[新整理]三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一知识点总结1）2）O是ABC的重心oOA+OB+OC，0S，S，S，丄S若0是ABC的重心，贝yBOCAOCAOB3ABC故OA+OB+OC，0PG，3(PA+PB+PC)oG为ABC的重心.0是ABC的垂心oOAOB，OBOC，OCOA.若0是ABC(非直角三角形)的垂心，则SBOC：SAOC:SAAQB二伽A:伽B:伽C故tanAOA+tanBOB+tanCOC，03)若o是ABC的外心则S:S:S，sinBO

2、C：sinAOC：sinAOB，sin2A:sin2B:sin2C则BOCAOCAOB故sin2AOA+sin2BOB+sin2COC，0O是内心ABC的充要条件是OA(ABAC)OB(BABC)OC(CACB)0OA()，OB()，OC()，0IABIACIBAIIBCIICAIICBI0是ABC的外心IOA曰OB曰OCI(或OA2二OB2二OC2)引进单位向量，使条件变得更简洁。如果i记AB,BC,Ca的单位向量为ei，e2，e3，则刚才0是3）ABC内心的充要条件可以写成：OA-（e1+e3）=OB-（ei+e2）,OC（e?+e_）,0+II0是ABC内心的充要条件也可以是aOA+bO

3、B+cOC，0若0是ABC的内心，则SBOC：SAOC：SAOB=&:b:故aOA+bOB+cOC，0或sinAOA+sinBOB+sinCOC，0ABIPC+IBCIPA+ICAIPB，0oPABC的内心；向量量（rABi+1AC严丰0）所在直线过沁的内心（是BAC的角平分线所在直线）：范例（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1.0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P），Xeb,+）则P点的轨迹一定通过ABC的（满足OP，OA+九（ABACABAC+（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为AB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e和e,又A

4、B12OP-OAAP,则原式可化为AP=X（e,e）,由菱形的基本性质知AP平分BAC,那么在12ABC中，AP平分BAC,则知选BAB点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB是什么？没见过！想想，一个非零AB向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起,解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是ABC所在平面内任一点，HA-HBHB-HCHC-HAo点H是ABC的垂心.由HA-HBHB-HCoHB-（HC-HA）=0o

5、HB-AC=0oHB丄AC,同理HC丄AB，HA丄BC故H是AABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）卩是厶ABC所在平面上一点，若PA-PBPBPCPCPA，则P是厶ABC的（D）A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心解析:由PAPBPBPC得PAPBPBPC0.即PB（PAPC）0,即PBCA0则PB丄CA,同理PA丄BC,PC丄AB所以P为AABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。HC2,AB变式：若円为厶ABC所

6、在平面内一点，且HA2,BC2HB2,CA2则点H是AABC的垂心证明:HA2HB2CA2BC2(HA,HB)BA(CA,CB)BA得(HA,HBCACB)BA0即(HC,HC)BA0AB丄HC同理AC丄HB，BC丄HA故H是AABC的垂心F.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.G是ABC所在平面内一点，GA+GB+GC=0o点G是厶ABC的重心.证明作图如右，图中GB+GCGE连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCoBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GB+GCGE代入GA+GB+GC=0，得GA+EG=0,GA=-GE=-2GD，故G是厶ABC的

7、重心.(反之亦然(证略)例5.P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心pg=；(pa+pb+pc).证明PGPA+AGPB+BG=PC+CG,3PG=(AG+BG+CG)+(PA+PB+PC)VG是ABC的重心:GA+GB+GC=0,AG+BG+CG=0，即卩3PG=PA+PB+PC由此可得PG=3qBE-GB23CF二一GC23AD+BE+CF-GA+GB+GC)GA+GB+GC0DC=OC-OD=OC,OBTOC o 1-5 h z.OH=OA,AH=OA,DC图3k故OH=OA+OB,OC，所以m二1评注：外心的向量表示可以完善为:若OAABC的外心,H为垂心，则OH=OA,OBC。

8、其逆命例6.已知向量OP，OP，OP满足条件OP+OP+OP=0，IOP1=1OP1=1OP1=1，123123123求证：是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组_证明：由已知OP+OP=-OP，两边平方得OPOP=-1，123122同理OPOP=OPOP=1，.IPP1=1PP1=1PPI=3，从而P1P2P3是正三角形.23312122331123反之，若点O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有OP+OP+OP=0且IOPI=IOPI=IOPI，即O是ABC123123123所在平面内一点，OP+OP+OP=0且IOPI=IOPI=IOPIo点O是正P1P2P3的中心.1231

9、23123四、练习已知A、B、C是平面上不共线的三点,0是三角形ABC的重心，动点P满足op；（2oa+1ob+2oc）,322则点P定为三角形ABC的(B)C.重心D.AB边的中点A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)分析：取AB边的中点M,则OAOB=20M，由0P=3(20A+20B+20C)可得3OP=30M2MC，MP=2MC，即点P为三角形中AB边上的中线的个三等分点,且点P不过重心-在同一个平面上有mbC及一点。满足关系式：0A2+BC2二0B2+CA20C2丨AB2，贝廿为ABC的(D)A.外心B.内心C.重心D.垂心已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P

10、满足：PAPBPC=0，则paabE的(1)A.外心B.内心C.重心D.垂心已知0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点,动点满足:0P=0A+九(ABAC)，则P的轨迹一定通过AABC的(C)A.外心B.内心C.重心D.垂心TOC o 1-5 h z已知AABC,b为三角形所在平面上的动点,且满足：PAPC+PAPBPB*PC=0，则_角形的(D)A.外心B.内心C.重心D.垂心已知ABC,P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：aPAbPBcPC=0，则P点为三角形的(B)A.外心B.内心C.重心D.垂心在三角形ABC中，动点P满足：CA2=CB2-2ABCP，则p点一定通过AA

11、BC的(B)A.外心B.内心C.重心D.垂心非零向量AB与AC满足(-AB+-AC)bc=0且-AB-AC=1,则厶ABC为(D)IABIIACIIABIIACI2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足(_AB+AC)BC=0，即角A的平分线垂直于BC,FABIIaci】AB二AC,又cosA=-ABAC=1,ZA=兰,所以ABC为等边三角形.IABIIACH23AABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H0H=m(0A0B0C)，则实数m二点0是三角形ABC所在平面内的一点，满足0A-0B=0B0C=0C0A，则点0是4ABC的(B)(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点如图1,已知点6是厶ABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N