2023届高考一轮复习导与练 第二章　函数(必修第一册) 第8节　函数与方程 学案

1、第8节函数与方程1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在性定理,并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.1.函数的零点(1)函数零点的定义:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.2.函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个

2、零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.函数f(x)在(a,b)上连续且单调,而且f(a)f(b)0,则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点.3.二分法对于在区间a,b上图象连续不断且f(a)f(b)0)的图象与零点的关系0=00)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101.若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)f(b)0,则函数y=f(x)一定有零点.特别是,当y=f(x)在a,b上单调时,它仅有一个零点.2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间a,b上有零点不一定能推

3、出f(a)f(b)0,如图所示,所以f(a)f(b)0是y=f(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件.1.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(B)A.(-,1)B.(1,+)C.(-,1D.1,+)解析:因为函数f(x)=x2+2x+a没有零点,所以方程x2+2x+a=0无实根,即=4-4a1.故选B.2.(必修第一册P155习题T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的x,f(x)对应值表:x1234f(x)136.13615.552-3.9210.88x567f(x)-52.488-232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有

4、(D)A.1个B.2个C.3个D.4个解析:因为f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,f(6)f(7)0,所以存在零点的区间有4个.故选D.3.(必修第一册P155习题T4改编)函数f(x)=3x+2x的零点所在的区间是(C)A.(1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(-2,-1)解析:由于函数在R上单调递增,且f(-2)=3-2+2(-2)=19-40, f(-1)=3-1+2(-1)=13-20,f(1)=3+20,f(2)=9+40,因此f(-1)f(0)0的零点是(B)A.(-1,0),(1,0)B.-1,1C.(-1,0)D.-1解析:由题意可得x+1=0

5、,x0,解得x=-1;lgx=0,x0,解得x=1.综上x=1.故选B. 函数零点存在性定理的应用1.函数f(x)=log2x-1x的零点所在区间为(C)A.(0,12)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:由题意可知函数在(0,+)上单调递增,且连续不间断.f(12)=log212-20,f(1)=log21-10,由f(1)f(2)0及函数零点存在性定理可得零点所在区间为(1,2).故选C.2.已知函数h(x)=ex与g(x)=x2-8x,两个函数图象交点的横坐标所在的区间为(B)A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析:令f(x)=h(x)-g(x)

6、=ex-x2+8x,则f(-2)=e-2-(-2)2+8(-2)0,f(-1)=e-1-(-1)2+8(-1)0,所以f(-1)f(0)0,又f(x)的图象连续,且在(-1,0)上单调,所以函数在区间(-1,0)内必有零点.即两个函数图象交点的横坐标所在的区间为(-1,0).故选B.3.已知x表示不超过实数x的最大整数,g(x)=x为取整函数,若x0是方程ln x=2x的一个解,则g(x0)等于(B)A.1B.2C.3D.4解析:令f(x)=ln x-2x,则函数f(x)在定义域上是增函数,且f(2)=ln 2-10,故x0(2,3),所以g(x0)=x0=2.故选B.4.已知函数f(x)=l

7、og2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1上,则实数m的取值范围为(D)A.(-4,0)B.(-,-4)(0,+)C.(-,-4(0,+)D.-4,0)解析:因为f(x)=log2(x+1)+3x+m在区间(0,1上单调递增,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1上,所以f(0)0,f(1)0,即m0,log22+3+m0,解得-4m0.故选D.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0,则函数y=ff(x)-1的零点个数为()A.3B.2C.0D.4解析:y=

8、ff(x)-1=0,即ff(x)=1.当f(x)0时,f(x)+1=1,即f(x)=0时,此时log2x=0,计算得出x=1,或者x+1=0,计算得出x=-1.当f(x)0时,即log2f(x)=1,当f(x)=2时,若x+1=2,计算得出x=1(舍去),若log2x=2,计算得出x=4.综上所述,函数y=ff(x)-1的图象与x轴的交点个数为3.故选A.数形结合法 (1)已知f(x)=-x2-2x+1,x0,-2x+1,x0,则函数g(x)=f(x)-e-x的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知函数y=f(x)的周期为2,当x-1,1时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象

9、与函数y=|lg x|的图象的交点共有()A.10个B.9个C.8个D.7个解析:(1)函数g(x)=f(x)-e-x的零点,即方程f(x)-e-x=0的解,即f(x)=e-x,即y=f(x)与y=e-x图象的交点的横坐标,因为f(x)=-x2-2x+1,x0,-2x+1,x0,在同一平面直角坐标系中画出函数图象如图所示,由函数图象可知y=f(x)与y=e-x有两个交点,故函数g(x)=f(x)-e-x有2个零点.故选B.(2)函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象如图所示,因为f(9)=f(1)=1lg 9,f(11)=f(1)=10,3x+4,x0时,令-1+ln x=0,故x

10、=e,符合;当x0(aR),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是()A.(0,1B.1,+)C.(0,1)D.(-,1解析:画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-,0和(0,+)上各有一个零点.当x0时,f(x)有一个零点,需a1;当x0时,f(x)有一个零点,需-a0.综上,00,-4m22或m-6,-8m0,m-193,m3,即-193m0,m20,解得m-6或2m143.(3)若f(x)=x2-mx-m+3=0的一根大于1,一根小于1,则f(1)=1-2m+32.若二次方程的根在一个区间上,则要考虑方程判别式0,方程对应的

11、二次函数图象的对称轴在该区间内,以及区间端点函数值的符号和开口方向;若二次方程的根在两个区间上,则只需要考虑区间端点的函数值符号和开口方向.针对训练1.已知函数f(x)=|x-1|(x+1),若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实数解,则实数k的值为()A.0B.1C.0和-1D.0和1解析:f(x)=|x-1|(x+1)=x2-1,x1,-(x2-1),x1,画出函数f(x)的图象如图所示,结合函数图象可知k=1或k=0时,方程f(x)=k有两个不同的实数解.故选D.2.方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(0,2)内,则m的取值范围是()A.(53

12、,5)B.(-73,5)C.(-,53)(5,+)D.(-,53)解析:因为方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(0,2)内,所以函数f(x)=4x2+(m-2)x+m-5的两个零点一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(0,2)内,则只需f(-1)=4-(m-2)+m-50,f(0)=m-50,解得-73m5.所以m的取值范围是(-73,5).故选B.3.函数f(x)=1|x-1|-2cos(x)在区间-3,5上所有零点的和等于()A.2B.4C.6D.8解析:因为f(x)=1|x-1|-2cos(x),令f(x)=0,则1|x-1|=2cos(x),

13、则函数的零点就是y=1|x-1|和y=2cos(x)图象交点的横坐标,可得y=1|x-1|和y=2cos(x)的图象都关于直线x=1对称,则交点也关于直线x=1对称,画出两个函数的图象,如图所示,观察图象可知,y=1|x-1|和y=2cos(x)在-3,5内有8个交点,即f(x)有8个零点,且关于直线x=1对称,故所有零点的和为42=8.故选D. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(3-x)=f(x),若f(2)=0,则函数f(x)在区间(0,6)内零点个数的最小值是()A.5B.4C.3D.2解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(3-x)=f(x),f(x-3)=f(x),所以f

14、(x)是以3为周期的周期函数,又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2)=0,所以f(-2)=0,所以f(5)=f(2)=0,f(1)=f(-2)=0,f(4)=f(1)=0.即在区间(0,6)内,f(2)=0,f(5)=0,f(1)=0,f(4)=0,因此函数f(x)在区间(0,6)内零点个数的最小值是4.故选B. 已知函数f(x)=(12)x-|log3(x-1)|有两个零点x1,x2,则()A.x1x2x1+x2B.x1x2x1+x2解析:在同一平面直角坐标系下,作出函数y=(12)x与函数y=|log3(x-1)|的图象如图所示,设x1(1,2),x2(2,+),有(12)x1=-

15、log3(x1-1),(12)x2=log3(x2-1),所以(12)x2-(12)x1=log3(x2-1)+log3(x1-1)=log3(x2-1)(x1-1).因为x1x2,得(12)x2-(12)x10,所以有log3(x2-1)(x1-1)=log3(x1x2-x1-x2+1)0,即0 x1x2-x1-x2+11,所以x1x20,2|x|,x0,则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是.解析:由2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象如图所示,由图象知y=12与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个

16、交点.因此函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点有5个.答案:5 已知函数f(x)=log2(-x2),x-1,-13x2+43x+23,x-1,若f(x)在区间m,4上的值域为-1,2,则实数m的取值范围为.解析:作出函数f(x)的图象如图,当x-1时,函数f(x)=log2(-x2)单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令log2(-x2)=2,解得x=-8;当x-1时,函数f(x)=-13x2+43x+23在(-1,2)上单调递增,在2,+)上单调递减,则最大值为f(2)=2,又f(4)=232)上至少存在一点与直线y=x+1上的一点关于原点对称,则m的取值范围为.解析:因为直线y

17、=x+1关于原点对称的直线为y=x-1,依题意方程log2(2x-m)=x-1在(2,+)上有解,即m=2x-1在(2,+)上有解,所以m2.又2x-m0恒成立,则m4,所以实数m的取值范围为(2,4.答案:(2,4知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练函数零点(个数)及所在区间1,2,3,1015利用函数零点个数确定参数的取值(范围)5,8,911,1316函数零点的综合问题4,6,712,141.函数y=x-4(12)x的零点所在的区间是(B)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:y=x-4(12)x=x-(12)x-2为R上的连续单调递增函数,且f(1)=1-

18、20,所以f(1)f(2)0,0,x=0,-1,x0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为x2=2x-1,化简得(x-1)2=0,解得x=1;当x=0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为0=-1,无解;当x0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为-x2=2x-1,化简得x2+2x-1=0,解得x=-1+2(舍去)或x=-1-2.综上,方程x2sgn x=2x-1的解是1或-1-2.故选C.4.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-1,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则(D)A.abcB.bacC.cabD.acb解析:令f(x)=2x+x=0,解得x0,令g(x

19、)=x-1=0,解得x=1,由h(x)=log3x+x在(0,+)上单调递增,得h(13)=-1+130,因此h(x)的零点x0(13,1),则bca.故选D.5.函数f(x)=3x-1,x1,2x2-ax,x1有两个不同的零点,则实数a的取值范围是(C)A.(-,2B.(-,2)C.2,+)D.(2,+)解析:由题意得,当x1时,函数有一个零点x=13;当x1时,令2x2-ax=0,得x=a2,要使函数有两个不同的零点,则只需a21,解得a2.故选C.6.(多选题)(2021河北石家庄高三质量检测)记函数f(x)=x+ln x的零点为x0,则关于x0的结论正确的为(BC)A.0 x012B.

20、12x01C.e-x0-x0=0D.e-x0+x0=0解析:由于函数f(x)=x+ln x在(0,+)上单调递增,且f(12)=12-ln 20,所以12x00,故A,D选项错误,B,C选项正确.故选BC.7.(2021江西省重点中学协作体高三联考)已知函数f(x) =lgx,x1,-lg(2-x),x1,g(x)=x3,则方程f(x)=g(x-1)的所有根的和等于(C)A.1B.2C.3D.4解析:作出函数f(x)=lgx,x1,-lg(2-x),x0,a-10,解得a1,故实数a的取值范围是(1,+).答案:(1,+)9.已知函数f(x)=2|x|,x1,x2-3x+3,x1,若关于x的方

21、程f(x)=2a(aR)恰有两个不同的实根,则实数a的取值范围为.解析:作出函数f(x)的图象如图所示,因为关于x的方程f(x)=2a恰有两个不同实根,所以y=2a与函数y=f(x)的图象恰有两个交点,结合图象,得2a2或341或380 (aR)在R上没有零点,则a的取值范围是(B)A.(0,+)B.(1,+)0C.(-,0D.(-,1解析:假设函数f(x)=2x-a,x0,-3x-a,x0(aR),存在零点,则当x0时,由y=2x-a有零点,则a=2x(x0),即00时,由y=-3x-a有零点可知a0(aR)存在零点的条件是a1,且a0.因此当函数f(x)=2x-a,x0,-3x-a,x0(

22、aR)在R上没有零点时,a(1,+)0.故选B.12.(2021内蒙古赤峰二中等校联考)若直角坐标平面内A,B两点满足:点A,B都在函数f(x)的图象上;点A,B关于原点对称,则点对(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”.点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数f(x)=x2+2x(x0),2ex(x0),则f(x)的“姊妹点对”有(C)A.0个B.1个C.2个D.3个解析:根据题意,“姊妹点对”满足两点:都在函数图象上,且关于坐标原点对称.因此“姊妹点对”的个数即为函数y=x2+2x(x0)的图象关于原点对称的图象与函数y=2ex(x0)的图象交点的个数,当x=1时,02e1,作出满足题意的图象如图所示,观察图象可得它们有2个交点.故选C.13.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=4对称,且当4x时,f(x)=sin x,则当函数g(x)=f(x)-a在-2,有零点时,关于其零点之和,下列阐述正确的是(B