第五章频率响应法学习课件

1、第五章 频率响应法 频率响应法是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法，与根轨迹法一样，是一种工程方法。它不仅能根据系统的开环频率特性直观地分析系统的闭环响应，而且还能判别某些环节或参数对系统性能的影响，从而为改善系统性能提供有用信息。 从工程角度看，与根轨迹法一样是种图解法，研究的主要手段是极坐标图（Nyquist图）和Bode图。 频率响应法不仅适用于线性定常系统，还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。第一节 频率特性 频率特性又称频率响应，是系统对不同频率的正弦输入信号的稳态响应特性。 设输入为一频率为 的正弦信号，稳态时，系统的输出具有和输入同频率的正弦函数，但

2、其幅值和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化。 设线性系统的传递函数为已知输入 ，则系统输出为频率特性的基本概念 对于稳定系统， 的极点都位于 左半平面，为简单起见，令 的极点均为相异的实数极点，则 当 时，系统响应的暂态分量 趋于零，其稳态分量为 频率特性的基本概念其中：其中： ，则频率特性的基本概念 结论：线性定常系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为 ，输出与输入的相位差为 RC电路的传递函数为若输入电压 ，则频率特性的基本概念式中， ， ， 。 频率特性的物理意义：当一频率为 的正弦信号加到电路的输入端后，稳态时，电路的输出与输入之比；或

3、者说，电路的输出与输入的幅值之比和相位之差。频率特性的基本概念 设系统的开环传递函数为 由传递函数确定系统的频率响应令 ，即 ，则系统的频率特性为 若在 平面虚轴上任取一点 ，将该点与所有零、极点连成向量，并以极坐标的形式表示为频率特性的基本概念频率特性的基本概念 系统幅值随频率变化的特性称幅频特性，相角随频率变化的特性称为相频特性。 由实验方法确定系统的频率特性第二节 极坐标图 由于频率特性 是一个复数，可表示为或 这样，频率特性 可用幅值为 ，相角为 的向量来表示。当输入信号频率 时，向量 的幅值和相位也随之变化，其端点在复平面上移动而形成的轨迹，称为极坐标图或奈氏图。典型环节的 Nyqu

4、ist 曲线 比例环节 比例环节的频率特性为 积分和微分环节 积分环节的频率特性为 显然，积分环节的奈氏图为负虚轴。典型环节的 Nyquist 曲线 微分环节的频率特性为 显然，微分环节的奈氏图为正虚轴。 结论：积分环节是一个相位滞后环节，当信号经过一个积分环节后，其相位滞后90。 结论：微分环节是一个相位超前环节，当信号经过一个微分环节后，相位将超前90。典型环节的 Nyquist 曲线 一阶环节 一阶惯性环节的频率特性为 结论：一阶惯性环节是一个相位滞后环节，其最大滞后角为90，此时频率无穷大。典型环节的 Nyquist 曲线 一阶微分环节的频率特性为 结论：一阶微分环节是一个相位超前环节

5、，其最大超前角为90，此时频率无穷大。典型环节的 Nyquist 曲线 二阶环节 二阶振荡环节的频率特性为典型环节的 Nyquist 曲线 当 时， ，相角为 。当 时，奈氏曲线上距原点最远的点所对应的频率就是振荡环节的谐振频率 ，幅值为谐振峰值 。当 时，无谐振， 向量的幅值随增加而单调减小。 当 时，二阶振荡环节的频率特性与一阶惯性环节相类同，其奈氏图近似为一个半圆。典型环节的 Nyquist 曲线 二阶微分环节的频率特性为典型环节的 Nyquist 曲线 时滞环节 时滞环节的频率特性为 由于时滞环节的幅值恒为1，相位与成比例变化，其奈氏图是一单位园。在低频段，当 较小时，即 时，时滞环节

6、可近似用惯性环节表示。开环系统的 Nyquist 图 0型系统 0型系统的开环频率特性为当 时， ， ，即为实轴上的一点（ ，0）；当 时， ， ；当 时，奈氏曲线的具体形状由开环传递函数所含的具体环节和参数确定。开环系统的 Nyquist 图 1型系统 1型系统的开环频率特性为 由上式不难看出，当 时， ；当 时， 。开环系统的 Nyquist 图 2型系统 2型系统的开环频率特性为 由上式不难看出，当 时， ；当 时， 。开环系统的 Nyquist 图 结论：开环系统奈氏图的低频部分由因式 确定。对于0型系统， ，对于1型和1型以上的 型系统， 。 因 ，当 时，开环系统高频部分 ，曲线以

7、顺时针方向按 的角度趋向于坐标原点。开环系统的 Nyquist 图 例1 已知型系统、1型系统和2型系统的开环传递函数分别为 试绘制它们对应的奈氏图。 解 0型系统的频率特性为开环系统的 Nyquist 图 1型系统的频率特性为 当 时， ，即 ；当 时， 。开环系统的 Nyquist 图 2型系统的频率特性为 当 时， ，即 ；当 时， 。第三节 对数坐标图 对数坐标图由对数幅频特性图和相频图两部分组成。对数幅频特性图的纵坐标为 ，常用符号 表示，单位是分贝（dB）。相频图的纵坐标为 ，单位是弧度或（）。两张图的纵坐标都按线性分度，横坐标是角频率 ，常用 分度，从而形成了半对数坐标系。 以

8、分度的横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号dec表示。对数幅频特性的“斜率”一般用dB/dec表示。对数坐标图又称伯德图（Bode图）。 典型环节的 Bode 图 比例环节 比例环节 的对数幅频特性是一高度为 dB的水平线，其相角为 。当 时， 位于横轴上方；当时， 位于横轴上，称0dB线；当 时，位于横轴下方。典型环节的 Bode 图 一阶环节 一阶惯性环节 的对数幅频和相频特性为（其中 ） 当 时， ，表示 的低频渐近线是一条高度为0dB的水平线。 典型环节的 Bode 图 当 时， ，表示 的高频渐近线是一条斜率为20dB/dec的直线。 两条渐近

9、线的交点频率 ，称为转折频率。此处用两条渐近线近似表示对数幅频特性所产生的幅值误差最大，约为3dB。典型环节的 Bode 图 结论：一阶惯性环节具有低通滤波器的特性。有高通滤波器的特性，其对数幅频和相频特性为 一阶微分环节 具典型环节的 Bode 图 积分和微分环节 积分环节 的对数幅频和相频特性为典型环节的 Bode 图 微分环节 的对数幅频和相频特性为典型环节的 Bode 图 如果传递函数中含有 个积分环节，即 ，则其对数幅频和相频特性为典型环节的 Bode 图 二阶环节 如果二阶环节系统中的阻尼比 ，则二阶系统的频率特性可由两个一阶惯性环节相乘得到；如果 ，则开环传递函数中含有一对共轭极

10、点，存在下列形式的二阶环节：（其中： ）典型环节的 Bode 图 则其对数幅频和相频特性为 当 时， ，表示 的低频渐近线是一条0dB的水平线。 典型环节的 Bode 图 当 时， ，表示 的高频渐近线是一斜率为40dB/dec的直线，两渐近线交点 为二阶振荡环节的转折频率。 当 时，二阶振荡环节的幅频特性才存在谐振频率和谐振峰值。 定义：谐振频率 和谐振峰值 为典型环节的 Bode 图典型环节的 Bode 图典型环节的 Bode 图典型环节的 Bode 图 时滞环节 由于环节 与振荡环节的频率特性互为倒数，所以它们的对数幅频和相频特性只差一个符号。 时滞环节幅频和相频特性为 可见，其对数幅频

11、特性是条0dB的水平线，相角 与频率 呈线性关系。开环系统的 Bode 图 如果系统开环传递函数由若干典型环节串联而成，则其对数幅频和相频特性分别为 可见，只要作出 所含各环节的对数幅频和相频特性曲线，然后进行代数叠加，即可得开环系统的伯德图。开环系统的 Bode 图 对系统近似分析时，只需画出对数幅频特性曲线的渐近线，大大简化了图形绘制。 用伯德图表示频率特性的主要特点： 将幅频特性的乘除运算转变为加减运算； 一般，绘制开环系统伯德图的步骤为： 将所含各环节按转折频率由小到大依次排列，若存在比例环节和积分环节，则将其排在最左边。 写出开环频率特性表达式，并表示成典型环节相乘的形式。开环系统的

12、 Bode 图 绘制开环对数幅频曲线的渐近线。首先确定低频段上积分环节和比例环节的渐近线，其低频段渐近线斜率为 ， 为积分环节数。在 处，有 。然后沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率。如果遇到 环节的转折频率 ，当 时，分段直线斜率的变化量为 ；如遇到 环节的转折频率 ，当 时，分段直线斜率的变化量为 ；其它环节类似处理。分段直线最后一段是开环对数幅频曲线的高频渐近线，其斜率为 。开环系统的 Bode 图 作出相频特性曲线。根据开环相频特性表达式，在低频、中频及高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。 如果需要，可根据各典型环节的误差曲线在其半倍频、一倍频

13、和二倍频处对相应的分段直线进行修正，得到实际的对数幅频特性曲线。 为便于分析，应使对数幅频特性曲线在穿越0dB线、相频特性曲线穿越 线时尽可能准确。 开环系统的 Bode 图 例2 已知一反馈控制系统的开环传递函数为试绘制开环系统的伯德图。 解 系统的开环频率特性为可见，系统由比例、积分、微分和惯性环节组成。开环系统的 Bode 图最小相位系统和非最小相位系统 设最小相位系统a和非最小相位系统b的传递函数分别为其中： 。它们的频率特性分别为 由于 ，所以两个系统的幅频特性完全相同，它们的相频特性分别为最小相位系统和非最小相位系统 当 时，系统a的相位变化量为 ，系统b的相位变化量为 。可见，最

14、小相位系统的相位变化量总小于非最小相位系统的相位变化量，即为“最小相位”名称的由来。最小相位系统和非最小相位系统 由图可见，最小相位系统的对数幅频特性和相频特性曲线的变化趋势基本一致，两者之间存在唯一的对应关系，如果确定了系统的对数幅频特性，则其相频特性也就被唯一确定。反之亦然。 当 时，虽最小相位系统和非最小相位系统对数幅频特性的斜率均为 ，但前者相位 ，而后者相位 ，这是判别系统是否为最小相位系统的有效方法。 因此，可根据最小相位系统的对数幅频特性曲线，估计系统的传递函数。系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系 0型系统 0型系统的开环频率特性为 0型系统对数幅频特性低频段的特点为：低频

15、段的渐近线斜率为0dB/dec，高度为 。系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系 1型系统 1型系统的开环频率特性为系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系 1型系统的对数幅频特性的特点为： 低频段的渐近线斜率为 。 低频段渐近线（或其延长线）在 处的纵坐标值为 ，由此可得稳态速度误差系数 。 系统的开环增益即稳态速度误差系数 在数值上等于低频段渐近线（或其延长线）与0dB线交点的频率值。系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系 2型系统 2型系统的开环频率特性为系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系 2型系统的对数幅频特性的特点为： 低频段的渐近线斜率为 。 低频段渐近线（或其延长线）在

16、 处的纵坐标值为 ，由此可得稳态速度误差系数 。 系统的开环增益即稳态速度误差系数 在数值上等于低频段渐近线（或其延长线）与0dB线交点的频率值的平方。第四节 Nyquist 稳定判据 系统闭环传递函数为 其特征方程式为令引言 根据闭环系统稳定的充分必要条件，要使闭环系统稳定，特征函数 的全部零点都必须位于 平面的左半部分。式中， 、 、 是 的零点，也是闭环特征方程式的根； 、 、 是 的极点，也是开环传递函数的极点。 辐角原理 对于 平面上每一点，在 平面上必有唯一的一个映射点与之对应。同样，对于 平面上任意一条不通过 的极点和零点的闭合曲线 ，在 平面上必有唯一的一条闭合曲线 与之相对应

17、。辐角原理 的相角为 余各向量的相角变化都为 。对应 平面上的映射曲线 以顺时针方向围绕坐标原点旋转一周。 如果闭合曲线 以顺时针方向围绕 的某零点 旋转一周，则向量 的相角变化了 ，其辐角原理 推论：若 平面上的闭合曲线 以顺时针方向围绕 的 个零点旋转一周，则其在 平面的映射曲线 将以顺时针方向围绕坐标原点旋转 周。 如果闭合曲线 以顺时针方向围绕 的某极点 旋转一周，则向量 的相角变化了 ，对应 的相角变化了 ，表示 平面上的映射曲线 以逆时针方向围绕坐标原点旋转一周。 推论：若 平面上的闭合曲线 以顺时针方向围绕 的 个极点旋转一周，则其在 平面的映射曲线 将以逆时针方向围绕坐标原点旋

18、转 周。辐角原理 辐角原理：对于解析函数 ，如果 平面上的闭合曲线 不经过 的任何零点和极点，以顺时针方向包围 的 个零点和 个极点，则其在平面上的映射曲线 将围绕坐标原点旋转 周，其中 。 当 ，表示曲线 不包围坐标原点； 当 ，表示曲线 以顺时针方向包围坐标原点； 当 ，表示曲线 以逆时针方向包围坐标原点。Nyquist 稳定判据 Nyquist轨线：轨线 由 轴表示的 部分和半径为无穷大的半圆部分 组成。 由于 中的 ，当 沿奈氏轨线 运动时，有 这说明，当 沿着半径为无穷大的半圆变化时，函数 始终是一常数。为此，映射曲线 是否包围坐标原点，取决于奈氏轨线中 部分的映射。Nyquist

19、稳定判据 如果在 轴上不存在 的极点和零点，则当s沿着 轴由 运动到 时，在 平面上的映射曲线 为 如果闭合曲线 以顺时针方向包围 的 个零点和 个极点，由辐角原理可知，它在 平面上的映射曲线 将以顺时针方向围绕着坐标原点旋转 周，其中 。Nyquist 稳定判据 因此，映射曲线 对其坐标原点的围绕等价于开环频率特性曲线 对 平面上点的围绕。Nyquist 稳定判据 如果开环系统是稳定的，即 ，则闭环系统稳定的充要条件是 曲线不包围 点。Nyquist稳定判据： 如果开环系统不稳定，且已知有 个开环极点在的右半平面，则闭环系统稳定的充要条件是 曲线以逆时针方向围绕 点旋转 周。Nyquist

20、稳定判据的应用步骤 作出开环系统的奈氏曲线 ； 计算奈氏曲线 对点 按顺时针方向的围绕圈数 ； 确定开环系统是否稳定。若不稳定，则确定开环系统在 右半平面上的极点数 ； 根据 ，确定 是否为零。如果 ，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。 的数值反映了闭环特征方程式的根在 右半平面上的数目。Nyquist 稳定判据的应用 例3 已知一反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。 解 系统在 右半平面没有开环极点， 。 奈氏曲线不包围 点， ，闭环系统稳定。Nyquist 稳定判据的进一步说明 开环极点位于虚轴的情况 设系统的开环传递函数为 部分Nyquist 稳定判据的进

21、一步说明 对于 的1型系统， 部分在 平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的半园。 对于 的2型系统， 部分在 平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的园。 从 到 ，应顺时针连接。Nyquist 稳定判据的进一步说明 例4 已知一反馈控制系统的开环传递函数为试判别该系统的稳定性。 解 闭环系统不稳定，有2个闭环极点在 右半平面。Nyquist 稳定判据的进一步说明 例5 已知系统的开环传递函数为试分析时间常数 和 的相对大小对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的奈氏图。Nyquist 稳定判据的进一步说明 利用奈氏判据确定系统的参数稳定范围 根据奈氏曲线是否通过 点的条件来选择参数。 例6 已知一

22、单位反馈系统的开环传递函数为试用奈氏判据确定闭环系统稳定的 值范围。 解Nyquist 稳定判据的进一步说明 具有时滞环节的稳定性分析 设含时滞环节的开环系统传递函数为 Nyquist 稳定判据的进一步说明当 时，相对于 ， 的幅值不变，相角则在每个 上顺时针多转了 。 以螺旋形趋于原点，与 平面负半轴相交无穷多点。为使系统稳定，奈氏曲线与负实轴的第一个交点必须位于 的右边。 因 ,当 时，Nyquist 稳定判据的进一步说明 例7 已知试分析 对系统稳定性的影响。 解 系统开环传递函数为 时，系统稳定； 时，系统临界稳定； 时，系统不稳定。Nyquist 稳定判据在对数坐标图的应用 平面上单

23、位圆的圆周与对数坐标图上的0dB线相对应，单位圆的外部对应于 ，单位圆的内对应于 。 平面上的负实轴与对数坐标图上的 线相对应。 如果 曲线以顺时针方向包围 点一周，则此曲线将自下而上穿越负实轴 线段一次。这种穿越使相角减小，称为负穿越 。 伯德图上相当于 时，相频曲线 自下而上穿越 线一次。Nyquist 稳定判据在对数坐标图的应用 如果 曲线以逆时针方向包围 点一周，则此曲线将自上而下穿越负实轴 线段一次。这种穿越使相角增大，称为正穿越 。 伯德图上相当于 时，相频曲线 自上而下穿越 线一次。Nyquist 稳定判据在对数坐标图的应用对数频率特性形式的Nyquist稳定判据： 闭环系统稳定

24、的充要条件：当 变化时，在 频率范围内，相频特性 穿越线的次数（正、负穿越次数之差）为 。 判据中的频率范围是 从 ，而非 ； 若 为奇数，则开环系统未真正产生穿越，相频特性的起点在负半轴。注意：第五节 相对稳定性分析 相位裕量 剪切频率 ：对应于 时的频率，即奈氏曲线 与单位圆交点处的频率 。 相位裕量 ：在剪切频率 处，使系统达到临界稳定状态时所能接受的附加相位滞后角。 对于开环稳定系统，若 ，则 曲线包围 点，闭环系统不稳定；若 ，则闭环系统稳定。一般 越大，系统的相对稳定性越好。用 Nyquist 图表示相位裕量和增益裕量 增益裕量处，开环幅值 的倒数称为增益裕量 。 在开环频率特性的

25、相角 时的频率 增益裕量表示系统在变到临界稳定时，系统的增益能增大多少。用 Nyquist 图表示相位裕量和增益裕量 对于最小相位系统，其闭环系统稳定的充要条件是： 曲线不包围 点，即曲线与负实轴交点处的模小于1，即 。反之，对于不稳定的系统， 。 称为相位穿越频率用 Bode 图表示相位裕量和增益裕量 剪切频率 ：开环对数幅频特性曲线与 轴的交点。 相位穿越频率 ：相频曲线与 水平线的交点。用 Bode 图表示相位裕量和增益裕量 在伯德图上，增益裕量常用分贝数表示，即表示系统在到达临界稳定前，允许系统增益增大的倍数。 对于稳定系统， ，增益裕量为正，对数幅频特性曲线上对应 的点在 轴的下方；

26、对于不稳定系统，增益裕量和相位裕量均为负。 在工程上，通常要求相位裕量在 ，增益裕量大于6dB。用 Bode 图表示相位裕量和增益裕量 例8 已知一单位反馈系统的开环传递函数为试求： 时系统的相位裕量和增益裕量。 要求通过增益 的调整，使系统的增益裕量 ，相位裕量 。 解 用 Bode 图表示相位裕量和增益裕量用 Bode 图表示相位裕量和增益裕量 由题意得 ， ，在 处 中频段的主要参数：剪切频率 、相位裕量 和中频宽度 。对数幅频特性中频段与系统动态性能的关系反映了系统的稳态特性反映了系统的动态特性反映了系统抗干扰能力对数幅频特性中频段与系统动态性能的关系 中频宽度在斜率为 且靠近 处，

27、标准二阶系统的开环传递函数为 当 时， ， 位于 ，阶跃响应是衰减较慢的振荡过程。对数幅频特性中频段与系统动态性能的关系 当 时， ， 位于 与 的交点处，阶跃响应是衰减较快的振荡过程。 当 时， ， 位于 ，阶跃响应是接近无振荡的非周期过程。 减小 增大对数幅频特性中频段与系统动态性能的关系 结论：为使闭环系统稳定且系统的阶跃响应无超调或超调很小，剪切频率 应位于斜率为 的线段上，同时要有一定的中频宽度。中频段越宽，则阶跃响应越接近非周期过程。第六节 频域性能指标与时域性能指标间的关系 对于标准二阶系统 与 关系如何？开环频率特性中相位裕量与时域性能指标的关系 相位裕量与超调量的关系 相位裕量与调整时间的关系 与 成反比关系 一定， 与 成反比关系；同样， 与 也成反比关系。闭环频率特性及其特征量 闭环幅频特性的零频值 设单位反馈系统的开环传递函数为式中， 不含积分和比例环节，且 。 当 时，闭环幅频特性的零频值为闭环频率特性及其特征量 当 时，闭环幅频特性的零频值为 0型与1型及1型以上系统 的差异，反映了它们跟随阶跃输入时稳态误差的不同，前者存在稳态误差，后者没有稳态误差产生。 闭环对数幅频特性闭环频率特性及其特征量 闭环频率特性的谐振峰值 与谐振频率 截止频率 和频带宽度 当幅频值下降到低于零频率值以下3dB时，所对应的频率 称为截止频率。闭环频率特性及其特征