数学特色阅读教材

1、PAGE PAGE - 37 -奇奇怪怪的数学家 数学家因其品禀各异，大致可分为下列三种：（一）创造理论的数学家。这些数学家工作的模式，又可粗分为七类。从芸芸现象中窥见共性。从而提炼出一套理论，能系统地解释很多类似的问题。一个明显的例子便是上世纪末Lie在观察到数学和物理中出现大量的对称后，便创造出有关微分方程的连续变换群论。李群已成为现代数学的基本概念。把现存理论推广或移植到其它结构上。例如将微积分由有限维空间推广到无限维空间，将微积分用到曲面而得到连络理论等便是。当Ricci，Christofel等几何学家在曲面上研究与座标的选取无关的连络理论时，他们很难想像到它在数十年后的YangMil

2、ls场论中的重要性。用比较方法寻求不同学科的共同处而发展新的成果。例如：Weil比较整数方程和代数几何而发展算数几何：三十年前Langlands结合群表示论和自守形式而提出“Langlands纲领”，将可以交换的领域理论推广到不可交换的领域去。为解释新的数学现象而发展理论。例如：Gauss发现了曲面的曲率是内蕴（即仅与其第一基本形式有关）之后，Riemann便由此创造了以他为名的几何学，成就了近百年来的几何的发展；HWhitney发现了在纤维丛上示性类的不变性后，Pontryagin和陈省身便将之推广到更一般的情况，陈示性类在今日已成为拓扑和代数几何中最基本的不变量。为解决重要问题而发展理论。

3、例如JNash为解决一般黎曼流形等距嵌入欧氏空间而发展的隐函数定理，日后自成学科，在微分方程中用处很大。而SSmale用h协边理论解决了五维或以上的Poincare猜想后，此理论成为微分拓扑的最重要工具。新的定理证明后，需要建立更深入的理论。如AtiyahSinger指标定理，Donaldson理论等提出后，都有许多不同的证明。这些证明又引起重要的工作。在研究对象上赋予新的结构。Kahler在研究复流形时引入了后来以他为名的尺度；近年Thurston在研究三维流形时，也引进了“几何化”的概念。一般而言，引进新的结构使广泛的概念得到有意义的研究方向。有时结构之上还要再加限制，如Kahler流形上

4、我们要集中精神考虑KahlerEinstein尺度，这样研究才富有成果。（二）从现象中找寻规律的数学家。这些数学家或从事数据实验，或在自然和社会现象中发掘值得研究的问题，凭着经验把其中精要抽出来，作有意义的猜测。如Gauss检视过大量质数后，提出了质数在整数中分布的定律；Pascal和Fermat关于赌博中赔率的书信，为现代概率论奠下基石。五十年代期货市场刚刚兴起，Black和Scholes便提出了期权定价的方程，随即广泛地应用于交易上。Scholes亦因此而于去年获得诺贝尔的经济学奖。这类的例子还有很多，不胜枚举。话说回来，要作有意义的猜测并非易事，必须对面对的现象有充分的了解。以红楼梦为例

5、，只要看了前面六七十回，就可以凭想像猜测后面大致如何。但如果我们对其中的诗词不大了解，则不能明白它的真义。也无从得到有意义的猜测。（三）解决难题的数学家。所有数学理论必须能导致某些重要问题的解决，否则这理论便是空虚无价值的。理论的重要性必与其能解决问题的重要性成正比。一个数学难题的重要性在于由它引出的理论是否丰富。单是一个漂亮的证明并不是数学的真谛，比如四色问题是著名的难题，但它被解决后我们得益不多，反观一些难题则如中流砥柱，你必须将它击破，然后才能登堂入室。比如一日不能解决Poincare猜测，一日就不能说我们了解三维空间！我当年解决Calabi猜测，所遇到的情况也类似。中国古代的数学家贾宪

6、中国古典数学家在宋元时期达到了高峰，这一发展的序幕是“贾宪三角”（二项展开系数表）的发现及与之密切相关的高次开方法（“增乘开方法”）的创立。贾宪，北宋人，约于1050年左右完成，原书佚失，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”。同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。贾宪三角在西方文献中称“帕斯卡三角”，1654年为法国数学家 B帕斯卡重新发现。刘徽刘徽注九章算术，同时又撰有重差一卷，重差后来印成单行本改称为海岛算经，在注文中，刘徽用语言来讲清道理，用图形来解释问题析理以

7、辞，解体用图。他不是只停留在对九章的注释上，而是更上一层楼，在注释的同时提出了许多创造性见解，例如为阐述几何命题，证明几何定理，创造了?以盈补虚法?，更为计算圆周率提出了?割圆术?：刘徽从最简单的正六边形开始，由正192边形的面积得到151/50或314。不过他更进一步算出314 314 ，后来在另一个地方，刘徽用他的方法，继续演算到3072边形，并且得到他的最佳值一个相当于314159的数。割圆术是我国数学史上首次将极限概念用于近似计算。此外，刘徽的齐同术和方程新术等，是对九章算术方法的进一步阐述与补充。在注释九章的同时，刘徽深感有创立新的测量方法的必要，于是提出了重差术，撰重差一卷。数学家

8、祖冲之祖冲之（公元429500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算秦汉以前，人们以径一周三做为圆周率，这就是古率后来发现古率误差太大，圆周率应是圆径一而周三有余，不过究竟余多少，意见不一直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法割圆术，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长刘徽计算到圆内接96边形，求得314，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的值越精确祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出在31415926与31415927之间并

9、得出了分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3141929，它是分子分母在1000以内最接近值的分数祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查若设想他按刘徽的割圆术方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把叫做祖率。祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了大明历，开辟

10、了历法史的新纪元祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算他们当时采用的一条原理是：幂势既同，则积不容异意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为祖暅原理数学家苏步青苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可量，后来的一堂数学课影

11、响了他一生的道路。那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。天下兴亡，匹夫有责，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了

12、摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在

13、完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心。陶哲轩：数学界的莫扎特华裔青年31岁获菲尔兹奖24岁时已成终身数学教授陶哲轩获得了菲尔兹奖，伴随着这个“数学界的诺贝尔”大奖，他身上还有着不少的“第一”、“第二”和“最”：第

14、一个获该奖的澳大利亚人，第一个获该奖的加州大学洛杉矶分校的教授，本届菲尔茨奖最年轻的获奖选手，以及，继丘成桐后第二位获菲尔兹奖的华裔数学家。”他是凭“在局部微分方程式、组合数学、调和分析和堆垒数论所做的杰出贡献”而获得的菲尔茨奖，评委对其的评价是：“陶能出色地解决问题，其优秀的工作在数学各个领域都有影响。他将纯技术能力和超凡脱俗的灵活运用结合起来，创造出众多新观点，这些观点让其他数学家惊诧：“为什么别人以前没有看到这点？”几十年一遇的天才“陶就好像莫扎特，数学就好像音乐一样源源不断地流出来，”加州大学洛杉矶分校教授约翰佳内特给了他极高的评价，“除了性格之外，他像极了莫扎特，他那代能出现那样的天

15、才可能只有陶一个。他极赋天分，现在也许是世界上最好的数学家了。他可以将极其复杂的数学问题化解成非常简单的东西。”该校物理科学系主任兼数学教授陈繁昌这样说道，“像陶这样的人几十年才出一个。人们总是说我们学校有他真是幸运。他跨领域解决问题的方式就好像一个擅长做心脏手术的医生做脑科手术同样出色一样。而且，他还这么年轻。” “学习数论最好的学生都想要和他一块学，”陈还说，“别人都说我是陶哲轩工作的那个大学的教学主任”。具有开放性格的神童陶哲轩无疑首先是个神童，他两岁就会加减法，7岁就开始学微积分，同年进中学学习，到了9岁，陶的微积分水平已经和大学生一样了。11岁时，他开始参加国际数学比赛，从1986年

16、开始，他连续三年成为国际数学奥林匹克最年轻的参赛者，分别获得了铜牌、银牌和金牌。1992年，陶进入美国普林斯顿大学攻读研究生，在21岁时就拿到了博士学位，24岁时成为加州大学洛杉矶分校的终身数学教授。出生于澳大利亚阿得雷德的陶哲轩还有两个弟弟，他们同样在音乐和数学方面有着天赋。而他的父母则来自中国香港。他们在接受媒体采访时曾介绍，他们提前让孩子进入中学学习，但并没有过于提前让他进入大学学习，这是为了让陶能更为全面、健康地发展。如今31岁的陶哲轩已经写出超过80篇论文，和30个人合作过，他的研究面十分开放，涉及数学的众多领域。“我在许多领域工作，但我不觉得它们互相之间没有关联，”在克雷数学机构的

17、一篇年度报告中，他这么说道，“我试图将数学看作一个统一的整体，我如果有机会研究许多领域组合起来的项目，我就会觉得特别开心。”陶哲轩最先开始从微积分的高级形式调和分析领域研究数学，约翰佳内特说他当时做的代数研究已经“几乎无人能看懂了”。两年前，陶哲轩开始进入其他数学领域，如非线性局部微分方程以及几何代数、数论、组合数学等其他完全不同的领域。化解古希腊难题而且，此后陶哲轩开始和同事进行复杂数学难题的化解，其中一项是化解一个2000年前的数学难题，古希腊数学家欧几里得留下的疑问。欧几里得认为，质数的数量是无限的。2004年，陶哲轩开始和布里斯托大学数学家本格林合作研究质数，他们证实了，质数存在任意长

18、的等差数列。比如3，7，11，就是同等距离，长度为3的序列例子，最大的质数序列长度为24，其中每个数字至少包含了20位数。陶哲轩和本格林的发现揭示，在质数排列的某个地方，有一个长度达1001000和其他有限值的序列，但这些序列却是无限的。这个结果被发现杂志列入当年100个最重要的自然发现之一。 “有的数学家感觉，破解难题需要太多的付出，在开始之前就得读100页的东西，不值得。而我们的方法则是专攻最关键的点。”陶哲轩说。对于成功，陶哲轩是这么说的：“我没有神奇的能力，我发现问题，觉得它和我以前所做的有点像，就会想是不是以前用过的方法在这儿也同样能用上。如果这种方法没有用，我就会想一些小招令其容易

19、点解决。我会玩问题，过段时间后，就能知道是怎么回事了。”陶说，很多数学家会直接想去解决问题，“他们即使化解出来了，也不一定明白自己是怎么做到的”他说，“我在开始之前，会考虑自己的策略，把一个非常复杂的问题化解成许多小问题。我从不为解决问题满意，总是想看如果做了些改变会发生什么。”访谈陶哲轩：玩数学是一种自由你是怎么开始对数学产生兴趣的？是因为天生的爱好还是受了什么好老师的影响？陶哲轩：我父母说我从两岁开始就痴迷于数字，我当时会去教别的孩子数数。我自己记得幼时我对数学符号的方程和难题非常感兴趣。在大学里，我则能够欣赏数学背后的意义和目的，及如何与真实世界及个人直觉相连。事实上，相对于难题解决和抽

20、象层面，我更倾心于数学的深层意义。我认为要发展对数学的兴趣，就要有“玩”数学的能力和自由，也就是说要给自己设立比较少的挑战，这样我就可以把数学当成娱乐来讨论。正式的课堂环境肯定学习理论和实际，是掌握学科的最好场合，但却不是实验的好地方。也许比较有用的能力是要能投入到某一点，甚至更可能需要一点固执。如果我在课堂上学到的东西有些部分我不明白，我在自己把它全部弄明白之前是不会满意的。如果解释对我不够用，我就会为此烦恼不已，所以我总是花大量的时间在非常简单的事情上，直到我能够彻彻底底地理解了，然后我再继续向更难的层次进发。你怎么寻找新问题？你怎么知道哪个问题会尤其有意义？陶哲轩：在我和其他数学家讨论的

21、时候，我会发现很多很多问题。我很幸运我出身的领域，调和分析这块和好多其他数学领域有着关联和运用（如偏微分方程、运用数学、数论、组合数学、遍历理论等），因此我从来都不缺少问题。有的时候我通过系统地检查一个领域，然后发现参考文献中的漏洞来挖掘问题。举个例子，我可以通过两个完全不同领域（如两项偏微分方程）的对照，然后比较已知的正负结果，来寻找问题所在。我也会探讨一些笼统模糊的问题，比如“如何在组合问题中最佳地分离随意组合？”之类的问题。我也特别喜欢一些看上去需要复杂前提的问题，但事实上如果运用新方法，却可以设置成最简化的方式，这样就避开了一些困难。当然，这不太能找出困难是什么，但在实践中却比较容易解

22、决问题。速算天才爱因斯坦爱因斯坦生病，躺在床上。他的一位朋友去看他，顺便出个题目给他消遣，那道算题是29742926？不料他刚说出口，爱因斯坦就算好了。原来后者注意到74与36之和刚巧是100，因此可以利用一种速算法：2930870742（5024）（5024）1924把1924附在870之后，便得到了最后的答数8701924。1846年，发现海王星的伟大天文学家亚当斯博士曾经向一个10岁的小男孩亨利斯塔福德发问：“你心算一下，365，365，365，365，365，365乘以365，365，365，365，365，365是多少？”这个孩子咬着手指，转动着眼珠，不到一分钟，他给出了正确的答案：

23、133，491，850，208，566，925，016，658，299，941，583，225齐拉科尔伯恩是另一位善算的奇才，他是美国佛蒙德州一个农民的儿子。当他8岁时，有人要他心算一下，816（上表16）是多少？他毫不犹豫地回答说，这个答数是：281，474，976，710，656。这使得考场里的学者们拍案赞叹。这比心算奇迹究竟是怎样实现的？这些孩子到底使用了什么方法？历史上都缺乏报道。许多人都认为，这种天赋只是少数人所独有的，其他人根本学不会，也用不着去学。此种看法未免太偏面了，有点近于武断。我们并不否认，好多速算天才后来沦为普通人，但也不能据此而得出错误的结论。解放后的新中国，出过不少速

24、算奇才。尤其是近几年，有不少青少年速算奇才，有的还写了专门讲速算方法的小书；有的则被港澳及国外报刊誉为“超级活电脑”。我国是一个有10亿人口的大国，人口资源十分丰富，有速算奇才的人一定为数不少，这样的人才绝不能任其埋没。把这样的成人和儿童集中起来，对他们进行生理与心理的实验研究，应该说是一件非常有意义的工作。神童维纳20世纪著名数学家诺伯特维纳，从小就智力超常，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的

25、立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。剩下

26、的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。 数学故事数学故事：海上明月在下面的乘法算式里，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字。这道算式的本来面目是什么呢？从千位上看，被乘数的首位数字“海”至少是1，乘积的首位数字“月”至多是9。而乘积是

27、被乘数的9倍，所以 海=1，月=9。又因为被乘数的百位数字“上”乘以9不能进位，而个位数字“9” 乘以9要向十位进8，所以上=0，明=8。原来的算式是：10899=9801。数学的故事:谈记数法来源我们再追溯到五千到八千年前看一看，这时，四大文明古国都早已从母系社会过渡到父系社会了，生产力的发展导致国家雏形的产生，生产规模的扩大则刺激了人们对大数的需要。比如某个原始国家组织了一支部队，国王陛下总不能老是说：“我的这支战无不胜的部队共计有9名士兵！”于是，慢慢地就出现了“十”、“百”、“千”、“万”这些符号。在我国商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文。即在八日辛亥那天消灭敌

28、人共计2656人。在商周的青铜器上也刻有一些大的数字。以后又出现了“亿”、“兆”这样的大数单位。而在古罗马，最大的记数单位只有“千”。他们用M表示一千。“三千”则写成“MMM”。“一万”就得写成“MMMMMMMMMM”。真不敢想象，如果他们需要记一千万时怎么办，难道要写上一万个M不成？总之，人们为了寻找记大数的单位是花了不少脑筋的。笔者幼时在农村读私塾，私塾先生告诉我们这些懵懂顽童：“最大的数叫猴子翻跟斗”。这位私塾先生可能认为孙悟空一个跟斗翻过去的路程是最最远的，不能再远了，所以完全可以用“猴子翻跟斗”来表示最大的数。在古印度，使用了一系列大数单位后，最后的最大的数的单位叫做“恒河沙”。是呀

29、，恒河中的沙子你数得清吗！然而，古希腊有一位伟大的学者，他却数清了“充满宇宙的沙子数”，那就是阿基米德。他写了一篇论文，叫做计沙法，在这篇文章中，他提出的记数方法，同现代数学中表示大数的方法很类似。他从古希腊的最大数字单位“万”开始，引进新数“万万（亿）”作为第二阶单位，然后是“亿亿”（第三阶单位），“亿亿亿”（第四阶单位），等等，每阶单位都是它前一阶单位的1亿倍。阿基米德的同时代人、天文学家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距离10，000，000，000斯塔迪姆（1斯塔迪姆=188米），这个距离当然比现在我们所认识的宇宙要小得多，这才仅仅是太阳到土星的距离。阿基米德假定这个“宇宙”里充满了沙子

30、。然后开始计算这些沙子的数目。最后他写道：“显然，在阿里斯塔克斯计算出的天球里所能装入的沙子的粒数，不会超过一千万个第八阶单位。”如果要把这个沙子的数目写出来，就是10，000，000（100，000，000）7或者就得在1后边写上63个0：1，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000。这个数，我们现在可以把它写得简单一些：即写成11063。而这种简单的写法，据说是印度某个不知名的数学家发明的。现在，我们还可更进一步把这种方法推广到记任何数，例如：32，000，000就可记为3

31、2107，而00000032则可记为3210-6。这种用在1与10间的一个数乘以10的若干次幂的记数方法就是“科学记数法”。这种记数法既方便，又准确，又简洁，还便于进行计算，所以得到了广泛的使用。数数的故事：关于十进制来源我们每个人都有两只手，十个手指，除了残疾人与畸型者。那么，手指与数学有什么关系呢？上篇开头讲的妈妈教孩子学数数时伸出了手指，大概所有的人都是这样从手指与数字的对应来开始学习数的。手指是人类最方便、也是最古老的计数器。让我们再穿过“时间隧道”回到几万年前吧，一群原始人正在向一群野兽发动大规模的围猎。只见石制箭镞与石制投枪呼啸着在林中掠过，石斧上下翻飞，被击中的野兽在哀嚎，尚未倒

32、下的野兽则狼奔豕突，拼命奔逃。这场战斗一直延续到黄昏。晚上，原始人在他们栖身的石洞前点燃了篝火，他们围着篝火一面唱一面跳，欢庆着胜利，同时把白天捕杀的野兽抬到火堆边点数。他们是怎么点数的呢？就用他们的“随身计数器”吧。一个，二个，每个野兽对应着一根手指。等到十个手指用完，怎么办呢？先把数过的十个放成一堆，拿一根绳，在绳上打一个结，表示“手指这么多野兽”（即十只野兽）。再从头数起，又数了十只野兽，堆成了第二堆，再在绳上打个结。这天，他们的收获太丰盛了，一个结，二个结，很快就数到手指一样多的结了。于是换第二根绳继续数下去。假定第二根绳上打了3个结后，野兽只剩下6只。那么，这天他们一共猎获了多少野兽

33、呢？ 1根绳又3个结又6只，用今天的话来说，就是1根绳=10个结，1个结=10只。所以1根绳3个结又6只=136只。你看，“逢十进一”的十进制就是这样得到的。现在世界上几乎所有的民族都采用了十进制，这恐怕跟人有十根手指密切相关。当然，过去有许多民族也曾用过别的进位制，比如玛雅人用的是二十进制。我想，大家一定很清楚这是什么原因：他们是连脚趾都用上了。我国古时候还有五进制，你看算盘上的一个上珠就等于五个下珠。而巴比仑人则用过六十进制，现在的时间进位，还有角度的进位就用的六十进制，换算起来就不太方便。英国人则用的是十二进制（1英尺=12英寸，l箩=12打，1打=12个）。大家再动动脑筋，想一想，在我

34、们的日常生活中还用到过什么别的进制吗？ 数数的故事：整数的诞生公共汽车上，有一位年轻的妈妈抱着她的小宝宝坐在车窗边，她正在教她的小宝宝数数呢。她伸出一个手指问：“这是几呀？”正在咿呀学语的小孩望了望妈妈，答道：“一”。妈妈伸出了两个手指问：“这是几呀？”小孩想了想答道：“二”。妈妈又伸出三个手指，小孩犹豫了好一阵，回答：“三。”再伸四个手指时，小孩答不出来了。在这个小孩看来，那些手指实在太多了，他已经数不清了。其实，能数到三，对一个黄口孺子来说，已经很不简单了。要知道，学会数数，那可是人类经过成千上万年的奋斗才得到的结果。如果我们穿过“时间隧道”来到二、三百万年前的远古时代，和我们的祖先-类人

35、猿在一起，我们会发现他们根本不识数，他们对事物只有“有”与“无”这两个数学概念。类人猿随着直立行走使手脚分工，通过劳动逐步学会使用工具与制造工具，并产生了简单的语言，这些活动使类人猿的大脑日趋发达，最后完成了由猿向人的演化。这时的原始人虽没有明确的数的概念，但已由“有”与“无”的概念进化到“多”与“少”的概念了。“多少”比“有无”要精确。这种概念精确化的过程最后就导致“数”的产生。上古的人类还没有文字，他们用的是结绳记事的办法（周易中就有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的记载）。遇事在草绳上打一个结，一个结就表示一件事，大事大结，小事小结。这种用结表事的方法就成了“符号”的先导。长辈拿着

36、这根绳子就可以告诉后辈某个结表示某件事。这样代代相传，所以一根打了许多结的绳子就成了一本历史教材。本世纪初，居住在琉球群岛的土著人还保留着结绳记事的方法。而我国西南的一个少数民族，也还在用类似的方法记事，他们的首领有一根木棍，上面刻着的道道就是用于记事的。又经过了很长的时间，原始人终于从一头野猪，一只老虎，一把石斧，一个人，这些不同的具体事物中抽象出一个共同的数字-“1”。数“1”的出现对人类来说是一次大的飞跃。人类就是从这个“1”开始，又经过很长一段时间的努力，逐步地数出了“2”、“3”，对于原始人来说，每数出一个数（实际上就是每增加一个专用符号或语言）都不是简单的事。直到本世纪初，人们还在

37、原始森林中发现一些部落，他们数数的本领还很低。例如在一个马来人的部落里，如果你去问一个老头的年龄，他只会告诉你：“我8岁”。这是怎么回事呢？因为他们还不会数超过“8”的数。对他们来说，“8”就表示“很多”。有时，他们实在无法说清自己的年龄，就只好指着门口的棕榈树告诉你：“我跟它一样大。”这种情况在我国古代也曾发生并在古汉语中留下了痕迹。比如“九霄”指天的极高处，“九派”泛指江河支流之多，这说明，在一段时期内，“九”曾用于表示“很多”的意思。总之，人类由于生产、分配与交换的需要，逐步得到了“数”，这些数排列起来，可得1，2，3，4，10，11，12，这就是自然数列。可能由于古人觉得，打了一只野兔

38、又吃掉，野兔已经没有了，“没有”是不需要用数来表示的。所以数“0”出现得很迟。换句话说，零不是自然数。后来由于实际需要又出现了负数。我国是最早使用负数的国家。西汉（公元前二世纪）时期，我国就开始使用负数。九章算术中已经给出正负数运算法则。人们在计算时就用两种颜色的算筹分别表示正数和负数，而用空位表示“0”，只是没有专门给出0的符号。“0”这个符号，最早在公元五世纪由印度人阿尔耶婆哈答使用。到这时候，“整数”才完整地出现了。渔夫和草帽有位渔夫，头戴一顶大草帽，坐在划艇上在一条河中钓鱼。河水的流动速度是每小时3英里，他的划艇以同样的速度顺流而下。“我得向上游划行几英里，”他自言自语道，“这里的鱼儿

39、不愿上钩！”正当他开始向上游划行的时候，一阵风把他的草帽吹落到船旁的水中。但是，我们这位渔夫并没有注意到他的草帽丢了，仍然向上游划行。直到他划行到船与草帽相距5英里的时候，他才发觉这一点。于是他立即掉转船头，向下游划去，终于追上了他那顶在水中漂流的草帽。在静水中，渔夫划行的速度总是每小时5英里。在他向上游或下游划行时，一直保持这个速度不变。当然，这并不是他相对于河岸的速度。例如，当他以每小时 5英里的速度向上游划行时，河水将以每小时3英里的速度把他向下游拖去，因此，他相对于河岸的速度仅是每小时2英里；当他向下游划行时，他的划行速度与河水的流动速度将共同作用，使得他相对于河岸的速度为每小时8英里

40、。如果渔夫是在下午2时丢失草帽的，那么他找回草帽是在什么时候？数学故事：任意写一个三位数做几次简单运算，可以发现一个小小规律。任意写一个三位数，例如135。把它的数字倒过来写，成为531。用其中较大的减去较小的，得到531-135=396。换几个另外的三位数，也做同样的计算，分别得到876-678=198，995-599=396，963-369=594。以上4个式子里得到的差，有一个明显的共同点：差的中间一位数字都是9。再仔细看看，还发现一个共同点：差的首、尾两位数字的和等于9。这样，通过观察和归纳，就发现了三位数颠倒相减的规律。还可以再随意写很多三位数颠倒相减的例子，来验证上面得到的规律，结

41、果大部分都完全符合，只有两种例外情形。第一种例外，如594-495=99，差是两位数99，不是三位数。第二种例外，如323-323=0，这时的差是0。由此可见，刚才初步归纳出来的规律，需要作两点小补充：第一，如果差的末位数字是9，这个差一定是99；第二，如果差的末位数字是0，这个差一定是0。在其他情形下，差都是三位数。这样一来，规律就完整了。你可以让你的朋友转过身去，在纸上任意写三位数，然后颠倒相减，只要把差的末位数字告诉你，就能猜出差是多少。例如，朋友说，差的末位数字是8。你一看，末位数字非9非0，那么十位一定是9，百位等于用9减去个位，因而立刻说出，差是198。朋友说，差的末位数字是5。一

42、看这数字非9非0，你就说，差是495。朋友说，差的末位数字是9。一看见数字是9，赶快小心点，见了9，答99，这时的差是99。朋友说，差的末位数字是0。说不定朋友正在暗中发笑，什么末位数字，总共只有一位数字0。你一看，来者是0，小心了，特殊情形，0就是0，这时的差是0。一道经过化装的减法算式无论哪种情形，只要掌握规律，总能应答如流，一猜就准。有一道经过化装的减法算式，其中有三个不同数字带着各自的假面具、和： 请问，带圆形面具的数字是多少呢？在上面的式子里，前两行中，方面具和三角面具互相交换场地。这样得到的差想必有些特殊的性质。仔细看看这个差：-=（10+）-（10+）=9-9=（-）9。从上式右

43、端看出，差一定是9的倍数。就是说，4=9的倍数。一个数是9的倍数，它的各位数字的和也是9的倍数。所以+4=9的倍数。因此=5。这样就得到，带着圆形面具的数字一定是5。上面这种想法是从整体考虑的。原题只对圆面具有兴趣，这样的解法最简单，走了一条捷径。如果想知道所有面具下的数字，也不困难。这时可以改从局部考虑，讨论得更细一点。因为被减数比减数大，所以从十位得到。这样在个位相减时，从减去不够减，要向十位借，所以从个位得到（10+）-=4。变形，得到=+6。所以方面具和三角面具下的数字共有三种可能：=7，=1；=8，=2；=9，=3。对应的算式分别是71-17=54；82-28=54；93-39=54

44、。在每种情形中，圆面具下面的数字都是5。数 学 之 美数学是美丽的，哪里有数哪里就有美数学的定义是研究数量关系和空间形式的一门科学。但有句名言说：数学比科学大得多，因为它是科学的语言。数学不仅用来写科学，而且可用来写人生。所以说数学是一切学科的基础，是核心学科，就像人们知识金字塔的底部垫基石，所以数学被誉为科学的皇后。数学分基础和应用两部分组成的，前者追求真和美，后者是把这种真和美应用到现实生活。一切美的事物都有两条衡量标准：一是绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根）；二是美是各部分之间以及各部分与整体之间都有一种协调一致的和谐（海森保）。而数学的外在美和内在美无一不把上述的两种美感体现的淋漓

45、尽致，而且它还另赋有真理美和一种冷峭、严峻的美。一、数学外在美：形象美、对称美、和谐美1、形象美。黑格尔说：“美只能在形象中出现。”谈到形象美，一些人便只联想到影视、雕塑或绘画等，而数学离形象美是遥不可及的。其实数学的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面。从幼儿时代伊伊学语的“1像小棒、2像小鸭、3像耳朵”的直观形象，再到小学二、三年级所学的平均数的应用的宏观形象之美商场货架货物平均间距摆放以及道路植树的平均间距由平均数的应用给人们带来的美感不胜玫举。再到初中所学的“”（垂直符号），看到这样的符号，就让我们联想起矗立在城市中的高楼大厦或一座屹然峻俏、拔地而起的山峰，给人以挺拔巍峨之美。“”（

46、水平线条），我们想起静谧的湖面，给人以平静心情的安然之美；看到“”（曲线线条），我们又有小溪流水、随波逐流的流动乐章之美。到了高中的“”（属于符号），更是形象的表现了一种归属关系的美感。还有现在最新研究的数学分形几何图形，简直就是数学上帝造物主的完美之作。美得让人晕撅的数学分形几何图形： HYPERLINK /photo/uV0bIGXOGSD0H7EmgtyXgw=/4011581368081677716.jpg t _blank HYPERLINK /middle/60d27f6dgcb0c0857b562&690.jpg t _blank HYPERLINK /middle/60d27f

47、6dgcb0c09d725a4&690.jpg t _blank HYPERLINK /middle/60d27f6dgcb0c0b8ced87&690.jpg t _blank HYPERLINK /middle/60d27f6dgcb0c0cf72084&690.jpg t _blank HYPERLINK /photo/jdAxiSvPcghW6tmG0QwNiQ=/5707186627785694566.jpg t _blank HYPERLINK /photo/QIXr6TVv7d_dhn4RrBIhig=/5707186627785694567.jpg t _blank 2、对称美

48、。对称是美学的基本法则之一，数学中许多轴对称、中心对称图形，都赋予了平衡、协调的对称美。就连一些数学概念本身都呈现了对称的意境“整分、奇偶、和差、曲直、方圆、分解组合、平行交叉、正比例反比例”。自然界中无数原生物也都具有先天性的对称美，例如树叶、花朵、蝴蝶等等。人们根据数学这一美学，设计了许许多多具有这种特征美的产品来，例如房屋、饰品、服装等等。这种美不仅应用在了人们直观视觉里，而且还引申到“非纯对称的相对对称”（以下简称“相对对称”）的文学作品里，文学创作结构讲究“头尾呼映”（即相对对称），情节人物身份或性格也大部分是有有着相对对称的特点。3、和谐美。最具有这一美色的当属欧氏几何学的黄金比例

49、（约0.618），它简直就是宇宙的美神。具有这一特色设计的五角星堪称是一种巫术的设计标志；黄金分割比是解身材优美的密码。由黄金分割引荐的黄金矩形（矩形长、宽比例是黄金比），它在形式比例上具有相当高的美学价值，如生活中的许多物品（国旗、图书、火柴盒等）都采用了这一优美图形。传说中，蒙娜丽纱的脸就是黄金矩形的脸，所以才会留下千古流芳的“蒙娜丽纱微笑”。哪里有黄金比，哪里就有美的闪光。数学定义中的圆，它的周长和半径之间有着异常简洁和谐美的关系。它的完全无缺没有任何一个画家和文学家能够描绘出来。还有一些优美的曲线是数学形象美与和谐的结合产物。如得之于自然界的四叶玫瑰线、对数螺旋线，还有那久负盛名的莫比乌斯曲线。莫比乌斯曲线的和谐美不仅局限于它的外观，它还体现在“在二维空间里构造一维空间”的合二为一的高度内敛的和谐美。把一个长纸条，一端扭转后再与另一端粘贴起来，那么当一只蚂蚁从纸条任意一点沿着一面出发，但确可途经纸条的两面所有路线之后而又回到原点。这一神奇的“合二为一”构造术映射出了一个伟大的数学与交际结合的哲