矩阵理论考试2010春论试卷评分

1、华东理工大学 20092010 学年矩阵理论试卷评分标准2010 年 6 月 26 日一、填空题（每小题 4 分，共 28 分）1 、设 R3 中两组基 , , 与 , , 的关系为： , 2 1231231122132 23 ， 3 1 32 23 ，则向量 1 22 33 在基1 , 2 , 3 下。的坐标为12、设 A 1则 A 的核空间 N ( A) 的基为 11。，3、设由欧氏空间V 中定义的内积诱导出的范数为|m 。对V 中给定的向量和非零向量 ，则| | 的最小值为，此时实数m 。（即求向量 到向量 所在直线的最短距离 | ）4、矩阵 A( ) 3 2 2 的 Smith为 。0

2、 2 53 0( 210 3)A( ) 3 2 2 5 2 2 2 2 53 210 2 533 00 2103 310 20 ( 2103)1105 (1 105 )25、设 A ，则| A |F 10 3 ， Cond( A) 10。10 15110.2 0.3k10 4 3k06、方阵幂级数的和为矩阵11 78 。0.7 0.67、设 f ( A) tr( AT A) ，其中 A Rmn 是矩阵变量，则 df 。dA二、（本题满分 8 分）设 A 为正规矩阵，并且 A3 A2 。证明： A2 A 。A UH U。（3 分）A2 (UHU )2 UH2U, A3 UH3U 。由 A3 A2

3、 可知2 3 ，即diag( 2, 2) diag( 3, 3) ，因此 2 3 ，1n1nii即i 1 或i 0 。（6 分） IO 2 IO IO 设 r ，则2 r r ，所以 A2 A 。（8 分） OO OO OO 三、（本题满分 12 分）已知多项式空间 Pt2 的一个基为（I）： f1 (t) 1t, f2 (t) 1 t2, f3 (t) t 2t2.线性变换T 满足T f1 (t) 2 t2, T f2 (t) t,T f3 (t) 1 t t2.求（1）T 在简单基（II） 1, t, t2 下的矩阵表示；（2） f (t) 3 2t t2 在T 下的像T f (t)。华东

4、理工大学 20092010 学年矩阵论试卷评分标准 第 1 页共 5 页（1）方法一：设T( f1 (t), f2 (t), f3 (t) (1, t, t 2 )C ，( f1 (t), f2 (t), f3 (t) (1, t, t2 )P由于 A 为正规矩阵， 故存在酉矩阵U 及对角阵 diag(1 , ,n )，使得2A( , ) | |2|m| |m( , )21 | |2 | |2mm(1,1)T( 5 , 3, 9 )T 2220 11 2所求为B 0 1 1 22（8 分）10 11 1方法二：设T( f1 (t), f2 (t), f3 (t) ( f1(t),，T(1, t

5、, t2 ) (1, t, t2 )B ，01101( f1 (t), f2 (t), f3 (t) (1, t, t2 )P ，由题知 P 112（4 分）0又T( f1 (t), f2 (t), f3 (t) (，1 22 2111因此 A （6 分）1 11所求为B 1 1 0（8 分） 01（2）方法一：令 f (t) (1, t, t2 )x ，则 T f (t) T(1, t, t2 )x (1, t, t2 )Bx （10 分）3 5 3 (1, t, t 2 ) 110（12 分）2 3 2方法二：令 f (t) 6 f1 (t) 9 f2 (t)4 f3 (t) ，（10 分

6、 ）则 T f (t) 6T f1(t) 9T f2 (16 5t 10t 2. （12 分 ）四、（本题满分 8 分）设 为 Rn 的列向量， n 1 ，令 B I T 。B 1 。2证明：（1） B2 B ；（2） (B) 1 ；（3）因为T 1 （3 分）,（1）所以 B2 ( I T )2 I 2T TT I 2T T I T B（2）证法一：因为 B(B I ) 0 ,所以| B | 0 或| B I | 0 ，因此 B 的特征值 只能是 0 或 1。当n 1 时， det(I B) det(T ) 0 ，所以 1 确实为 B 的一个 特征值，因此 (B) max | i | 1 。

7、（6 分）i列向量，所以 R(T ) 1 ,所以矩阵T 的非零特征证法二：因为 为 Rn 的值只有一个。又因为(T ) (T) 1，所以1 是矩阵T 的唯一非零特征值，因此矩阵 B I T 的特征值为0,1,1 。从而 (B) max | i | 1 。（6 分 ）i（3）证法一： BT (I T )T I T B ，(BT B) B（8 分）max2华东理工大学 20092010 学年第 2 页共 5 页矩阵论试卷评分标准证法二：因为 BT (I T )T I T B ，所以 B 是正规矩阵。而正规矩 阵T(1, t, t2 ) T( f1(t),2 0 1 11 0由题知C 0 1 1,P

8、 1 0 1（4 分）1 0 1 01 2 (1, t, t2 )CP1 （6 分）从而(1, t, t2 ) ( f1 (t), f2 (t), f3 (t)P1101五、（本题满分 12 分）已知 A 0 0 1 。（1）求矩阵函数cos A ；（2）求 Jordan010矩阵J 和可逆矩阵Q ，使得Q1(cos A)Q J 。（1） A 的特征值为1, 1, 0（2 分）， 1 对应的特征向量和广义特征向量为1011 0, 2 1 ， 0 对应的特征向量为3 1 （5 分 ）01011001111所以 A PJAP1 ，这里 P 001, JA 01 0 （7 分）0000cos1 si

9、n1cos1 cos11 1sin1cos10从而cos A P(cos JA )P1 P 0cos10P1 0100cos11（9 分）00cos0cos1备注：也可选择 2 (1,1,1)T ，得不同的 P ，但JA 和cos A 是唯一确定的。cos1 sin10100（2）因为P1(cos A)P 0cos10令 D 001 / sin1 0 ，则。00cos010cos11011 0J D1P1(cos A)PD 0cos1 0，（11 分）并且 Q PD 0 1/ sin1 1（12 分 ）100 1/ sin100方法二：（1） A 的特征多项式(1)2 ，特征值为1, 1, 0

10、，（2 分）所以设cos a0 a1 a2 2 （4 分），则cos1 a0 a1 a2 ,sin1 a1 2a2 ,cos0 a0 ，解得a0 1,a1 sin1 2cos11, a2 1sin1cos1cos1 cos11 1sin1cos1从而cos A a0 I a1 A a2 A 2 01cos11（7 分）00cos110（2） 1 对应的特征向量和广义特征向量为1 0, 2 1 ，0110 对应的特征向量为3 1 （9 分）0cos1 sin10100因为P1(cos A)P 0cos10。令 D 001 / sin1 0 ，则00cos010cos11011 0J D1P1(c

11、os A)PD 0cos1 0，（11 分）并且Q PD 001/ sin1 1（12 分）10 001/ sin1华东理工大学 20092010 学年矩阵论试卷评分标准 第 3 页共 5 页方法一：的 2 范数等于谱半径，所以 B 1 （8 分）2六、（本题满分 12 分）求矩阵 A 21 的完全奇异值分解（SVD）。0210a b七、（本题满分 12 分）已知矩阵空间 R的子空间V X c c 。内积 为22 ( A, B) a11b11 a1V 中的线性变换为T ( X ) X 12，X V 。求V 的一个标准正交基，使得T 在21该基下的矩阵为对角矩阵。a a b10 cb01因为 X

12、 c c0 0001 0 0, （3 分）010所以取 V 的一个基为0 0 0 0 1 1 10, X 0 1,从而 V 的一个标准正交基为 X（4 分）000 01200 3X1T ( ，T (，T ( X ) 2 3 32233102则T(3) (3)A ，这里 A 201 0 。（7 分）300因为 A 是对称矩阵，所以可求得正交矩阵Q 0 1 1212030 021 和对角矩阵 03 0 ，200 110使得Q1AT AQ 。（10 分）令(Y1 ,Y2 ,Y3 ) (3 )Q ，则T(Y1,Y2 ,Y3 ) T( X1,华东理工大学 20092010 学年矩阵论试卷评分标准 第 4 页共 5 页5 2 2A T A 2 4 0，特征值为7, 3, 0 （3 分），对应的特征向量为2 0 13 1 2 1 , 1 , 1 1（6 分）114 2 26 2 321 1 1 4因此V1 (1 , 2 )取U AV 1 2 0（9 分）111 2令U U1 ，V (1 , 2 , 3