概率论与数理统计课件：第19讲 正态总体的区间估计(二)

1、7.5 正态总体的区间估计(二) 在实际应用中，经常会遇到两个正态总体的区间估计问题。 于是，评价新技术的效果问题，就归结为研究两个正态总体均值之差 1-2 的问题。 例如：考察一项新技术对提高产品的某项质量指标的作用，将实施新技术前的产品质量指标看成正态总体 N(1, 12)，实施新技术后产品质量指标看成正态总体 N(2, 22)。 定理1：设 X1, X2, , Xm是抽自正态总体X 的简单样本，XN(1, 12)，样本均值与样本方差为Y1, Y2, , Yn 是抽自正态总体 Y 的简单样本，Y N(2, 22)，样本均值与样本方差为当两样本相互独立时，有证明:I.由基本定理(见定理6.4

2、.1)，知 故，(1) 式成立；且二者相互独立。且(3)式与(4)式中的随机变量相互独立。由 t 分布的定义，得N(0,1) 2m+n-2换形式 t m+n -2 . 分母互换 利用该定理，我们可以得到 1-2 的置信系数为 1- 的置信区间。例1 (比较棉花品种的优劣)：假设用甲、乙两种棉花纺出的棉纱强度分别为 XN(1, 2.182)和Y N(2, 1.762)。试验者从这两种棉纱中分别抽取样本 X1, X2 , X200 和 Y1, Y2, , Y100，样本均值分别为: 求 1-2 的置信系数为 0.95 的区间估计。 解: 1=2.18, 2=1.76, m=200, n=100,

3、=0.05,由(5)式，得 1- 2 的置信系数为 1- 的置信区间为例2：某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉水。设这两条流水线所装矿泉水的体积 (单位:毫升) XN(1, 2) 和 YN(2, 2)。现从生产线上分别抽取 X1, X2, X12 和 Y1, Y2, , Y17，样本均值与样本方差分别为:求 1- 2 的置信系数为0.95的区间估计。解：m=12, n=17, = 0.05，再由其他已知条件及(7)式，可算出查 t 分布表，得 tm+n-2( /2) = t27(0.025)=2.05.再由(6)式，得 1- 2 的置信系数为 1- 的置信区间 在这两个例子中， 1- 2 的置

4、信区间都包含了零，也就是说： 1可能大于 2，也可能小于 2。这时我们认为二者没有显著差异。 7.6 非正态总体的区间估计 前面两节讨论了正态总体分布参数的区间估计。但是在实际应用中，我们有时不能判断手中的数据是否服从正态分布，或者有足够理由认为它们不服从正态分布。这时，只要样本大小 n 比较大，总体均值 的置信区间仍可用正态总体情形的公式 或2已知时2未知时所不同的是：这时的置信区间是近似的。 这是求一般总体均值的一种简单有效的方法，其理论依据是中心极限定理，它要求样本大小 n 比较大。因此，这个方法称为大样本方法。 设总体均值为 , 方差为2 , X1, X2, , Xn 为来自总体的样本

5、。因为这些样本独立同分布的，根据中心极限定理，对充分大的 n, 下式近似成立因而，近似地有 于是， 的置信系数约为1- 的置信区间为当2未知时，用2的某个估计，如 S2 来代替，得到只要 n 很大，(2)式所提供的置信区间在应用上是令人满意的。 那么，n 究竟多大才算很大呢？ 显然，对于相同的 n , (2)式所给出的置信区间的近似程度随总体分布与正态分布的接近程度而变化，因此，理论上很难给出 n 很大的一个界限。 但许多应用实践表明：当 n30时，近似程度是可以接受的；当 n50时，近似程度是很好的。例1：某公司欲估计自己生产的电池寿命。现从其产品中随机抽取 50 只电池做寿命试验。这些电池

6、寿命的平均值为 2.266 (单位：100小时)，标准差 S=1.935。求该公司生产的电池平均寿命的置信系数为 95% 的置信区间。 解：查正态分布表，得 z /2= z0.025=1.96，由公式 (2)，得电池平均寿命的置信系数为 95% 的置信区间为 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p， 现在做 n 次试验，以Yn记事件 A 发生的次数,则 Yn B(n, p)。依中心极限定理，对充分大的 n，近似地有 7.6.1 二项分布 (3)式是(1)式的特殊情形。 (4)式就是二项分布参数 p 的置信系数约为1- 的置信区间。例2：商品检验部门随机抽查了某公司生产的产品100件，发现其中

7、合格产品为84件，试求该产品合格率的置信系数为0.95的置信区间。解：n=100, Yn=84, =0.05, z/2=1.96, 将这些结果代入到(4)式，得 p 的置信系数为0.95的近似置信区间为 0.77, 0.91。例3：在环境保护问题中, 饮水质量研究占有重要地位， 其中一项工作是检查饮用水中是否存在某种类型的微生物。假设在随机抽取的100份一定容积的水样品中有20份含有这种类型的微生物。试求同样容积的这种水含有这种微生物的概率 p 的置信系数为0.90的置信区间。解：n=100, Yn=20, =0.10, z/2=1.645, 将这些结果代入到(4)式，得 p 的置信系数为0.

8、90的近似置信区间为 0.134, 0.226。7.6.2 泊松分布 设 X1, X2 , Xn 为抽自具有泊松分布P()的总体的样本，因为 E(X)=Var(X) =，应用(2)式，并用7.6.2 泊松分布 例4：公共汽车站在一单位时间内 (如半小时,或1小时, 或一天等) 到达的乘客数服从泊松分布 P(), 对不同的车站, 所不同的仅仅是参数 的取值不同。现对一城市某一公共汽车站进行了100个单位时间的调查。这里单位时间是20 分钟。计算得到每 20 分钟内来到该车站的乘客数平均值为 15.2 人。试求参数 的置信系数为 95%的置信区间。 解: n=100, =0.05, z/2=1.96, 将这些结果代入到 (5)