《自动控制原理》卢京潮主编西北工业大学(清华大学)第四章习题及答案

1、 +本资料由CORE_0整理上传+第4章习题及解答4-1系统的开环传递函数为G(s)H(5)=(5+1)(5+2)(5+4)试证明点=-在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K*和开环增益KO解若点S在根轨迹上，则点$1应满足相角条件ZG(s)H(f)=(2k+l)龙,如图解4-1所示。对于s=弟,由相角条件O-Z(-l+j/3+l)-Z(-l+j73+2)-Z(-1+jy/3+4)=0=-7C236满足相角条件，因此1+八疗在根轨迹上。将打代入幅值条件:-1+八代+1-1+八疗+2-1+八疗+4解出：Kj824-2己知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。|G(5i)H(5i)=(1

2、)G(s)=s(02s+l)(0.5s+l)(2)G($)=人(小)+2)(5+3)G(s)=5(25+1) 解(1)G(s)=5(0.25+1)(0.55+1)+5)(5+2)系统有三个开环极点：=0，卩2=-2丿3=一5实轴上的根轨迹：(一叫一5,2,0TOC o 1-5 h z0-2-57ct=渐近线:33(2K+1)龙,7i0=一坪%33，分离点：1F_dd+5d+2解之得:=-0.88,J2=-3.7863(舍去)。与虚轴的交点：特征方程为D(s)=$3+7+i0s+10k=0人fReD(j7y)=-Ta)2+10K=04-2(b)根轨迹副Im)(j7y)=-co3+10血=0解得片

3、価K=7与虚轴的交点(0,VlOj)o根轨迹如图解4-2(a)所示。(2)根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：-5-3,-2,00-2-3-(-5)nTOC o 1-5 h z6=0渐近线:分离点:V2_(2K+l)/r_7t%一2_y1111H+=dd+2d+3d+5用试探法可得d=0.886。根轨迹如图解42(b)所示。 G(5)=K(s+1)2“)分离点：111+=dd+0.5d+1根轨迹绘制如下:实轴上的根轨迹：(s,l,-0.5,0解之得：d】=0.293,2=1707。根轨迹如图解4-2(c)所示。4-3已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。G(s)=K，(s+2)(

4、s+1+丿2)(s+1j2)G(s)=K(s+20)s(5+10+yl0)(5+10-yl0)G(s)H(5)=G(s)H(5)=K*(s+2)s(s+3)(s_4-2s4-2)解5%+鳥;J)根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：(-8,-2分离点：!+!二丄d+l+J2d+lJ2d+2解之得：d=4.23起始角：6n=180+63.435-90=153.435P1由对称性得另一起始角为-153.435。根轨迹如图解4-3(a)所示。国解根轨迹图G(s)=K(+20)5(5+10+710)(5+10-JIO) 系统有三个开环极点和一个开环零点。根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：-20,0渐近线：b_

5、(10)10)+(10+)10)(20)_0(2k+1)7171(P=-=起始角：=180+45-90-135=0根轨迹如图解43(b)所示。G(s)H($)=2-s(s+8s+20)实轴上的根轨迹：(-8,0渐近线：(2k+1)tt30+(4+)2)+(4丿2)_833土亍龙分离点：存卅石r卅刁r解之得：d-一2皿-一333o与虚轴交点：0(5)=s3+852+20s+K图解4-3(c)系统根轨迹把$=丿代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得:jReD(jy)=/C8/=0lmD(j7i9)=20d?-($)=5(5+3)(52+2s+2)+K*(s+2)把3=丿血代入上方程，令jRe(;

6、7y)=血4-8”+2/C=0lmD(jQ)=(6+K*)ey5Q=06?=0co=1.61解得：zr=ol/r=7.03起始角色=1呛+4亍-9213弘25.57=-25根轨迹如图解43(d)所示。4-4己知单位反馈系统的开环传递函数，耍求：(1)雌)=諾需益产生纯虚根为“的俺和K*值;(2)概略绘出G(s)=“+%+辺(“3+丿2)心32)的闭环根轨迹图(要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角)。解(1)闭环特征方程D(s)=疋($+10)(5+20)+K*(s+z)=/+30”+200/+K、+Kp=0有Djco)=(6?4-2002+K)+j(Kb30/)=0令实、虚部分别

7、等丁零即:200/+K0K-30a)3=0/C=30,2=199/30。（2）系统有五个开环极点:Pi=0,“2-1,Pi=-3.5,p4=3+J2,p5=3j2实轴上的根轨迹:(-oo-3.5j-1,0_1一3.5+(-3+/2)+(-3-丿2)Ua渐近线:571371=土一，土,71555=2.1分离点:1111+1=0dd+1d+3.5d+3j2d+3+)2 # 解得：,d22.4（舍去），3、4=-3.25）1.90（舍去）闭环特征方程为dj=-0.45与虚轴交点：)(5)=s($+1)(5+3.5)(5+3+j2)(5+3j2)+K派=0把$=丿代入上方程，整理，令实、虚部分别为零得

8、:jRe（M）=1C+10加_79.5/=0co5-43.5”+45.59=0解得:CD=O/r=0co=1.02co=6.52/C=71.90/C=-15546.3图解44根轨迹图起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为久=180-75.96-90=35-146.3=92.7厂 # #由对称性得，另一起始角为92.74,根轨迹如图解4-4所示。4-5己知控制系统的开环传递函数为 #GH（5）=K*(s+2)(52+4s+9)2 试概略绘制系统根轨迹。解根轨迹绘制如下:实轴上的根轨迹：（-8,-2渐近线：_2_声_2+声_(_2)_233_(2k+1)71丄龙”土、33分离点:22_1

9、d+2+苗d+2-朋一d+2 # 解之得：di=-3.29,di=0-71(舍去)与虚轴交点：闭环特征方程为D(s)=(2+4s+9尸+KHs+2)=0把3=丿血代入上方程，令jReD(jd)=加_34/+81+2/C=0imgQ)=(72+/C)q-曲=0解得：co=a/2TK*=96起始角：90(20,2x90)=(2k+l)兀Pl解出0Pi=45”几=135根轨迹如图解4-5所示。4-6.直升机静稳定性不好，需耍加控制装置改善性能。如图423所示是加入镇定控制回路的直升机俯仰控制系统结构图。直升机的动态特性可用传递函数表示。10(5+0,5)(S+1)(30.4)2 (1)(2)图423

10、直升机俯仰控制系统结构图画出俯仰控制系统的根轨迹。信号坊（$）直升机灵谱特性佣仰角当=1.9时，确定对阵风扰动TWs的稳态误差。 # #（1）开环传递函数为叫+0.5) #(s+9)(s+9)(s04)2 # 唁皿2一9一（一0.5）=*根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：卜9,-0.5；渐近线：2(2+1)龙,71(pt=3-12分离点：由1=1d+0.5d0.4d+9解得：d=1.79，几=3.46。根轨迹如图解46所示。（2）稳态误差为 # #=nm5-(5).E(5)=lim5-_GKiG+1)$+9i+g.Ki($+i)s5+9=1.9limi=-0.868$to(s+9)(s_0.4)

11、2+10K(s+O5)10K(s+05) 4-7单位反馈系统的开环传递函数为 # #G(s)=K(2s+1)G+i)2(*_i) # 11+7/4(0.5)1咕=4解得:图解47根轨迹图co=0K=1试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的K值范围。解根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：0.5,7/4渐近线：2皿_(2k+1)7T_丄兀久2_7与虚轴交点：闭环特征方程为D($)=*3+*2+(2K罗)$+K1=0把$=丿&代入上方程，令ReD(j)=K-1丄co2=0v7ImD(M)=(2K一弊弓宀0CD=V227根轨迹如图解47所示。由图解47可知使系统稳定的K值范围为lvK9/7。4-8单位反馈系

12、统的开环传递函数为G=WJ+5)(5+2)(5-0.5)试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K值范围。解根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：-2,0.5分离点：由1111+=+d0.5d+2d1+jld-l-j2解得：d=-0.41o与虚轴交点:D(s)=(5+2)(5-0.5)+Ks2+25+5)=0把$勻。代入上方程，令jReD(j7y)=-(l+K*)/+5K*-1=0lmZ)(j7y)=(1.5-2Ars)69=0(a)=0(a)=1.25解得ii./r=o.2/r=0.75图解根轨迹图根轨迹如图解4-8所示。由图解4-8可知，系统稳定的K*值范围为0.2V/C(jQ)=10K-3/=0lm

13、)(j7y)=+2)cd-=0试根可得： # #(a)=0k=oco=1.69 R($)K1)31匚1Cv12)图424系统结构图根轨迹如图解49(b)所示。4-10控制系统的结构如图424所示,试概略绘制其根轨迹。解系统开环传递函数为 G(s)=/r(s+i)G+2)3 # #此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。 # #实轴上的根轨迹:分离点：(-co-2,-l,+co)3_1d+2d+1 # 解得d=一0.5起始角：根据相角条件,卩-乞=2炽/=1)=1得0=60,0n=-60,en=180oriPlP3根轨迹如图解4-10所示。4-11设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=K*(l-s

14、)5(5+2)试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的/C值。解由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。实轴上的根轨迹：-2,0,1,+8)；分离点：纟+丄二丄dd+2d1解得:久=-0.732,d2=2.732将$=心=-0.732,xd?=2.732代入幅值条件，得KJ=0.54,KS,=7.46与虚轴交点：闭环特征方程为($)=s(s+2)+K*(1-s)=0把$=代入上方程，整理，令实、虚部分别为零得：图解4-11根轨迹图 解得:ReD(闷=-q2+k*=0ImD(j7y)=(2-K*)69=0q=0Jq=1.41fC=0i/C=2根轨迹如图解411所示，复平面上的根轨迹为以开

15、环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆。系统产生重实根的K*为0.54,7.46,产生纯虚根的K*为2。4-12已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出b=2时系统的闭环传递函数。(1)G(s)=20(5+4)(5+b)5忤解(1)做等效开环传递函数#b(s+4)G(s)=+45+20实轴上的根轨迹：(-叫-4分离点:111+=d+2+j4d+2)4d+4解得：d】=-0.472(舍去)，d2=8.472如图解4-12(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。当b=2时,两个闭环特征根为人卫=一3土丿424。此时闭环

16、传递函数为20-(5+3+丿424)($+3)4.24)做等效开环传递函数9#缶-50实轴上的根轨迹：-40-010-30-23-10co-5-10图解4.12(b)根轨迹图 分离点:解得：d=2011+dd+40=0根轨迹如图解442(b)所示,当b=2时，两个闭环特征根为=-38.44,22=-1.56此时闭环传递函数为二30(s+2)(s+1.56)($+38.44)图4-25位置随动系统4-13设一位置随动系统如图425所示。试求(1)绘制以7为参数的根轨迹；(2)求系统阻尼比歹=0.5时的闭环传递函数。、5(1+T5)1+T5解：(1)G(S)=s(5s+l)s(s+02)D(s)=

17、F+0.2$+1+rs=0作等效开环传递函数图解43根轨迹图G(s)=TS_TSs2+0.25+1(5+0.1-j0.975)(5+0.1+j0.975)以为参数的根轨迹如图解4-13所示。(2)歹=0.5,0=60。过坐标原点作一与负实轴成60的射线，交根轨迹于A点,其坐标为：0.5+)0.866,对应的z值由幅值条件求得?+0.25+1t=0.8S*-0.5+)0.866此时的闭环传递函数为G(s)_1+0.851+G(s)(s+0.5+j0.866)(5+0.5j0.866)4-14已知系统结构图如图4-26所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响

18、。 解:G(s)=100Ts3+52+20s作等效开环传递函数G()=1/T(52+20s+100) # #根轨迹绘制如下:实轴上的根轨迹：(010,10,0分禺点:3_2dd+10 # 图解4-14根轨迹图解得:co=10T=0.2解得根据幅值条件，对应的T=0.015o虚轴交点：闭环特征方程为O(5)=Ts3+s2+20s+100=0把3=丿血代入上方程，整理，令实、虚部分别为零得:jReD(;7y)=100-co2=0lm)(j7y)=20co-Tco3=0起始角：=60。参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-14所示。从根轨迹图可以看出，当0VTV0.015时，系统阶跃响应为单调收

19、敛过程；0.015T0.2时，有两支根轨迹在s右半平面,此时系统不稳定。4-15实系数特征方程A(5)=疋+5”+(6+d)s+d=0耍使其根全为实数，试确定参数c的范围。解作等效开环传递函数 G(s)=a(s+1)3-2；s+k+6sa(s+1)s(s+2)($+3) # 当G0时，需绘制180根轨迹。实轴上的根轨迹：-3-2,-1,0渐近线:23+1(Ja=-23-1(2k+1)7T2匚厂71=+2解得分离点：111Fdd+2d+3d+1d=-2.47分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得:d+l=04147图解4J5系统根轨迹根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图解4-15所示。由图解4-1

20、5(a)可以看出，当06/0.4147时，多项式的根全为实数。当0时，需绘制0根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：(-8,-3,-2-1,0,8)。由图解4-15可以看出，当gvO时，多项式的根全为实数。因此所求参数a的范围为05aW0.4147或a0o4-16某单位反馈系统结构图如图427所示，试分别绘出控制器传递函数G(5)为G“($)=/TGr2(s)=/T(s+3)Gc3(s)=/T($+1)时系统的根轨迹，并讨论比例加微分控制器图4-27系统结构图G(s)=K*(s+Z,)中，零点J的取值对系统稳定性的影响o解(1)当Gcl(s)=K*时； 系统开环传递函数为G（沪E根轨迹绘制如下:实轴上

21、的根轨迹：（-8厂2渐近线:-2_2T3(2k+1)7T37t-土亍龙根轨迹如图解446（a）所示。当Gc2（s）=K（s+3）时;系统开环传递函数为G（沪暑汁，根轨迹绘制如下:实轴上的根轨迹：-3-2渐近线:”-一2-(丿)_丄22(2k+l)7t,71根轨迹如图解4-16（b）所示。（3）当G3（s）=Ks+1）时；系统开环传递函数为G（s）=根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：-2-1渐近线:b=一2十1)a22皿_(2k+1)龙_丄龙%-2_7根轨迹如图解4-16（c）所示。从根轨迹图中可以看出，比例加微分控制器G,s）=K*（$+以）的加入使根轨迹向左 移动，且当ZcP时系统趋于稳定，附

22、加开环零点越靠近虚轴这种趋势越强。4-17单位反馈系统开环传递函数为绘制一8VKV00时的根轨迹；应用主导极点法求出系统处于临界阻尼时的开环增益，并写出对应的闭环传递函数。解(1)绘制系统根轨迹G(s)=K(l+0.1$)5(5+1)(0.255+l)2K*(s+10)s(s+1)($+4)216v=1 # #当0K(jQ)=96?+(16+K)q=0 解得:6?=1.53/C=507当0Ks时的根轨迹如图解447(a)所示。当sKv0时，绘制0根轨迹。二4,有四条根轨迹，其中三条趋丁无穷远处;实轴上的根轨迹:-10-4,-4-1,0)渐近线:分离点：d=2.25-1-4x2+101=-“A134-12k兀2龙0(P,=,0灼4-13当sK0时的根轨迹如图解4-17(b)所示。(2)求临界阻尼的开环增益由丁-svK0时，系统不稳定，应此不存在临界阻尼状态。0vK0和速度反馈系数0,使系统的单位速度误差小T-0.5,超调量小于10%,调节时间小于2s。G(s)=丄.s图428控制系统结构图解：系统开环传递函数为(s+3)(s+7)i+F(5+3)(5+7)as(2+10s+21+K