第10讲平面直角坐标系中图形面积的求解思路(原卷版+解析)-2021-2022学年七年级数学下册常考点(数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升)

平面直角坐标系中图形面积的求解思路（原卷版）第一部分专题典例剖析+针对训练专题1规则图形面积求解思路1．求“规则三角形”的面积典例1（2021春•肥城市期末）△ABC的各顶点坐标为A（﹣5，2），B（1，2），C（3，﹣1），则△ABC的面积为．针对训练11．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），求△ABC的面积．求规则四边形的面积典例2如图所示，在平面直角坐标系中，AD∥BC∥x轴，AD＝BC＝7，且A（0，3），C（5，﹣1）．（1）求B，D两点的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．典例3（2021春•丰台区校级期末）将长方形OABC先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度得新长方形D′A′B′C′，设A′B′与BC交于点M，求四边形A′MCO的面积．针对训练23．长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD∥x轴，AB∥y轴，已知长方形ABCD的长为3，宽为2，且点A的坐标为（﹣1.5，2），求长方形的顶点B、C、D的坐标及矩形AEOM的面积．专题2不规则图形面积求解思路求不规则三角形的面积典例4（2021秋•靖西市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．（1）画出三角形ABC，并求其面积；（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的．（3）已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是（，）．针对训练44．如图，已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC；（2）求△ABC的面积．2．求不规则多边形的面积典例5（2021春•凤山县期末）如图，已知四边形ABCD．（1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）试求四边形ABCD的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）典例6（2020秋•罗湖区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，依次完成下列各问：（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；（2）写出A、B、C、D、E各点的坐标；（3）求五边形ABCDE的面积．针对训练55．已知点A（3，0）、B（0，2）、C（﹣2，0）、D（0，﹣1）在同一坐标系中描出A、B、C、D各点，并求出四边形ABCD的面积．6．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四边形ABCD的面积．7．（2020秋•商河县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点A、B、C的坐标分别为（﹣5，4），（﹣4，0）．（﹣5，﹣3）．（1）请写出点D、E、F、G的坐标；（2）求图中阴影部分（多边形ABCDEFG）的面积．专题3已知面积或已知面积与面积之间的关系求点的坐标的解题思路典例7（2021春•饶平县校级期中）如图，三角形三个顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（1，2）．若O，B两点的位置不变，点M在x轴上，则点M在什么位置时，三角形OMB的面积是三角形OAB面积的2倍？（即求出点M的坐标）典例8（2021春•河北区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，﹣1）．（Ⅰ）点C在第一象限内，AC∥x轴，将线段AB进行适当的平移得到线段DC，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，若三角形ACD的面积为12，求线段AC的长；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接OD，P为y轴上一个动点，若使三角形PAB的面积等于三角形AOD的面积，求此时点P的坐标．针对训练68．在平面直角坐标系中已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且△PAB的面积为5，求点P的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（4，0），C（4，3）三点．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点坐标．专题4与面积相关的新定义问题典例9（2020秋•武侯区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．根据所给定义解决下列问题：（1）若已知点D（1，2），E（﹣2，1），F（0，6），则这3点的“矩面积”＝；（2）若D（1，2），E（﹣2，1），F（0，t）三点的“矩面积”为6，求点F的坐标．针对训练710．（2020春•新乡期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：水平底a为任意两点的横坐标差的最大值，铅垂高h为任意两点的纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．若A（1，2），B（﹣2，1），C（0，t）三点的“矩面积”是18，则t的值为．专题提优训练1．（2019秋•会宁县期末）如图，右边坐标系中四边形的面积是（）A．4 B．5.5 C．4.5 D．52．（2021春•黄埔区校级期中）平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，﹣1），点C在y轴上，如果三角形ABC的面积等于6，则点C的坐标为．3．（2021春•定州市期末）已知A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且△PAB面积是5，则点P的坐标是．4．（2020春•雁塔区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD，在y轴上存在点P，使△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，则点P的坐标为．5．（2020•广州）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为．6．（2021春•崇川区校级月考）在直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），平移线段AB，使B点的对应点刚好与坐标原点O重合，则线段AB在平移过程中扫过的面积．（2020春•临颍县期末）如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为．7．（2021春•樟树市期末）已知三角形ABC的顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），三角形A'B'C'是三角形ABC经过平移得到的，三角形ABC中任意一点P（x，y）平移后的对应点为P'（x+4，y+6）．（1）请写出三角形ABC平移的过程；（2）请写出点A'，B'的坐标；（3）请在图中画出直角坐标系，求三角形A'B'C'的面积．8．（2021春•陵城区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为；（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求三角形ACD的面积；②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．

9．（2021春•阳谷县期末）在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）（1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．10．（2021春•红谷滩区校级期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）如图1，三角形ABC的面积为；（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求三角形ACD的面积；②P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形AOC的面积，请求出点P的坐标．

11．（2021春•勃利县期末）三角形ABC和三角形A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出下列各点的坐标：A，B，C；（2）三角形ABC由三角形A'B'C'经过怎样的平移得到？（3）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A'B'C'内部的对应点P'的坐标是多少？（4）求三角形ABC的面积．12．（2021春•长白县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6．（1）求点A，B的坐标；（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；13．（2021春•柳南区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD（1）求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；（2）在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC＝S四边形ABDC？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．14．已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．15．（2021春•红谷滩区校级期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′、C′的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．16．（2021春•凤山县期末）如图，已知四边形ABCD．（1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）试求四边形ABCD的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）17．（2021春•围场县）四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1），B（5，1），C（6，3），D（2，5）．（1）如图，在平面直角坐标系中画出该四边形；（2）四边形ABCD内（边界点除外）一共有个整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）；（3）求四边形ABCD的面积．18．（2021春•定陶区期末）已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．（2）求△ABC的面积；（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．19．（2021春•阳谷县期末）在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）（1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．20．2021•柳南区校级模拟）如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+c−4（1）求a，b，c的值．（2）求四边形AOBC的面积．（3）是否存在点P（x，−12x），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍？若存在，求出点21．（2021秋•阜阳月考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如：三点的坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．（1）若点A（﹣1，4），B（3，1），C（﹣3，﹣3），则A，B，C三点的“矩面积”S为；（2）若点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，﹣t），则A，B，P三点的“矩面积”S的最小值为．平面直角坐标系中图形面积的求解思路（解析版）第一部分专题典例剖析+针对训练专题1规则图形面积求解思路专题解读：有一边平行坐标轴或有一边在坐标轴上的三角形，不妨称其为“规则三角形”，其面积可以直接利用三角形面积公式．平行四边形，矩形，梯形，正方形，菱形都属于规则四边形，其面积可以直接分别利用规则四边形各自拥有的面积公式．根据坐标得到线段的长度是解题的关键．1．求“规则三角形”的面积典例1（2021春•肥城市期末）△ABC的各顶点坐标为A（﹣5，2），B（1，2），C（3，﹣1），则△ABC的面积为．思路引领：作CD⊥AB交AB的延长线于D，根据坐标与图形性质求出线段AB、CD的长，根据三角形的面积公式计算即可．解：作CD⊥AB交AB的延长线于D，∵A（﹣5，2），B（1，2），C（3，﹣1），∴AB＝6，CD＝3，∴△ABC的面积=12×AB故答案为：9．点睛：本题考查的是坐标与图形性质，正确描出各点的坐标、根据坐标得到线段的长度是解题的关键．针对训练11．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），求△ABC的面积．解：∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），∴AO＝1，BC＝6，∴△ABC的面积=1求规则四边形的面积典例2如图所示，在平面直角坐标系中，AD∥BC∥x轴，AD＝BC＝7，且A（0，3），C（5，﹣1）．（1）求B，D两点的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．思路引领：（1）利用平行线的性质结合已知线段和A，C点坐标分别得出B，D点坐标；

（2）直接利用平行四边形面积求法得出答案．解：（1）∵点C（5，﹣1），即点C到y轴的距离为5，又∵BC＝7，∴点B到y轴的距离为：7﹣5＝2．∵BC∥x轴，∴点B（﹣2，﹣1）．∵AD∥x轴，点A（0，3），AD＝7，∴点D（7，3）．（2）∵AD∥BC∥x轴，AD＝BC＝7，∴四边形ABCD是平行四边形，∵点O到BC的距离为1，点A到x轴的距离为3，∴四边形ABCD的面积＝BC×（1+3）＝7×4＝28．点睛：此题主要考查了坐标与图形的性质，正确掌握平行四边形面积求法是解题关键．典例3（2021春•丰台区校级期末）将长方形OABC先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度得新长方形D′A′B′C′，设A′B′与BC交于点M，求四边形A′MCO的面积．思路引领：首先根据题意画出图形，得出四边形A′MCO为梯形，再根据梯形的面积公式即可求解．解：如图，四边形A′MCO的面积=12（A′M+OC=1＝3．点睛：本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了梯形的面积，准确画出图形是解题的关键．针对训练23．长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD∥x轴，AB∥y轴，已知长方形ABCD的长为3，宽为2，且点A的坐标为（﹣1.5，2），求长方形的顶点B、C、D的坐标及矩形AEOM的面积．解：∵AD∥x轴，AB∥y轴，点A的坐标为（﹣1.5，2），∴AM＝1.5，AE＝2，∵长方形ABCD的长为3，宽为2，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，∴BE＝CF＝1，MD＝CN＝0.5，∴B点坐标为（﹣1.5，﹣1），C点坐标为（0.5，﹣1），D点坐标为（0.5，2）；故矩形AEOM的面积＝1.5×2＝3．专题2不规则图形面积求解思路专题解读：不规则图形的面积问题求解策略，利用补形或分割将不规则图形转化为求规则图形的面积的和或者差的形式，把所要解决的问题转转化为另一个较容易的问题或已经解决过的问题来解决．同时需要将已知点的坐标转化为线段的长度，以满足求面积的需要.求不规则三角形的面积典例4（2021秋•靖西市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．（1）画出三角形ABC，并求其面积；（2）如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的．（3）已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标是（，）．思路引领：（1）根据点的位置作出图形，利用分割法求出三角形的面积即可；（2）结合图象，利用平移变换的性质解决问题；（3）利用平移变换的规律解决问题．解：（1）如图，△ABC即为所求，S△ABC＝4×5−12×2×4−（2）△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′，故答案为：△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到△A′B′C′，（3）P′（a+4，b﹣3），故答案为：a+4，b﹣3．点睛：本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，正确作出图形．针对训练44．如图，已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC；（2）求△ABC的面积．解：（1）描点，画出△ABC，如图所示．（2）S△ABC＝3×4−12×2×4−2．求不规则多边形的面积典例5（2021春•凤山县期末）如图，已知四边形ABCD．（1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）试求四边形ABCD的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）思路引领：（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；（2）首先把四边形ABCD分割成规则图形，再求其面积和即可．解：（1）A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（1，2）；（2）S四边形ABCD＝3×3+2×12×点睛：此题主要考查了点的坐标，以及求不规则图形的面积，关键是把不规则的图形正确的分割成规则图形．典例6（2020秋•罗湖区校级期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，依次完成下列各问：（1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系；（2）写出A、B、C、D、E各点的坐标；（3）求五边形ABCDE的面积．思路引领：（1）根据坐标系的概念建立坐标系即可；（2）由坐标系可得点的坐标；（3）割补法求解即可．解：（1）如图所示：（2）A（0，2）、B（1，0）、C（3，0）、D（4，2）、E（3，3）；（3）S五边形ABCDE＝3×4−12×1×2−12＝12﹣1﹣1﹣1.5﹣0.5＝8点睛：本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是建立坐标系后明确点所在的象限及坐标，求不规则多边形的面积，一般用“割补法”．针对训练55．已知点A（3，0）、B（0，2）、C（﹣2，0）、D（0，﹣1）在同一坐标系中描出A、B、C、D各点，并求出四边形ABCD的面积．解：如图所示：SABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=12（3×2+2×2+2×1+1×3）=152．所以，四边形6．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，4），D（2，8），求四边形ABCD的面积．解：过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：S＝S△OED+SEFCD+S△CFB=12×AE×DE+12×（CF+DE）×=12×2×8+故四边形ABCD的面积为42平方单位．7．（2020秋•商河县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，图中的网格是由边长相等的小正方形组成，点A、B、C的坐标分别为（﹣5，4），（﹣4，0）．（﹣5，﹣3）．（1）请写出点D、E、F、G的坐标；（2）求图中阴影部分（多边形ABCDEFG）的面积．解：（1）点D、E、F、G的坐标分别为：（0，﹣2）、（5，﹣3）、（3，4）、（﹣1，2）；（2）阴影部分（多边形ABCDEFG）的面积为：[5﹣（﹣5）]×[4﹣（﹣3）]﹣[4﹣（﹣3）]×1÷2﹣[3﹣（﹣5）]×2÷2﹣2×[4﹣（﹣3）]÷2﹣[5﹣（﹣5）]×1÷2＝10×7﹣3.5﹣8﹣7﹣5＝70﹣23.5＝46.5．∴阴影部分（多边形ABCDEFG）的面积为46.5．点睛：本题考查了坐标与图形的性质，明确三角形和四边形的面积计算并数形结合是解题的关键．专题3已知面积或已知面积与面积之间的关系求点的坐标的解题思路专题解读：已知面积或已知面积与面积之间的关系求点的坐标，一般是设出要求点的坐标，利用坐标表示出线段的长度，再根据上面求面积的方法列出方程。需要注意的是，这类问题通常有两解，需要分类讨论，或者列绝对值方程求解。典例7（2021春•饶平县校级期中）如图，三角形三个顶点坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（1，2）．若O，B两点的位置不变，点M在x轴上，则点M在什么位置时，三角形OMB的面积是三角形OAB面积的2倍？（即求出点M的坐标）思路引领：设M点的坐标为（a，0），分两种情况：M点在y轴左侧和右侧进行讨论．解：S△ABO=1设M点坐标为（a，0），分两种情况：①M点在y轴右侧时，S△OBM=12∴a＝4，即当M在（4，0）时，S△OBM＝2S△ABO；②M点在y轴左侧时，S△OBM=12×∴a＝﹣4，即当M在（﹣4，0）时，S△OBM＝2S△ABO．综上所述，M在（4，0）或（﹣4，0）．点睛：本题考查了三角形的面积及坐标与图形性质的知识，注意M点可以在y轴左侧和右侧，不要漏解．典例8（2021春•河北区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，﹣1）．（Ⅰ）点C在第一象限内，AC∥x轴，将线段AB进行适当的平移得到线段DC，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，若三角形ACD的面积为12，求线段AC的长；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接OD，P为y轴上一个动点，若使三角形PAB的面积等于三角形AOD的面积，求此时点P的坐标．思路引领：（Ⅰ）如图1中，连接BC．证明四边形ABCD是平行四边形，可得结论．（Ⅱ）如图2中，连接OD．设P（0，m）．由（Ⅰ）可知C（6，3），D（4，7），构建方程可得结论．解：（Ⅰ）如图1中，连接BC．∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴S△ACD＝S△ACB＝12，∴12•AC∴AC＝6．（Ⅱ）如图2中，连接OD．设P（0，m）．由（Ⅰ）可知C（6，3），D（4，7），由题意12•|m﹣3|•2=解得m＝9或﹣3，∴P（0，9）或（0，﹣3）．点睛：本题考查坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．针对训练6在平面直角坐标系中已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且△PAB的面积为5，求点P的坐标．解：∵S△PAB=12解得AP＝5，若点P在点A的左边，则OP＝5﹣1＝4，此时，点P的坐标为（﹣4，0），若点P在点A的右边，则OP＝1+5＝6，此时，点P的坐标为（6，0），综上：点P的坐标为（﹣4，0）或（6，0）．9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（4，0），C（4，3）三点．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点坐标．解：（1）∵B（4，0），C（4，3），∴BC＝3，∴S△ABC=1（2）∵A（0，2）（4，0），∴OA＝2，OB＝4，∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP=12×4×2+12又∵S四边形ABOP＝2S△ABC＝12，∴4﹣m＝12，解得：m＝﹣8，∴P（﹣8，1）．专题4与面积相关的新定义问题专题解读：理解新定义中“水平底”、“铅锤高”的含义，为后续学习函数中三角形面积的求法提供思路，提高学生分析能力理解能力。解题的关键是明确题目中的新定义，能利用新定义解答问题．典例9（2020秋•武侯区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．根据所给定义解决下列问题：（1）若已知点D（1，2），E（﹣2，1），F（0，6），则这3点的“矩面积”＝15；（2）若D（1，2），E（﹣2，1），F（0，t）三点的“矩面积”为6，求点F的坐标．思路引领：（1）根据题目中的新定义可以求得相应的a，b和“矩面积”；（2）首先由题意得：a＝3，然后分别从①当t为最大值时，h＝t﹣1，当t为最小值时，h＝2﹣t，列等式求解即可求得答案．解：（1）∵D（1，2），E（﹣2，1），F（0，6），∴a＝1﹣（﹣2）＝3，h＝6﹣1＝5，∴S＝ah＝3×5＝15，故答案为：15；（2）对于D（1，2），E（﹣2，1），F（0，t），其“水平底”a＝3，∵“矩面积”S＝6＝ah，∴h＝2，若t为最大值，则h＝t﹣1＝2，t＝3，若t最小值，则h＝2﹣t＝2，t＝0，若1＜t＜2，则h＝2﹣1≠2，综上所述，F点的坐标为（0，3）或（0，0）．点睛：本题是新定义：“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”的学习，考查坐标与图形的性质及学生的理解分析能力的培养，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．针对训练710．（2020春•新乡期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：水平底a为任意两点的横坐标差的最大值，铅垂高h为任意两点的纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．若A（1，2），B（﹣2，1），C（0，t）三点的“矩面积”是18，则t的值为．思路引领：根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，即可求得t的值．解：由题意可得，“水平底”a＝1﹣（﹣2）＝3，当t＞2时，h＝t﹣1，则3（t﹣1）＝18，解得，t＝7，故点C的坐标为（0，7）；当1≤t≤2时，h＝2﹣1＝1≠6，故此种情况不符合题意；当t＜1时，h＝2﹣t，则3（2﹣t）＝18，解得t＝﹣4，故答案为：﹣4或7．专题提优训练1．（2019秋•会宁县期末）如图，右边坐标系中四边形的面积是（）A．4 B．5.5 C．4.5 D．5解：如图，作AE⊥BC，垂足为E，则：S四边形ABCD＝S△OCD+S梯形ODAE+S△ABE，=12×1×1+故选：C．2．（2021春•黄埔区校级期中）平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，﹣1），点C在y轴上，如果三角形ABC的面积等于6，则点C的坐标为．解：设点C坐标为（0，y），∵点B的坐标为（0，﹣1），点A的坐标为（2，0），则BC＝|y+1|，OA＝2，∵S△ABC=12BC•∴12|y则|y+1|＝6，即y+1＝6或y+1＝﹣6，解得：y＝5或y＝﹣7，∴点C的坐标为（0，5）或（0，﹣7），故答案为：（0，5）或（0，﹣7）．3．（2021春•定州市期末）已知A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且△PAB面积是5，则点P的坐标是．解：∵A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，∴AP边上的高为2，又∵△PAB的面积为5，∴AP＝5，而点P可能在点A（1，0）的左边或者右边，∴P（﹣4，0）或（6，0）．故答案为（﹣4，0）或（6，0）．4．（2020春•雁塔区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD，在y轴上存在点P，使△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，则点P的坐标为．解：由平移可得，C（0，2），D（4，2），∴CD＝AB＝4，CD∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD面积＝4×2＝8，又∵△PCD的面积为四边形ABCD面积的一半，∴△PCD的面积为4，即12×CD×∴CP＝2，∴当点P在CD下方时，P（0，0）；当点P在CD上方时，P（0，4），故答案为：（0，0）或（0，4）．5．（2020•广州）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为．解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），∴3AC＝9，∴AC＝3，∴C（4，3），故答案为（4，3）．6．（2021春•崇川区校级月考）在直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），平移线段AB，使B点的对应点刚好与坐标原点O重合，则线段AB在平移过程中扫过的面积．解：平移后的图形如图所示：线段AB扫过的面积＝4×5−12×2×3﹣1×2−12＝20﹣3﹣2−32＝7．故答案为：7．（2020春•临颍县期末）如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为．解：如图，设P点坐标为（x，0），根据题意得12•4•|6﹣x解得x＝3或9，所以P点坐标为（3，0）或（9，0）．故答案为：（3，0）或（9，0）．7．（2021春•樟树市期末）已知三角形ABC的顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），三角形A'B'C'是三角形ABC经过平移得到的，三角形ABC中任意一点P（x，y）平移后的对应点为P'（x+4，y+6）．（1）请写出三角形ABC平移的过程；（2）请写出点A'，B'的坐标；（3）请在图中画出直角坐标系，求三角形A'B'C'的面积．解：（1）∵三角形ABC中任意一点P（x，y）平移后的对应点为P'（x+4，y+6），∴平移后对应点的横坐标加4，纵坐标加6，∴三角形ABC先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到△A′B′C′；（2）A′（0，5），B′（﹣1，2）；（3）如图，三角形A′B′C′的面积：3×4−12×1×3−8．（2021春•陵城区期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为；（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求三角形ACD的面积；②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．解：（Ⅰ）∵A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，∴S△ABC=12•BC•AO故答案为6．（Ⅱ）①如图②中由题意D（5，4），连接OD．S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC=12×2×5+②由题意：12×2×|m|解得m＝±4，∴P（﹣4，3）或（4，3）．9．（2021春•阳谷县期末）在边长1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）（1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．解：（1）由图可知点A（4，1）、B（0，0）、C（﹣2，3）、D（2，4）；（2）四边形ABCD的面积＝4×6−12×2×3−1210．（2021春•红谷滩区校级期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）如图1，三角形ABC的面积为；（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求三角形ACD的面积；②P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形AOC的面积，请求出点P的坐标．解：（1）∵点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，∴S△ABC=1故答案为：6．（2）①连接OD．由题意D（5，4），S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC=12×2×5+②由题意，12×2×|m|解得m＝±4，∴点P的坐标为（﹣4，3）或（4，3）．11．（2021春•勃利县期末）三角形ABC和三角形A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出下列各点的坐标：A，B，C；（2）三角形ABC由三角形A'B'C'经过怎样的平移得到？（3）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A'B'C'内部的对应点P'的坐标是多少？（4）求三角形ABC的面积．解：（1）A（1，3），B（2，0），C（3，1）．故答案为：（1，3），（2，0），（3，1）．（2）三角形ABC由三角形A'B'C'先向右平移4个单位，再向上平移2单位．（3）P′（x﹣4，y﹣2）．（4）三角形ABC的面积＝2×3−12×1×3−12．（2021春•长白县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6．（1）求点A，B的坐标；（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1，∴A（﹣3，0），B（0，4）．（2）∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵S△ABC=12•BC•∴BC＝8，∵点C在y轴的负半轴上，∴OC＝4，C（0，﹣4）．13．（2021春•柳南区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD（1）求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；（2）在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC＝S四边形ABDC？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意知点C坐标为（﹣1+1，0+2），即（0，2），点D的坐标为（3+1，0+2），即（4，2），如图所示，S四边形ABDC＝2×4＝8；（2）当P在x轴上时，∵S△PAC＝S四边形ABDC，∴12∵OC＝2，∴AP＝8，∴点P的坐标为（7，0）或（﹣9，0）；当P在y轴上时，∵S△PAC＝S四边形ABDC，∴12∵OA＝1，∴CP＝16，∴点P的坐标为（0，18）或（0，﹣14）；综上，点P的坐标为（7，0）或（﹣9，0）或（0，18）或（0，﹣14）．14．已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．解：（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD＝3×4−12×2×4−＝12﹣4﹣1﹣3＝4．（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．∵△ABP与△ABC的面积相等，∴12×1×|解得：x＝10或x＝﹣6．所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．15．（2021春•红谷滩区校级期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′、C′的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．解：（1）如图所示：A′（0，4）、B′（﹣1，1）、C′（3，1）；（2）S△ABC=1（3）设点P坐标为（0，y），∵BC＝4，点P到BC的距离为|y+2|，由题意得12×4×|解得y＝1或y＝﹣5，所以点P的坐标为（0，1）或（0，﹣5）．16．（2021春•凤山县期末）如图，已知四边形ABCD．（1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）试求四边形ABCD的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）解：（1）A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2），D（1，2）；（2）S四边形ABCD＝3×3+2×12×17．（2021春•围场县）四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1），B（5，1），C（6，3），D（2，5）．（1）如图，在平面直角坐标系中画出该四边形；（2）四边形ABCD内（边界点除外）一共有个整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）；（3）求四边形ABCD的面积．解：（1）如图所示，四边形ABCD即为所求；（2）由图可知，四边形ABCD内（边界点除外）的整点有11个，故答案为：11；（3）四边形ABCD的面积为4×6−12×2×4−18．（2021春•定陶区期末）已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（