况决定,灵活性较强,一般取居多.若则设.有： 1（2020山东高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（）ABCD【答案】A【详解】第项的二项式系数为，故选：A.2（2021江苏高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（）A5B6C7D8【答案】A【详解】，所以.故选：A.3（2021湖南高考真题）的展开式中常数项是_（用数字作答）【答案】15【详解】解：由取，得展开式中常数项为故答案为：154（2021天津高考真题

8、）在的展开式中，的系数是_【答案】160【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.故答案为：160.5（2021北京高考真题）在的展开式中，常数项为_【答案】【详解】的展开式的通项 令，解得，故常数项为故答案为：.1（2022山东青岛一模）的展开式中的系数是_（用数字作答）【答案】【详解】的展开式的通项公式为，令可得所以的展开式中的系数是故答案为：2（2022山东泰安一模）在的展开式中，含的项的系数是_.【答案】6【详解】的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，所以展开式中，含的项为：，所以含的项的系数为6故答案为：6.3（2022福建福建模拟预测）若二项武的展开式中含有非零常数项

9、，则正整数n的最小值是_【答案】7【详解】的展开式的通项，令，得，因为，所以当时，有最小值为7.故答案为：7.4（2022广东佛山模拟预测）展开式中的系数为_【答案】【详解】由于，所以其展开式的通项为，其中，为得到展开式中的系数，则，当时，的系数为；当时，的系数为；当时，的系数为；所以展开式中的系数为.故答案为：.5（2022江苏南通模拟预测）设，则_【答案】1【详解】由题意令，可得 令，可得所以故答案为：1（限时：30分钟）1若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为_【答案】6【详解】二项式的通项公式为：，令，所以，令，所以，或，因为，所以方程无实数根，故，即，故答案为：2已知，则的值

10、为_【答案】 【详解】令带入等式两边可得，.故答案为:.3在的展开式中的系数为_.【答案】6【详解】，展开式中含的项为故它的展开式中的系数为6，故答案为：64若的展开式中第5项的二项式系数最大，则_（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【详解】由题意，二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，可得，即，解得，所以或或.故答案为：（答案不唯一）.5已知的展开式中的系数为_【答案】240【详解】 展开式的通项公式为： ，令 ，则，故的系数为 ，故答案为：2406二项式的展开式中含的项的系数是_.（用数字作答）【答案】【详解】解：因为展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式中项的系数为；故答案为：7的

11、展开式中项的系数为_【答案】10【详解】的展开式中含的项为：，的展开式中项的系数为10，故答案为：108的展开式中常数项为_.【答案】【详解】展开式的通项公式为，当81乘以时，令，解得，常数项为；当乘以时，令，解得常数项为 ；所以的展开式中的常数项为 故答案为：9已知的二项展开式中项的系数为56，则该展开式中各项系数之和为_.【答案】【详解】由题设，二项式展开式通项为，当，即时，则，所以，令可得各项系数之和为.故答案为：10在展开式中，的偶数次幂项的系数之和为8，则_.【答案】【详解】设展开式的偶数次幂项的系数之和为，奇数次幂项的系数之和为，则，得，由得.故答案为：.11若的展开式中第5项为常

12、数项，则该常数项为_（用数字表示）【答案】35【详解】解：的展开式的通项公式为，展开式中第5项为常数项，故当时，该展开式的常数项为，故答案为：3512某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是_万元.（结果精确到1万元）【答案】147【详解】由题意可知， (万元)，即2026年的利润大约是147万元.故答案为：14713已知，则_，_.【答案】 【详解】在等式中，令可得，令，可得，令，可得，可得.故答案为：；.14已知多项式，则_，_.【答案】 1 -47【详解】解：因为多项式，所以，即，解得，又，所以，故答案为： 1，-4715“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第行的数字之和为_；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为_.【答案】 2037【详解】次二项式系数对应杨辉三角形的第行，例如：，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第三行：令，就可以求出该行的系数和，第1行为，第2行为，