高考物理复习专题：静电场：原理与方法

1、静电场:原理与方法原理与方法 静电场的两大外观表现力对引入电场的任何带电体产生力的作用.能当带电体在电场中移动时,电场力做功,说明电场具有能量. 描述静电场的基本规律电荷守恒定律对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保持不变原来为零的始终为零，原来为某一量Q的，则始终为Q，此即电荷守恒定律 库仑定律高斯定理场叠加原理唯一性原理在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的0分之一，这就是真空中静电场的高斯定理 等效处理方法等效对称替代法等效电像变换法示例规律规律应用示例示例 球在第一次与板接触后获得电量为q，说明有量值为q的正电荷从板上转移到

2、球上，由电荷守恒可知，此时板上电量为(Q-q),球与板这一系统中的总电量是按比例分配到球上与板上的 当多次操作直至最终板上电量又一次为Q但不能向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电量达到最大: 一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为Q如果球在第一次与板接触后带电量为q，求球可获得的最大电量.专题17-例1解: 如图所示，半径相同的两个金属球A、B相距很远，原来不带电，C球先与远处电池正极接触，（负极接地），接着与球A接触，再与B球接触；然后又与电池正极接触，重复上述过程，反复不已已知C球第一次与电池接触后的带电量为q，第一次与A球接触后A球

3、的带电量为Q1，求A球与B球最后的带电量Q与Q；设 ，至少经过几次与C球接触后，A球的带电量可达最后带电量的一半？ 小试身手题16解:CAB 设A、B球半径为R,C球半径为r,C球与A球第1次接触后有 电荷不再从C球移向A球，故 C球与B球接触最终亦有 由式及题给条件 若第次C与A接触后A又获电量Q2， n次C、A接触后有 返回库仑力与万有引力r2r1mOMQq带电球壳内场强为零!r 把两个相同的电量为q的点电荷固定在相距l的地方，在二者中间放上第三个质量为m的电量亦为q的点电荷，现沿电荷连线方向给第三个点电荷一小扰动，证明随之发生的小幅振动为简谐运动并求其周期T 专题17-例2解:FBFAq

4、AAqBBOl/2l/2x质点在平衡位置O时：质点在距平衡位置x的某位置时：简谐运动!点电荷q在两侧场强等值反向!qEqEq整个带电球内部场强为0;外表面场强大小为设球壳除A外其余部分在A处的场强为EAA在A内侧有在A外侧有 均匀带电球壳半径为R，带正电，电量为Q，若在球面上划出很小一块，它所带电量为q试求球壳的其余部分对它的作用力 专题17-例3解: 一个半径为a的孤立的带电金属丝环，其中心电势为U0将此环靠近半径为b的接地的球，只有环中心O位于球面上，如图试求球上感应电荷的电量 专题17-例4O点O1点电势均为0;环上电荷在O点的总电势为U0球上感应电荷在O1点引起的电势UbO1a bOO

5、点O1点电势均由环上电荷及球上感应电荷共同引起！环上电荷在O1点的总电势为解: 正点电荷1和正点电荷2分别放置在A、B两点，两点间相距L现以L为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最小的位置P，设PA与AB的夹角为，则 （用三角函数表示） 小试身手题1解:切向场强为0位置为电势最小的位置！ 电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度等于E0两个平面通过同一条直径，夹角为，从半球中分出一部分球面，如图所示试求所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O处的电场强度E E0小试身手题7E解:半球面均匀分布电荷在O点引起的场强可视为“小瓣”球面电荷与“大瓣”球面电荷在O点引起的电场的矢量

6、和.由对称性及半球几何关系可知E大与E小垂直，如图所示: 有两个异种点电荷，其电量之比为n，相互间距离为d试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势面的半径及其中心与电量较小电荷的距离r 解:Oyx小试身手题9-qnq以小电量电荷所在位置为坐标原点，建立直角坐标-q与nq在坐标为（x、y）的点电势迭加为零，即有 零等势面为球面球心坐标球半径球心到小电量电荷距离 半径分别为R1和R2的两个同心半球相对放置，如图所示，两个半球面均匀带电，电荷密度分别为1和2，试求大的半球面所对应底面圆直径AOB上电势的分布 解:小试身手题11AB大半球面上电荷量为大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大

7、球面上电荷引起电势的一半,即小半球面上电荷量为小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球面上电荷引起电势的一半,即根据电场叠加原理,直径AB上电势分布为:小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为整个小球面上电荷引起电势的一半,即 一半径为R、带电量为Q的均匀带电球面，试求其上的表面张力系数，定义为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力 解:小试身手题12RETT在球面上取一面元面元受力如示面元周边所受张力合力大小为面元处于平衡,则返回高斯定理推证q点电荷电场S球面上各处场强大小均为 从该球面穿出的电通量 电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有条电场线垂直穿过，则 根据电场线的性质在电场中没

8、有电荷处电场线是连续的、不相交的，可以肯定包围点电荷q的任意封闭曲面S上的电通量也是 q根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和为 返回高斯定理的应用求场强均匀带电球面的电场O r由高斯定理有 由高斯定理有 RE0r均匀带电球体的电场O r由高斯定理有 由高斯定理有 RE0rR无限大均匀带电平面的电场由高斯定理有 两面积S、间距d平行板电容器当带电荷量Q时，板间电场由电场叠加原理可得为解: 半径为r的圆板，在与其中心O距离为d处置一点电荷q，试求板上电通量 专题17-例5 球冠面上的电通量与圆板的电通量相同！距q为R处电场强度大小为球冠面积为解:

9、 在相距d的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为及 求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点P的电场强度 专题17-例6无限长均匀带电导线的电场由高斯定理有 如图，有“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R，电荷面密度为，试求其场强，并作E（r）图 解:小试身手题2rE0R 如图，在一厚度为d的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷，其密度为，求在平板层内及平板层外的电场强度E，并作E（r）图 解:小试身手题3rE0d/2 一点电荷q位于一立方体中心，立方体边长为a，试问通过立方体一面的电通量是多少？如果点电荷移至立方体的一个角上，这时通过立方体每个面的电通量各是多少？ 解:小试身手题4点

10、电荷位于立方体中心时，通过立方体一个表面的电通量为 点电荷位于立方体顶点时，通过立方体一个表面的电通量为 如图，电场线从正电荷q1出发，与正点电荷及负点电荷的连线成角，则该电场线进入负点电荷q2的角度是多大？ 小试身手题5+q1q2以点电荷+q1与-q2为中心，取一半径r很小的球面，可视为其上电场线均匀分布，穿出2角所对的球冠面的电场线应完全穿入2角所对的球冠面，两面上电通量相等： 解:-4qq 准确地画出两点电荷q及4q的电场线分布示意图. 小试身手题6解:若两电荷相距a，场强为零的点在两点电荷连线延长线距+q为x远处: 由上题，从+q出发，与两电荷连线所成角度在0,之间的电场线进入-4q终

11、止时与两电荷连线夹角在0,/3之间，如图:O点电势为0：由高斯定理知 如图，两个以O为球心的同心金属球壳都接地，半径分别是r、R现在离O为l（rlR）的地方放一个点电荷q问两个球壳上的感应电荷的电量各是多少？ 小试身手题15解:Q+球壳内、外表面感应电荷电量总等于球壳中心电荷量内外感应电荷在球壳中心引起的电势为从中心移动极小电量过程中可认为中心点电势不变在第i次移动中的元功为移动Q到无穷远的总功为 如图，在一开口的原不带电导体球壳中心点有一点电荷Q球壳内、外表面的半径分别为a和b欲将电荷Q通过小孔缓慢地从O移到无穷远处，应作多少功？ 小试身手题14返回解:解:AE1E2 如图所示，将表面均匀带

12、正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电，试比较 点与 点电场强度的大小 专题17-例7ABCDO解:若正四面体的四个面电势相同，四面体就是一个等势体，其中心点电势即可确定，现正四面体ABCD各面静电势均不同，其中心点的电势难以直接确定. 如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘已知带电后四个面的静电势分别为、和,求四面体中心点的电势0 专题17-例8进行等效替代：另有同样的三个四个面的静电势分别为1、 2 、 3和4的正四面体，将它们适当地叠在一起，使四个面的电势均为1+2 +3+4 ，中心点O共点，这个叠加而成的四面体是等势体，其中心O

13、点电势40=1+2 +3+4 解:r1OAE1EAE2r2带电球内半径为r处场强a 如图所示，在半径为R、体密度为 的均匀带电球体内部挖去半径为r的一个小球，小球球心 与大球球心O相距为a，试求 点的场强，并证明空腔内电场均匀 专题17-例9空腔等效于两电荷体密度为与-的带电等大球复合BABPOMABAP处带宽设为带面积为均匀带电球电荷面密度为P处带上电荷量为P处弧上电荷线密度为 如图所示，在半径为R的细圆环上分布有不能移动的正电荷，总电量为Q，AB是它的一条直径，如果要使AB上的场强处处为零，则圆环上的电荷应该如何分布？ 专题17-例10解:均匀带电金属球表面每一个面元受到整个球面其余部分电

14、荷对它的静电力大小是 则单位面积静电力 设想另半球对此半球的作用力与压强亦为P的气体作用在半球上的压力相平衡，则 解: 两个半球合在一起组成一个完整的金属球，球的半径为R，如图所示，求两个半球间的静电斥力. 小试身手题13+EQE-QEr1r2dd解: 在强度为E的均匀电场中放着一个均匀的金属球，其半径为R，由于感应，在球上产生了表面密度为的电荷，与图中标出的角有关系求关系式() 小试身手题17 在正N边形的顶点依次分布着电荷，电量成公比为2的几何级数，即q、2q、2N1q，从多边形中心到任意一个顶点的距离均为R求多边形中心处合电场强度E. 小试身手题22解:题述电荷系统设为A取电荷系统B该电

15、荷系统等效为两个A与a处(2N-1)q构成!续解本题题眼: 构建具有更强对称性的带电系统对原系 统进行等效替代! 该电荷系统等效为一个A与一个B构成!由矢量关系得: 如图所示，平面上有一段长为l的均匀带电直线AB，在该平面取直角坐标Oxy，原点O为AB中点，AB沿x轴试证明该平面上任一点P的电场线方向沿APB的角平分线；试求该平面上的电场线方程试求该平面上的等势线方程. PCEPBAh元电荷在P点引起的场强各点合场强均沿该点对AB张角的角平分线 !利用双曲线性质：双曲线上各点切线沿该点与双曲线两焦点夹角平分线，而所研究的电场其各点电场线切线沿各点对A、B张角平分线，则电场线为一簇焦距为l /2

16、的双曲线利用椭圆性质：椭圆上各点法线为该点与椭圆两焦点夹角平分线，所研究的电场其各点电场线切线沿各点对A、B张角平分线，而等势线与电场线处处垂直，则其等势线即为一簇焦距为 l /2的椭圆返回小试身手题18解: 如图，无限大的接地导体板，在距板d处的A点有一个电量为Q的正电荷，求板上的感应电荷对点电荷Q的作用力 专题17-例11QA-Q解:由于导体板接地，板上电势为零，在点电荷Q的作用下，板的右侧出现感应电荷.由于导体为一等势面，从点电荷Q出发的电场线应处处与导体面正交而终止，因而导体板右侧电场线分布大致如图所示联想到等量异种电荷的电场：导体板上感应电荷对板右侧电场的影响，可用与点电荷Q关于导体

17、面成镜像对称的另一虚设点电荷-Q替代，板上感应电荷对Q的作用亦等效于像电荷-Q对Q发生的作用由库仑定律，板上感应电荷对点电荷Q的作用力大小为专题17-例12ROrPq由导体表面感应电荷总电量在O点引起的电势与点电荷q在O点引起的电势之和为零得 根据唯一性原理可知，等效的像电荷量即为像电荷位置，应令其在球面上任意点引起的电势与q在同一点电势叠加为零，即满足 对任意角位置等式均成立必有解: 如图所示，设在一接地导体球的右侧P点，有一点电荷q，它与球心的距离为d，球的半径为R，求导体球上的感应电荷为多少？点电荷q受到的电场力为多大？ 解: 半径为R2的导电球壳包围半径为R1的金属球，金属球原来具有电

18、势为U，如果让球壳接地，则金属球的电势变为多少？ 小试身手题8U金属球上电量设为Q球壳接地后设感应电荷的像电荷电量为q，由高斯定理 壳接地后球的电势为Q与q引起的电势叠加Ecqab-qq-qEaEbc像电荷在c点引起的场强大小 解: 两个电量q相等的正点电荷位于一无穷大导体平板的同一侧，且与板的距离均为d，两点电荷之间的距离为2d求在两点电荷联线的中点处电场强度的大小与方向 小试身手题10 如图，速调管用于甚高频信号的放大速调管主要由两个相距为b的腔组成，每个腔有一对平行板初始速度为v0的一束电子通过板上的小孔横穿整个系统要放大的高频信号以一定的相位差（一个周期对应于2相位）分别加在两对电极板

19、上，从而在每个腔中产生交变水平电场当输入腔中的电场方向向右时，进入腔中的电子被减速；反之，电场方向向左时，电子被加速这样，从输入腔中射出的电子经过一定的距离后将叠加成短电子束如果输出腔位于该短电子束形成处，那么，只要加于其上的电压相位选择恰当，输出腔中的电场将从电子束中吸收能量设电压信号为周期T=1.010-9 s，电压V=0.5 V的方波电子束的初始速度v0=2.0106 m/s，电子荷质比e/m=1.761011 C/kg假定间距a很小，电子渡越腔的时间可忽略不计保留位有效数字，计算：(a)使电子能叠加成短电子束的距离b(b)由相移器提供的所需的输出腔与输入腔之间的相位差 专题17-例13

20、相移器输入腔v0aab输出腔解答相移器输入腔v0aab输出腔 通过输入腔的电子电场向左时被电场加速电场向右时被电场减速由动能定理： 要形成短电子束，应使后半周期通过输入腔被加速的电子经过一段距离b在输出腔“追”上前半周期通过输入腔被减速的电子，从而叠加成短电子束，故此应有： 解:读题续解b)为使输出腔中的电场从短电子束中吸收能量，应使电场方向向右，电场力对电子束做负功当输入腔电场方向向右时满足读题解: 如图所示，N个一价正离子和N个一价负离子交错排列成一维点阵，相邻离子间的间距为a计算这个相互静电作用的点阵总静电能（N） 小试身手题19除两端处的一些离子外，每个离子与其周围离子的相互作用情形都相同，任取一正离子记为A0，两侧各对离子依次为A-1、A+2这是与第1 对负离子所共有的! A0在第2对正离子中间位置具有电势能 A0在第1对负离子中间位置具有电势能 A0这是与第2 对正离子