3.3幂函数课件高一上学期数学人教A版

第三章函数的概念与性质3.3幂函数1.通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,理解它们的变化规律.3.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题.课程标准基础落实·必备知识一遍过知识点1

幂函数的定义一般地,函数

叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.

α可取任意实数,但现在只研究α为有理数的情形名师点睛幂函数的特征(1)xα的系数为1;(2)xα的底数是自变量x,指数α为常数;(3)项数只有一项.符合以上三个特征的函数才是幂函数.y=xα思考辨析函数f(x)=x0是幂函数吗?它的奇偶性是怎样的?提示

函数f(x)=x0是幂函数,定义域为{x|x≠0},f(-x)=f(x)=1,是偶函数.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=-x2都是幂函数.(

)(2)所有二次函数都是幂函数.(

)2.下列所给的函数中是幂函数的为(

)A.y=2x5 B.y=x3+1C.y=x-3

D.y=3x×C×知识点2

幂函数的性质与图象1.在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象如下图所示.2.幂函数的性质

幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR

(-∞,0)∪(0,+∞)值域R

R

(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性

奇函数既不是奇函数,也不是偶函数

单调性在R上单调递增在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递减在R上单调递增在[0,+∞)上单调递增在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递减公共点(1,1)[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)奇函数

偶函数

奇函数

思考辨析1.通过对知识点2中5个幂函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象?2.设函数f(x)=x2,g(x)=x3,若0<a<1,f(a)与g(a)的大小关系是怎样的?体现在函数图象上具有怎样的特征?提示

第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象.提示

当0<a<1时,f(a)-g(a)=a2(1-a)>0,即f(a)>g(a),体现在图象上,即在区间(0,1)上f(x)=x2的图象在g(x)=x3图象的上方.自主诊断1.如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为(

)B解析

根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y=xn递增速度越快,2.3.17-1与3.71-1的大小关系为

.

3.17-1>3.71-1重难探究·能力素养速提升探究点一幂函数的概念【例1】

(1)[2024陕西咸阳高一月考]现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x,其中幂函数的个数为(

)A.4 B.3

C.2

D.1C解析

由于幂函数的一般表达式为y=xα(α≠0).逐一对比可知幂函数有①y=x3;⑤y=x共两个.故选C.(2)函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的值.解

根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.规律方法幂函数的判断方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必是这种形式.C(2)如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值.解

由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,

其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.探究点二幂函数的图象【例2】

下列关于函数y=xα与y=αx的图象正确的是(

)C解析

函数y=xα是幂函数,而y=αx是一次函数.选项A,直线对应函数为y=x,曲线对应函数为y=x-1;选项B,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=

;选项C,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2;选项D,直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,故C正确.规律方法函数y=xα(α为常数)的图象特点(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=,y=x3)来判断.(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都上升;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都下降.变式训练2如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n分别取±1,,2四个值,相应的曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为(

)B解析

函数y=x-1在第一象限内单调递减,对应的图象为C4;y=x对应的图象为一条过原点的直线,对应的图象为C2;y=x2对应的图象为抛物线,对应的图象应为C1;探究点三利用幂函数的单调性比较大小【例3】

比较下列各组中两个数的大小:规律方法1.比较幂大小的三种常用方法

2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.变式训练3比较下列各组数的大小:(2)(-3)3与(-π)3.解

∵y=x3在定义域R上为增函数,又-3>-π,∴(-3)3>(-π)3.探究点四幂函数性质的综合应用【例4】

已知幂函数f(x)=(-2<m<2,m∈Z)满足:①f(x)在(0,+∞)上单调递增;②对∀x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式,并求出x∈[1,4]时,f(x)的值域.解

因为f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以-m2-2m+3>0,解得-3<m<1,又-2<m<2,m∈Z,所以m=-1或m=0.又因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以-m2-2m+3为偶数.当m=-1时,-m2-2m+3=4满足题意;当m=0时,-m2-2m+3=3不满足题意,所以f(x)=x4,又因为f(x)=x4在区间[1,4]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(4)=256,故x∈[1,4]时,f(x)的值域是[1,256].规律方法幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α的关系:当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减.变式训练4已知幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4).(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数h(x)=2f(x)-kx-1在区间[-1,1]上是单调函数,求实数k的取值范围.解

(1)因为幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4),代入解析式有4=2a,解得a=2.所以函数f(x)=x2.学以致用·随堂检测促达标12341.已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),则k+α等于(

)D解析

∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故选D.5123452.[2024湖南衡阳高二开学检测]幂函数y=x-2的大致图象是(

)C12345所以y=f(x)=x-2为偶函数,函数图象关于y轴对称,又当x∈(0,+∞)时,y=f(x)=x-2单调递减,则y=f(x)=x-2在区间(-∞,0)上单调递增,故符合题意的只有C,故选C.12345123454.函数y=xα-2(α为常数)的图象过定点

.

(1,-1)

解析

当x=1时,y=1α-2=-1,所以图象所过定点为(1,-1).

512345.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数.