2023届高考数学一轮复习讲义--立体几何外接球相关的最值问题（解析版）

1、外接球相关的最值问题【真题回顾】(2018年高考数学课标卷（理）)设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为()BCD【答案】B解析：设的边长为，则，此时外接圆的半径为，故球心到面的距离为，故点到面的最大距离为，此时，故选B点评：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由为三角形的重心，计算得到，再由勾股定理得到，进而得到结果，属于较难题型(2015高考数学新课标2理科)已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为()A B C D【答案】

2、C解析：如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C考点：外接球表面积和椎体的体积【例题精讲】类型一：动点在球面上运动【例1】已知三棱锥PABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，ABC是边长为eq r(3)的等边三角形，如果球O的表面积为36，那么P到平面ABC距离的最大值为_【答案】32eq r(2)解析依题意，边长是eq r(3)的等边ABC的外接圆半径req f(1,2)eq f(r(3),sin 60)1.球O的表面积为364R2，球O的半径R3，球心O到平面ABC的距离deq r(R2r2)2eq r(2)，球面上的点P

3、到平面ABC距离的最大值为Rd32eq r(2)【变式1】已知三棱锥S-ABC的外接球O的表面积为，SA=2，SA平面ABC，ABC是以AC为斜边的直角三角形，点P在球O的表面上运动，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（ ） B C D【答案】A解析：因SA平面ABC，平面ABC，则SABC，又ABBC，于是得BC平面SAB，而平面SAB，则有SBBC，SC中点为O，连OB，OA，如图，于是得OB=OA=OC=OS，即点S，A，B，C在给定的球O的表面上，OA长为该球半径，由得，而SAAC，SA=2，则AC=2，在中，当且仅当时等号成立，则，又，于是得，取AC中点O1，连OO1，则O1为外接圆圆

4、心，OO1平面ABC，而球O表面上的点P到平面ABC的距离最大值为，所以三棱锥体积最大值为.故选：A类型二：旋转折叠类【例2】在四面体ABCD中，AB1，BCCDeq r(3)，ACeq r(2)，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为()A2B3C6D8【答案】C解析AB1，BCeq r(3)，ACeq r(2)，由勾股定理可得AB2AC2BC2，所以ABC是以BC为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BCeq r(3)，当CD平面ABC时，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2Req r(BC2CD2)eq r(6)，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4

5、R2(2R)26故选C【变式2】如图，在矩形ABCD中，已知AB2AD2a，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，连接A1C若当三棱锥A1CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1CDE外接球的体积为 eq f(8r(2),3)，则a()A2B eq r(2)C2 eq r(2)D4【答案】B解析在矩形ABCD中，已知AB2AD2a，E是AB的中点，所以A1DE为等腰直角三角形，斜边DE上的高为A1K eq f(1,2)DE eq f(1,2) eq r(a2a2) eq f(r(2),2)a要想三棱锥A1CDE的体积最大，需高最大，则当A1DE面BCDE时体积最大，此时三棱锥A1CDE

6、的高等于A1K eq f(r(2),2)a，取DC的中点H，过H作下底面的垂线，此时三棱锥A1CDE的外接球球心O在此垂线上因为三棱锥A1CDE外接球的体积为 eq f(8r(2),3)，所以球半径R eq r(2)，如图，OH2OC2CH2，A1O2A1G2GO2，即OH2R2a2，R2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)aOH) eq sup12(2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)a) eq sup12(2)，联立可得a eq r(2)故选B类型三：底面不确定型【例3】已知三棱锥SABC的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为2

7、eq r(3)，SA平面ABC，SA4，ABC120，则球O的体积的最小值为_【答案】 eq f(40r(10),3)解析VSABC eq f(1,3)SABCSA eq f(1,3) eq f(1,2) eq f(r(3),2)BABC42 eq r(3)，故BABC6根据余弦定理AC2BA2BC22BABC cos BBA2BC2BABC3BABC，即AC3 eq r(2)，当BABC时等号成立设ABC的外接圆半径为r，故2r eq f(b,sin B)2 eq r(6)，即r eq r(6)设球O的半径为R，球心O在平面ABC的投影O1为ABC外心，则R2r2 eq blc(rc)(av

8、s4alco1(f(SA,2) eq sup12(2)6410，R eq r(10)，V eq f(4,3)R3 eq f(40r(10),3)类型四：垂径定理型【例4】已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）BCD【答案】C解析：如图，设的中心为，球的半径为，连接，则，.在中，解得，则，由，得.在中，.所以.过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，则最小面积为.当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为故选：C【变式4】正方体的棱长为2，的中点分别是P，Q，直线与正方体的外接球O相交于M，N两点点G是球O上的动点则面积的最大值为（ ）BCD【答案】A【分析】如图，设正方体外接球球O的半径为r，过球心O作，垂足为H，可得H为的中点，由已知数据可求得的长是定值，而点G是球O上的动点，所以当点G到的距离最大