2022年专项练习题集-简单复合函数的导数

1、20XX 年专项练习题集- 简单复合函数的导数一、选择题1.函数 ycos3 xsinx的导数为 ( ) A 3sin 3 xcosxx2B3sin 3 xcosxx2C 3sin3 xsinx2xD3sin 3 xcosxx2【分值】 5 分【答案】 A 【易错点】解答此类问题常犯两个错误：(1) 不能正确区分所给函数是否为复合函数(2) 若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的加法法则。【解题思路】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导。【解析】 y sin 3 x(3 x) cos x(x) cosx. 3si

2、n3 x11cos xx 3sin 3 x22x2.函数 y2xln(2 x1)的导数为 ( ) Aln(2 x 1)24x1xB2ln(2 x1)24x1xC 2xln(2 x1) D.24x1x【分值】 5 分【答案】 B 【易错点】忽略对复合函数的内层函数求导致误【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的乘法法则。【解题思路】按照导数的乘法法则展开，然后再对展开式中的复合函数求导。【解析】 y 2 xln(2 x1) (2 x)ln(2 x1) 2xln(2 x1 ) 2ln(2 x1) 2x211(2 xx1 ) 2ln(2 x1) 24x1. x3.函数 y cos 2 x-

3、 sin 2 x 的导数是 ( ) A -22 cos2x4Bcos 2 xsin 2 xCsin 2 xcos 2 xD -22cos2x4【分值】 5 分【答案】 A 【易错点】忽略对复合函数的内层函数求导致误【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的减法法则。【解题思路】按照导数的减法法则展开，然后再对展开式中的复合函数求导。【解析】 y (cos2 xsin2 x) (cos2 x) (sin2 x) -sin2 x(2x) -cos2 x(2x) -2sin2 x-2 2 2 cos 2 x-2 2 cos2 xsin2 x -2 2cos 2x，故选 A. 2 2 44.若

4、函数为 f(x) cos4xsin4x，则 f ( )( )4A.2 B. -2 C.1 D.-1 【分值】 5 分【答案】 B 【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数。【易错点】不能对函数关系式准确化简致误【解题思路】先应用三角公式化简，再对复合函数求导。【解析】 f(x) cos4x sin4x(sin2xcos2x)(cos2xsin2x)cos 2 x，f (x) (cos 2 x) (sin 2 x) x) -2 sin 2 x,f(4)=-2. 5.曲线 y e 3x-2 在点 (0，-1) 处的切线方程为( )A.3 x-y-1 0 B.3xy-1 0 C.3xy+1 0 D.

5、3x-y+1 0 【分值】 5 分【答案】 C 【易错点】 若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数、导数的几何意义。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】因为y e 3x(3x) 3e 3x，所以 y | x 0 3，故切线方程为y+1 3(x0)，即 3xy+1 0. 二、填空题6.已知函数 f（x）1（2x1）3，则 f(1) +f (1)= .【分值】 5 分【答案】 C 【易错点】 若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层

6、函数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及求值。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。1【解析】函数 y（2x1）3可看作函数 yu3和 u2x 1 的复合函数，6yxyuu x (u3) x 1) 6 u 4 6(2 x1) 4（2x1）4. f(1)+f (1)=1-6=-5. 7.函数 y sinnxcos nx 的导数为【分值】 5 分【答案】 nsinn 1x cos( n1)x 【易错点】 若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的乘法法则。【解题思

7、路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】 y (sinnx) cos nxsinnx(cos nx ) nsinn 1x(sin x) cos nxsinnx(sin nx) ( nx) nsinn 1xcos xcos nxsinnxsin nxnnsinn 1x(cos xcos nxsin xsin nx ) nsinn 1x cos( n1)x8.曲线 y1x1x在点（3，3）处的切线的倾斜角为。42【分值】 5 分【答案】 nsinn 1x cos( n1)x 【易错点】 若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心

8、中有数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的几何意义。【解题思路】 先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导，求得f(3)的值后再研究切线4的倾斜角。【解析】 y1x1x（1x（1 1 x）1 x）3。1x）（ 1 x（11x）1 1x. 1（ 1x）设 y1u，u1 x，则 y yu ux (1 u) x) (1 21u(1)21 . 1 xf(3),1即切线斜率为 -1 ，则切线的倾斜角为44三、解答题9求下列函数的导数(1) y13x2；(2) yecos x； (3) y5log 2(-2 x1)【分值】 10 分【答案】（1 ）13x2（ 2）-esin xcos x （

9、3）-103x（2x1）ln 2【易错点】 若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。1【解析】 (1)设 y1u2，u13x2，(1 3x2) 1 u21( 6x) 则 y ( u2) 211(3x2 )1(6x)13x2。223x(2) 设 yeu， ucos x，则 yx y u u x eu（-cos x） -esin xcos x. (3) 设 y5log 2u，u-2 x1，10 10则 y yu ux - -. uln 2（

10、2x1）ln 2ax10.已知函数 f (x)，且 f (x)的图象在 x1 处与直线 y2 相切x2b(1) 求函数 f(x)的解析式；(2) 若 P(x0 ，y0 )为 f(x)图象上的任意一点，直线l 与 f (x)的图象相切于P 点，求直线l 的斜率 k 的取值范围【分值】 10 分【答案】见解析【易错点】 若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数【考查方向】本题主要考查了复合函数的导数以及导数的几何意义。【解题思路】先找出内层函数求导，然后再对外层函数求导。【解析】(1)对函数 f (x)求导，得 f (x)a（x2b） ax（2 x）abax2（x2b）2. （x2b ）2因为 f (x)的图象在 x1 处与直线 y2 相切aba0，f （1） 0 ，1b0，4x所以 即 所以 a4，b1，所以 f