2024年北师大版中考数学模拟考试试卷（含答案）

2024年中考数学模拟考试试卷-含答案（北师大版）

（满分：150分；考试时间：120分钟）

学校:班级：姓名：考号：

一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）

2.2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭，在我国文昌航天发

射场点火发射，发射取得圆满成功，将与在轨运行的空间站组合体进行交会对接.空间站距

离地球约为400000米，400000用科学记数法可表示为（）

A.400X103B.40X104C.4xl0sD.4xl0e

3.若a与5互为相反数，则a+1的值为（）

A.6B.4C.-4D.-6

4.实数a,b互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）

__III_____>

a___________1______b

A.|a|<|6|B.a-b=0C.a<-1D.ab>0

5.简笔画通常利用对称构图，体现对称美.下面四个图案既是轴对称图形又是中心对称图形

的是（）

6.下列计算正确的是（）

A.（a-b）（-a-b）=a2-b2B.2al33al35a6C.6x3y2+3x=2x2yzD.（-2x2）Q-6x6

7.有数字4,5,6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍

数的概率为（）

A.SBJC.2D.1

6432

8.下列计算正确的是（）

A.2m+n=2mnB.-a2•（-a）4=-ae°C.（-2xE）］|3-6x9D.（4x-3）2=16x2-12x+9

9.把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，则

这个比值为黄金分割比，比值为匹二，是公认的最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙

2

娜丽莎.如图2,点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE>BE,以AE为边作正

方形AEHF,延长EH交CD于点I,连接BF交EI于点G,连接BI,则S△口BL0I5△,rti皿n为（）

图1图2

B.返JC.逅二D.匹」

322

第1页共16页

10.若一个点的坐标满足（k,2k）,我们将这样的点定义为"倍值点".若关于x的二次函数

y=（t+l）xz+（t+2）x+s（s,t为常数，tW-1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（）

A.s<-1B.s<0C.0<s<lD.-l<s<0

二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.直接填写答案.

11.因式分解：2a2-12a+18=.

12.在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球,它们除颜色外完全相同.多次摸球试

验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球大约有个.

13.二次函数y=kx2-4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是.

14.如图，直线AB交反比例函数y4于A,B两点，交x轴于点C,且B恰为线段AC的中点，

连接。A・若S"言则k的值为.

15.一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管

排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完.在整个过程中，容器中的水量y

（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为.

16.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，BF±AE,垂足为F,将正方形沿AE、

BF切割分成三块，再将4ABF和4ADE分别平移，拼成矩形BGHF.若BG=kBF,则%（用

CD-------------

含k的式子表示）.

三.解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第2页共16页

17.（6分）计算（-1）2+（JI-3.14）o+4cos45°-|1一金|

(2(x+2)-x<5①

18.(6分)解不等式组,Hi、小，并写出不等式组的非负整数解.

>X—1(2)

3

19(6分)如图,在矩形ABCD中,BE±AC,DF±AC,垂足分别为E,F.求证：AF=CE.

20.(8分)根据背景素材，探索解决问题.

如图所示，在坡顶A处的同一水平面上有一座信号塔BC,某数学兴趣小组的同学们想测量此

信号塔的高度，经过小组讨论采取如下办法：同学们先在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰

角为45。，然后他们沿着坡度为i=l:2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A,在坡顶A处又测

得该塔的塔顶B的仰角为76。.请计算：

(1)计算坡顶A到地面PQ的距离.

(2)计算出信号塔BC的高度.(结果精确到1米,参考数据:sin76=0.97,cos76°—0.24,

tan76°七4.01)

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21.（8分）某学校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分

学生进行调查，要求被调查的学生从A,B,C,D,E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的

一个.根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图.

⑴请把图1补充完整；

（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；

⑶若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数.

22.（8分）如图，AB是。O的直径，C是。。上一点，连接AC,BC,过点C作。。的切线交AB

延长线于点D,OFLBC于点E,交CD于点F.

⑴求证：ZBCD=ZBOE;

(2)若sinNBACq,AB=10,求BD的长.

23.（10分）伴随"一盔一带"安全守护行动，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某

商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20个，乙种头盔30个，共花费2920元，甲

种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元

⑴甲、乙两种头盔的单价各为多少元？

（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40个，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式为甲

种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每个降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低

于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少个甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小

费用为多少元？

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24.（10分）如图，一次函数y=kx-3的图象与y轴交于点B,与反比例函数y=%（x>0）的图象交

X

于点A（8,1）.

⑴求出一次函数与反比例函数的表达式；

（2）如图1,点C是线段AB上一点（不与点A,B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例

函数的图象交于点D,连接OC、OD、AD,当CD等于6时，求点C的坐标和^ACD的面积；

⑶在（2）的前提下，将^OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'C'D',若点O的

对应点0,恰好落在该反比例函数的图象上（如图2）,求出点O',D'的坐标.

25.（12分）如图1,抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且0A=2,0B=4,0C=8,

抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与x轴交于点N.

⑴求抛物线的函数表达式；

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P,C,M为顶点的三角形与△MNB相似？若

存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

⑶如图2,D是0C的中点，一个动点G从点D出发，先到达x轴上的点E,再走到抛物线对

称轴上的点F,最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E,F的位置，写出

坐标，并求出最短路程.

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26.(12分)如图1,在正方形ABCD中，点E在线段BC上，连接AE,将^ABE沿着AE折叠得

到AAFE,延长EF交CD于点G.

⑴求证：DG=FG;

(2)如图2,当点E是BC的中点时,求tanNCGE的值;

⑶如图3,当生当时，连接CF并延长交AB于点H,求竺的值.

DG3CH

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答案

一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.

1.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（B）

2.2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭，在我国文昌航天发

射场点火发射，发射取得圆满成功，将与在轨运行的空间站组合体进行交会对接.空间站距

离地球约为400000米，400000用科学记数法可表示为（C）

A.400X103B.40X104C.4xl0sD.4xl0e

3.若a与5互为相反数，则a+1的值为（C）

A.6B.4C.-4D.-6

4.实数a,b互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（C）

a1b

A.|a|<|6|B.a-b=0C.a<-1D.ab>0

5.简笔画通常利用对称构图，体现对称美.下面四个图案既是轴对称图形又是中心对称图形

的是（C）

6.下列计算正确的是（C）

A.（a-b）（-a-b）=a2-b2B.2al33a口5a6C.6x3y2+3x=2xzy2D.（-2x2）Q-6x6

7.有数字4,5,6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍

数的概率为（C）

A.-B.-C.-D.1

6432

8.下列计算正确的是（B）

A.2m+n=2mnB.-a2•（-a）4=-ae°C.（-2xQQ-6x9D.（4x-3）2=16x2-12x+9

9.把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，则

这个比值为黄金分割比，比值为匹二，是公认的最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙

2

娜丽莎.如图2,点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE>BE,以AE为边作正

方形AEHF,延长EH交CD于点I,连接BF交EI于点G,连接BI,则SqS色为（D）

△DCI

图1图2

A.1：1B.匹」C.匹二D.叵二

322

10.若一个点的坐标满足（k,2k）,我们将这样的点定义为"倍值点".若关于x的二次函数

y=（t+l）xz+（t+2）x+s（s,t为常数,tW-1）总有两个不同的倍值点,则s的取值范围是（D）

A.s<-1B.s<0C.0<s<lD.-l<s<0

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二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.直接填写答案.

11.因式分解：2a2-12a+18=2（a—3）2.

12.在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球,它们除颜色外完全相同.多次摸球试

验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球大约有12个.

13.二次函数y=kx2-4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是kW2且kWO.

14.如图，直线AB交反比例函数y=*于A,B两点，交x轴于点C,且B恰为线段AC的中点，

连接OA.若S"杉，则k的值为Z.

15.一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管

排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完.在整个过程中，容器中的水量y

（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为空.

------------

“W升

30…N

叶\卜

〃3X«

16.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，BF±AE,垂足为F,将正方形沿AE、

BF切割分成三块，再将4ABF和4ADE分别平移，拼成矩形BGHF.若BG=kBF,则%

CD------弋--

（用含k的式子表示）.

三.解答题：本题共10小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（6分）计算（-1）2+（JT-3.14）o+4cos45°-|1-（2|

=4+1+4X

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=6+V2

（2（x+2）-x<5①

18.（6分）解不等式组.小,并写出不等式组的非负整数解.

丝三>x—1@>

3

解：解不等式①，得X41.

解不等式②，得x>-4.

...原不等式组的解集为-4<x4L

非负整数解为0,1.

19（6分）如图，在矩形ABCD中，BE±AC,DF±AC,垂足分别为E,F.求证：AF=CE.

证明：四边形ABCD是矩形

/.AB=CD,AB〃CD

/.ZBAE=ZDCF

XVBEXAC,DF±AC

/.ZAEB=ZCFD=90°

在AABE与ACDF中

ZAEB=ZCFD

ZBAE=ZDCF

AB=CD

二.△ABE之△CDF(AAS)

/.AE=CF

/.AE+EF=CF+EF,即AF=CE

20.（8分）根据背景素材，探索解决问题.

如图所示，在坡顶A处的同一水平面上有一座信号塔BC,某数学兴趣小组的同学们想测量此

信号塔的高度，经过小组讨论采取如下办法：同学们先在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰

角为45。，然后他们沿着坡度为i=l:2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A,在坡顶A处又测

得该塔的塔顶B的仰角为76。.请计算：

（1）计算坡顶A到地面PQ的距离.

（2）计算出信号塔BC的高度.（结果精确到1米，参考数据：sin76^0.97,cos76°-0.24,

tan76°心4.01）

第9页共16页

解：（1）如图，过点A作AHLPQ于点H

二.斜坡AP的坡度为1:2.4

•4H=5

PH12

设AH=5k,则PH=12k.

/.AP=13k

/.13k=26,解得k=2

/.AH=10

坡顶A到地面PQ的距离为10米

（2）如图，延长BC交PQ于点D

VBC±AC,AC〃PQ

/.BD±PQ

,ZACD=ZCDH=ZAHD=90°

..四边形AHDC是矩形，CD=AH=10,AC=DH

VZBPD=45°

二.△BPD是等腰直角三角形

/.PD=BD

设BC=x,则x+10=24+DH

AC=DH=x-14

在Rt^ABC中，tan76°=些，即=—-4.01,解得x心19

ACx-14

，信号塔BC的高度约19米.

21.（8分）某学校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分

学生进行调查，要求被调查的学生从A,B,C,D,E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的

一个.根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图.

⑴请把图1补充完整；

第10页共16页

(2)请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；

⑶若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数.

解：(1)本次调查的学生人数为20・20%=100,最喜欢去A地的人数为100-20-40-25-5=10

补全条形统计图如下.

(2)研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为360°X丝=144。

100

(3)1200X21=300(名)

100

答：估计最喜欢去D地研学的学生人数为300

22.(8分)如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，连接AC,BC,过点C作。。的切线交AB

延长线于点D,OFLBC于点E,交CD于点F.

⑴求证：ZBCD=ZBOE;

(2)若sinNBAC=|,AB=10,求BD的长.

(1)证明：如图，连接OC

第11页共16页

VCD是。O的切线

/.ZOCD=90°

/.ZOCB+ZBCD=90°

\OF±BC

/.ZBEO=90°

/.ZBOE+ZOBE=90°

,/OC=OB

/.ZOCB=ZOBC

/.ZBCD=ZBOE

(2)解:如图,过点B作BH，CD于点H

VAB是。O的直径

/.ZACB=90°

VsinZBAC=—=-,AB=10

AB5

/.BC=6

\OF±BB

AC/7OF

/.ZBOE=ZBAC

VZBCD=ZBOE

/.ZBAC=ZBCD

/.sinZBAC=sinZBCD=^

5

/.BH二史

5

VOC±CDBH±CD

/.BH/7OC

/.△BDH^AODC

•詈BD

5BD5

解得BD=2£

7

故BD的长为史

7

23.（10分）伴随"一盔一带"安全守护行动，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某

商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20个，乙种头盔30个，共花费2920元，甲

种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元

⑴甲、乙两种头盔的单价各为多少元？

⑵商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40个，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式为甲

种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每个降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低

于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少个甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小

费用为多少元？

解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元

第12页共16页

20x+3Oy=2920

根据题意，得

x-y—11

x=65

解得

y=54

答：甲种头盔单价为65元，乙种头盔单价为54元.

(2)设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元

根据题意,得m舌(4。向

解得mN竺

3

w=65X0.8m+(54-6)(40-m)=4m+1920.

4>0

.*.w随着m增大而增大

当m=14时，w取得最小值

最小值为14X4+1920=1976.

购买14个甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元.

24.(10分)如图，一次函数y=kx-3的图象与y轴交于点B,与反比例函数y=%(x>0)的图象交

X

于点A(8,1).

⑴求出一次函数与反比例函数的表达式；

⑵如图1,点C是线段AB上一点(不与点A,B重合)，过点C作y轴的平行线与该反比例

函数的图象交于点D,连接OC、OD、AD,当CD等于6时，求点C的坐标和^ACD的面积；

⑶在(2)的前提下，将^OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'C'D',若点。的

对应点O,恰好落在该反比例函数的图象上(如图2),求出点O',D'的坐标.

解：(1)点A(8,1)在一次函数y=kx-3的图象上

l=8k-3,解得k=l

2

，一次函数的表达式为y=ix-3

2

..•点A(8,1)在反比例函数丫=友图象上

X

解得m=8.

第13页共16页

...反比例函数的表达式为y=?

X

(2)设C(a,la-3)(0<a<8),则D(a,力

2a

：.CD=®-(la-3)=8-la+3

a2a2

,：CD=6

ia+3=6.解得a=-8(舍去)或a=2

a2

：.C(2,-2).

如图1,过点A作AELCD于点E

'AACD=6X6X1=18

(3)D'(6,6)

25.(12分)如图1,抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且0A=2,0B=4,0C=8,

抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与x轴交于点N.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P,C,M为顶点的三角形与△MNB相似？若

存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

⑶如图2,D是0C的中点，一个动点G从点D出发，先到达x轴上的点E,再走到抛物线对

称轴上的点F,最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E,F的位置，写出

坐标，并求出最短路程.

第14页共16页

解：⑴:0A=2,0B=4,0C=8

/.A(-2,0),B(4,