教学设计参考案例－勾股定理

1、 PAGE PAGE 8 19.1勾股定理（第一课时）教学设计（人教版课程标准试验教科书数学八年级下）哈尔滨市虹桥学校 高静【摘要】通过活动一了解勾股定理，通过活动二由特殊三角形入手发现规律，提出猜想，在活动三的环节由特殊到一般的顺序验证猜想，得出定理，活动四应用定理。【关键词】由特殊到一般 拼图 面积法证明【教材分析】1.在教材中所处的地位本节内容是人教版八年级下第19章中第1节勾股定理的第一课时。它是在学生学习了三角形的有关概念、全等三角形、特殊三角形的性质和定理等知识之后，对直角三角形的进一步认识与补充。它所揭示的直角三角形中三边之间的数量关系，成为解决“几何学”有关“线段长度计算问题”

2、的强有力的工具。它不但是今后学习四边形、学习解直角三角形的基础知识，而且为我们将来学习立体几何、研究数论作了一些有益的准备。勾股定理是一条应用十分广泛的定理。如测量、建筑、航海中都有应用。特别地，勾股定理在其他学科尤其是物理中有着广泛的应用，成为这些学科强有力的工具之一。在古代，中国的大禹曾还利用勾股定理来治理洪水，埃及人利用勾股定理建造了金字塔。可以说它是初等几何中最精彩、最著名的定理。2. 教学目标(1)知识与技能1、在探索基础上掌握勾股定理。2、理解勾股定理的面积证法。3、使学生能应用勾股定理解决简单的实际问题。(2)过程与方法通过对勾股定理的探究,使学生经历数学的探究活动过程，进一步提

3、高学生观察、 猜想、分析、合情推理能力，培养学生主动探究的习惯。(3)情感态度价值观1、通过对勾股定理面积证法的探究，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，敢于尝试的科学精神。2、通过对勾股定理的简单应用，使学生在数学活动中获得成功体验，建立自信心，养成严谨的学习习惯。3、通过对勾股定理历史的介绍，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感。3教学重点与难点重点：探索和证明勾股定理难点：用面积证法证明勾股定理。【学情分析】在心理特征上：八年级学生独立思考和探索的愿望有所提高，并能在探索的过程中形成自己的观点。在解题过程中学生急于追求结果，常常丢写或错写证明的条件，应注意

4、让学生感受几何推理的严谨性，所以在本节课中设置了一些针对性的练习题，保证学生对基础知识和方法的掌握。在知识结构上：学生已经学习了一般三角形和直角三角形的相关概念和性质，并且对于几何推理已经具有了一定的方法和技巧。【教学策略】本节课借鉴美国教育家杜威在“做中学”的理论，注重培养学生自主探究与合作交流。教学内容采用“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的方式展开，让学生经历知识的形成与应用过程。在探索勾股定理的教学中，利用学生的好奇心与求知欲，展开先实践后猜想的探索活动，通过学生解决问题的过程，提高学生的思维能力，有效的激发学生的思维积极性。本节课采用传统教学与多媒体相结合的教学手段，充分利用多媒体

5、图文并茂的优点，使学生获得较为直观的印象，有效地降低难度，增进学生对数学的理解，激发学生学习积极性。【教学过程】活动12002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。这就是本届大会会徽的图案。（1）你见过这个图案吗？（2）你听说过“勾股定理”吗？教师出示照片及图片。学生观察图片发表见解。教师做补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。 其实在中国， HYPERLINK /view/52535.htm t _blank 周髀算经记载了勾股定理证明，相传是在 HYPERLINK /view/270

6、39.htm t _blank 西周由 HYPERLINK /view/781919.htm t _blank 商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的 HYPERLINK /view/77313.htm t _blank 赵爽对 HYPERLINK /view/52535.htm t _blank 周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。 在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣；（2）学生对勾股定理的了解程度。设计意图：从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理提

7、供背景材料。活动2毕达哥拉斯是古代希腊著名的数学家，相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地板反映了直角三角形的某种性质。（1）现在请你也观察一下，你有什么发现？1、等腰直角三角形（师）观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A、正方形B和已计算的正方形C的面积填入下表，它们的面积有什么关系？三角形 的形状正方A面积正方形B面积正方C面积等腰直角三 角 形结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？2、直角边长为整数的一般直角三角形（师）观察图6，直角边长为整数的一般直角三角形，正方形

8、A、正方形B、正方形C面积又有什么关系呢？结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积3、任意直角三角形（师）那么，对于直角边长不是整数的一般直角三角形上面的结论还成立吗？AC生合作：试着将已拼好的正方形B和大正方形C同正方形A拼成如图所示的图形。ABC（师）同学们从活动中都得出正方形A、正方形B、正方形C面积有什么关系？ （生）小组交流，学生代表发言。三角形 的形状正方形A面积正方形B面积正方形C面积任意的直角三角形结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积师点拨：这里的四个全等的四边形是正方形B按如图8所示的方法分割的。师小结：通过以上活动，我们发现以任意直角三角形的

9、两条直角边为边长的正方形面积之和都等于以斜边为边长的正方形面积。（师）下面我们运用几何画板进一步验证上面的结论（改变直角三角形的三边长度，同学们发现结论仍然成立）。4、正方形面积与直角三角形三边关系（师）若我们设两条直角边长分别为a、b，斜边为c，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗？（将正方形的面积和三角形的边长联系起来） （生）正方形A面积为a2，正方形B面积为b2，正方形C面积为c2。（师）你发现直角三角形三边长度之间有什么联系？（生）分组讨论，交流并发言。 结论：由于 正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积，所以 a2 + b2 = c2 即两条直角边的平方和等于斜边

10、的平方。5、认识直角三角形三边关系（师）利用几何画板展示任意直角三角形，我们发现：无论三边长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边平方。 （师）请将上述结论用数学语言表述并符号化。（生）学生讨论，交流并发言。 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （师）在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。所以我国古代把上面的定理称为“勾股定理”。再请学生看一看，读一读：早在三千多年前周朝数学家商高就提出勾

11、三、股四、弦五，并在后来被记载在中国古代著名数学著作周髀算经之中，一千多年后西方的毕达哥拉斯证明了此定理。 （设计意图：在探索定理的过程中， 为了突出本节重点，解决难点，我将按下面两个层次设计探索过程。第一方面由等腰直角三角形到一般直角三角形三边关系的研究，体现从特殊到一般的方法，第二方面引导学生用割、补等方法计算正方形C面积到用拼图的方法探索直角三角形三边关系，展示由简单到复杂的思想，探索出勾股定理。） 活动3下面，我们就来看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的。（1）以直角三角形ABC的两条直角边a、b为边作两个正方形。你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？（2）迄今为止，关于勾股定理

12、的证明方法已有500余种。其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。下面我们一起来了解这一证法。此证明方法的核心思想是“面积之间的等量关系”。右图是历史上著名的“弦图”，你能通过此图，利用面积之间的等量关系来证明勾股定理吗？ （设计意图：本层题目面向学有余力的学生，注重思维开放性的培养。其中勾股定理总统证法和弦图证法，不但拓展了学生的视野，激发了学生的探究热情，而且使学生感受到勾股定理证明的博大精深。）活动4小结：勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思

13、想解决几何问题的最重要的工具之一，也是 HYPERLINK /view/134322.htm t _blank 数形结合的纽带之一。勾股定理是 HYPERLINK /view/52606.htm t _blank 余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。布置作业：收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流。学生谈体会。教师进行补充，总结，为下节课做好铺垫。在此次活动中教师应重点关注：不同层次的学生对知识的理解程度；学生是否能从不同方面谈感受；倾听他人的意见，体会合作学习的必要性。设计意图：通过小结为学生创造交流的空间，调动学生的积极性，既引导了学

14、生从面积的角度理解勾股定理，又从能力、情感、态度等方面关注学生对课堂整体感受，在轻松愉快的气氛中体会收获的喜悦。给学生留有继续学习的空间和兴趣。板书设计：勾股定理：如果在一个直角三角形中直角边分别为a、b,斜边长为c,那么有即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，此为勾股定理。【课后反思】新课程改革要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识。为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。为此我在教学设计中注重了以下几点：一、让学生主动想学 上这节课我布置给学生任

15、务：查有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报刊、书籍）.提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励他们奋发向上同时培养学生的自学能力及归类总结能力。二、在课堂教学中，始终注重学生的自主探究 首先，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。体现了学生是数学学习的主人，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。对于拼图验证，学生还没有接触过，所以在教学中教师给予学生适当指导与鼓励。充分体现了教师是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。三、教会学生思维，培养学生多种能力 课前查资料，培养学生的自学能力及归类总结能力；课上的探究培养学生的动手动脑的能力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力四、注重了数学应用意识的培养