信号分析与处理：第5章 离散时间信号与系统的时域分析

1、第5章 离散时间信号与系统的时域分析5.1离散时间基本信号5.2离散信号的卷积运算及卷积性质5.3离散LTI系统的时域分析5.4单位样值响应5.5离散系统的零输入响应和零状态响应5.1.1 离散时间信号的描述1. 函数表示法 x(n)可以写成一般闭合形式的表达式，例如 5.1 离散时间基本信号5.1.1 离散时间信号的描述2. 波形表示法 序列 还可以用图形表示如下： 5.1 离散时间基本信号5.1.1 离散时间信号的描述3. 序列表示法 也可逐个列出x(n)的序列值，写成 5.1 离散时间基本信号5.1.1 离散时间信号的描述4. 表格表示 也可用表格表示如下： 5.1 离散时间基本信号 序

2、列 n-3-2-101233-210-12-3右移m点的单位样值序列为 单位样值序列 1.单位样值序列用(n)表示 右移m点的单位样值序列 5.1.2 典型的离散时间信号抽样性：序列x(n)在n=m处的样本可用单位样值序列表示为 组合性：考虑所有样点，序列 x(n) 可表示为 上式说明，任一序列可用不同加权并移位的样值序列表示。例如，序列 也可表示为 2. 单位阶跃序列(n)(n)与(n)的关系:(n) = (n) (n-1) 单位阶跃序列 反因果阶跃序列 反因果阶跃序列单位阶跃序列的基本特性是单边性。 3单位斜变序列 4. 单位矩形序列RN (n)N称为矩形序列的长度。矩形序列常用来表示序号

3、的取值范围，如可以写成： 式中称为正弦序列的数字角频率，单位是弧度。如果正弦序列是由模拟信号采样得到的，那么5. 正弦序列因此，数字角频率与模拟角频率之间的关系为 式中，Ts为采样周期。可以看出，数字角频率与模拟角频率之间为线性关系。 正弦序列是周期序列的条件:需要指出的是，正弦（余弦）序列不一定是周期序列。周期序列的定义为：如果存在一个最小的正整数N，使序列x(n)=x(n+N)，-n，则序列x(n)是周期序列，周期为N。设任意正弦序列为 显然，满足 0N=2k 时，x(n) = x(n+N)，正弦序列为周期序列，N、k为正整数。因此，正弦序列是周期序列的条件是： 为有理数（整数和分数）。

4、1）当2/0为整数时，k=1，正弦序列是以N为周期的周期序列。例 sin(/8) n ，0 =/8，2/0 =16，该正弦序列周期为16。2）当2/0为分数时，设2/0 =N/k，式中N、k是互为素数（意思是不可约分）的正整数，则正弦序列是以N为周期的周期序列。例 sin(3/7) n，0 = 3/7， 由于2/0= 14/3为有理数，故它的周期为N= 14。3）当2/0是无理数（不循环的无限小数），任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。 例 sin(3 n) ，0 = 3， 由于2/3为无理数，故它是非的周期序列。正弦序列是周期序列的条件是： 为有理数（整数和分数）

5、。 6. 指数序列 (1) 实指数序列 ， a为实数 如果|a|1， x(n)的幅度随n的增大而增大，则称为发散序列。(2) 复指数序列1) 时间周期性2) 频率周期性 当指数序列的数字频率为时有是频率的周期函数，角频率周期为5.2 离散信号的卷积运算及卷积性质5.2.1 卷积的定义例 已知激励信号序列，单位脉冲响应，求零状态响应。 解 由卷积和定义， 考虑单位阶跃序列(n)特性，有 5.2.2 卷积的运算1解析法 例 已知求零状态响应解:2. 图解法与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的反转、移位、相乘、求和等四个基本步骤。 3. 竖式法 解：两序列样值以各自n的最低位按左

6、端对齐，如下排列： 4 3 2 1 1 3 2 4 3 2 1 12 9 6 3 + 8 6 4 2 4 15 19 13 7 2 例 已知离散信号和单位脉冲响应有限长度序列的卷积 设序列 的区间为 ，长度为 序列 的区间为 ，长度为 则这两个序列的卷积卷积后序列的起始点在n=A+C处，终点在n=B+D处，其长度 交换律5.2.3 序列卷积性质分配律结合律 移位 例 下图所示FIR系统，已知输入 求响应y（n）。解 1 2 0 3 1 -2 5 1 2 0 3 -2 -4 0 -6 + 5 10 0 15 1 0 1 13 -6 15 延迟单元相加单元倍乘单元5.3 离散LTI系统的时域分析

7、5.3.1 系统的差分方程及框图描述解：y(n)=ay(n-1)+x(n)一阶差分方程y(n)-ay(n-1)=x(n)例 系统方框如图所示，写出其差分方程。 例 已知一个离散LTI系统如图所示，写出系统的差分方程。 解：y(n)-y(n-1)+0.5 y(n-2) =x(n)二阶差分方程 y(n) =x(n) y(n-1) -0.5 y(n-2) N 阶差分方程的标准形式：递推法（迭代法）时域经典法分别求零输入响应和零状态响应：利用齐次解得零输入解，再利用卷积和求零状态解。变换域法（Z变换法）状态变量分析法5.3.2 差分方程的求解常系数差分方程的求解1.递推法当差分方程阶次较低时常用此法,

8、设差分方程固有响应强制响应输入为0，仅有初始状态产生的响应初始状态为0，仅有输入信号产生的响应2. 差分方程的时域经典解法 为了理清思路，将固有响应、强制响应、零输入响应及零状态响应之间的关系用一下式子表述零输入响应yzin固有响应ynn强制响应yfn零状态响应yzsn固有响应时域经典法特 征 方程： 有N个特征根齐次解（固有响应）：非重根时的齐次解i为l次重根时的齐次解共轭根时的齐次解差分方程例： 已知差分方程和系统的初始条件 ，试求齐次解。 解：代入初始条件 所以： 代入初始条件 方程的齐次解为 如果1是特征方程的r重根，即有1=2=r , N-r根，则差分方程的齐次解为 例 已知差分方程

9、 和初始条件 ，试求它的齐次解。 解：特解(强制响应)线性时不变系统输入与输出有相同的形式输入输出 （a与特征根重） 与差分方程等号右端相对应的强制响应 全响应表达式求出后，固有响应中的N个系数Ai由给定的边界条件确定 求线性差分方程的完全解的经典解法一般步骤如下： (1)写出与该方程相对应的特征方程；求出特征根，并写出 其齐次解通式; (2) 根据原方程的激励函数的形式，写出其特解的通式； (3) 将特解通式代入原方程求出待定系数，确定特解形式； (4) 写出原方程的通解的一般形式(即齐次解+特解)； (5) 把初始条件代入，求出齐次解的待定系数值。齐次解 特解形式： 带入原方程： 特解为

10、全解为 将已知的初始条件带入上式，有 例 解差分方程 ，其中 ，。解：（1）激励为 （2）系统零状态（3）用递推法可求出（4） 时，变成求其差分方程的解 LTI零状态 由(n)产生的系统零状态响应定义为单位脉冲响应（也可以称为单位样值响应），记为 。 h(n)=T(n) 由于任意序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和表示，根据线性系统的可加性，只要求得系统的单位脉冲响应，则多个单位脉冲序列作用于线性系统所引起的响应等于各个单位脉冲序列所引起的响应（单位脉冲响应）的线性组合。5.4 单位样值响应 1) 递推法 例5-8 已知某系统的差分方程 ，分别用递推法、经典法求单位脉冲响应h(n)。 解： 2)经典法 差分方程的特征根 则n1时的单位脉冲响应为 根据h(0)=1可确定出C=1，故 时单位样值响应表征系统的稳定性单位样值响应意义：线性时不变离散系统BIBO稳定的充要条件