源自河谷的古老文明——数学的萌芽

1、数学起源 手指计数（伊朗，1966） 结绳计数（秘鲁，1972）文字5000年(伊拉克, 2001)河谷文明与早期数学 古代埃及 古巴比伦 古代中国第一章 源自河谷的古老文明 数学的萌芽 1.1 古埃及的数学1.2 古巴比伦的数学第一章 数学的萌芽时期一、古埃及数学 埃及是四大文明古国之一，位于尼罗河两岸。公元前3200年左右，在这块土地上就已经形成了一个早期统一的奴隶制国家。打猎、渔业及畜牧业是古埃及人最初的谋生方式。一年一度的尼罗河洪水给这片谷地带来了肥沃的淤泥，以游牧为生的古埃及人便定居下来，由狩猎转向耕种。在发展农业的同时，手工业与贸易也随之发展起来，这些都推动了自然科学各学科知识的积

2、累。 公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构可知，当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识。 世界七大奇迹 奇迹之一：埃及金字塔 The Pyramids of Egypt 建造时间：大约公元前27002500年 建造地点：埃及开罗附近的吉萨高原 法老是古埃及的国王，金字塔是法老的陵墓。法老为什么要建造金字塔？巨大的金字塔是怎样建成的？ 相传，古埃及第三王朝之前，无论王公大臣还是老百姓死后，都被葬入一种用泥砖建成的长方形的坟墓 ，古代埃及人叫它“马斯塔巴” 。后来，有个聪明的年轻人叫伊姆荷太普，在给埃及法老左塞王设计坟墓时，发明了一种新的建筑方法 。他用山上采

3、下的呈方形的石块来代替泥砖，并不断修改修建陵墓的设计方案，最终建成一个六级的梯形金字塔这就是我们现在所看到的金字塔的雏形。 在古代埃及文中，金字塔是梯形分层的，因此又称作层级金字塔。这是一种高大的角锥体建筑物，底座呈四方形，每个侧面是三角形，样子就像汉的“金”字，所以我们叫它“金字塔”。伊姆荷太普设计的塔式陵墓是埃及历史上的第一座石质陵墓。奇迹之二：宙斯神像 The Statue of Zeus 建造时间：大约公元前457年 建造地点：希腊奥林匹亚城 大约在公元前450年，在第一届奥林匹克运动会（公元前776年）的举办地希腊奥林匹亚城，建成了一座巨大的雕像，这就是宙斯神像。 这是一座装饰华丽的

4、40英尺高的雕像：宙斯是希腊雕刻家斐迪亚斯用象牙雕刻而成的，坐落在台阶之上，用黄金做成袍饰。宙斯头顶花冠，右手持胜利女神，左手持笏。后来，希腊人出于安全理由，决定把它移到君士坦丁堡。但那里也没能最终保全住这尊伟大的雕像。公元462年的一场大火彻底毁坏了雕像。而在奥林匹亚城只剩下残垣断壁了。奇迹之三：罗德港巨人雕像 The Colossus of Rhodes 建造时间：公元前4世纪晚期或2世纪早期 建造地点：爱琴海，希腊罗德港 公元前，罗德岛是重要的商务中心，它位于爱琴海和地中海的交界处，罗德港于公元前408年建成。 雕像10英尺高，和大家熟知的纽约自由神像的高度差不多。雕像是中空的，里面用复

5、杂的石头和铁的支柱加固。但这个伟大的雕像建成仅仅56年后就被强烈地震毁坏了。 传说中雕像两腿分开站在港口上，船只是从腿中间过去。想象一下那是多么壮观而有趣的场景啊。 奇迹之四：摩索拉斯陵墓 建造时间：大约公元前353年 建造地点：现在的土耳其西南地区 这座伟大的白色大理石陵墓是为摩索拉斯和他的妻子修建的。整座建筑高达135英尺，由两名希腊人设计，15世纪初毁于大地震。现在伦敦大英博物馆还收藏有一点剩余的雕刻。 奇迹之五：阿耳忒弥斯神庙 The Temple of Artemis (Diana) at Ephesus建造时间：大约公元前550年 建造地点：希腊城邦埃斐索斯，现在的土耳其西海岸 神

6、庙建筑以大理石为基础，上面覆盖着木制屋顶。它最大的特色是内部有两排至少106根立柱，每根大约40至60英尺高。神庙的底座大约有200乘400英尺。 原庙毁于公元前356年的大火，在原址后建起的庙于公元262年再罹火难。奇迹之六：巴比伦空中花园 The Hanging Gardens of Babylon 建造时间：大约公元前600年 建造地点：巴比伦，现在的伊拉克巴格达附近 这座神话般的建筑是尼布甲尼撒二世为了安慰患上思乡病的王妃安美依迪丝(Amyitis)，仿照王妃在山上的故乡而兴建了空中花园。大约400英尺见方，高出地面75英尺。 据说它要由奴隶们转动机械装置从下面的幼发拉底河里抽上大量的

7、水来灌溉花园里的花草。奇迹之七：亚历山大灯塔 建造时间：大约公元前300年建造地点：在埃及的亚历山大港附近的法洛斯岛上。 在亚历山大大帝死后不久，他的手下之一PtolemySoter便称霸埃及，并建都于亚历山大。有鉴于亚历山大港附近的海道十分危险，PtolemySoter便下令由建筑师Sostratus及亚历山大图书馆合作兴建法洛斯灯塔，灯塔于公元前290年竣工。当亚历山大灯塔建成后，它的高度当之无愧地使它成为当时世界上最高的建筑物。1500年来，亚历山大灯塔一直在黑夜中为水手们指引进港的路线。它也是六大奇迹中最晚消失的一个。十四世纪的大地震彻底摧毁了它。埃及最大的金字塔法老胡夫的陵墓（胡夫金

8、字塔） 大约建于公元前2500年左右，呈正四棱锥形，底面正方形面向东西南北四个正方向，边长230.5米，塔高146.6米（现高约137米）。近年来，科学家们通过使用精密的仪器对它进行测量，惊奇地发现：1、其底基正方形边长的相对误差不超过1：14000，即不超过2厘米；四底角的相对误差不超过1：27000，即不超过12秒，四个方向的误差也仅在25分之间，这些都说明当时的测量水平已相当高。2、用石头达230万块，重量从2.5吨50吨，石块间接缝处密的连铅笔刀都难以插入。3、底边与高度之比的两倍约为3.14159，这是公元前3世纪的人才得到的圆周率的近似值，塔高的10亿倍恰好等于地球到太阳的距离。数

9、学之谜古埃及人靠什么计算方法和工具达到这样的精确度？ 埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文（祭祀文）。 象形文字 流传至今的古埃及文献，大部分是以这种僧侣文书写在纸草上保留下来的，人们通常称为纸草书。 古埃及人用纸草作为书写材料，纸草是尼罗河三角洲沼泽地上盛产的一种水生植物。由于埃及气候干燥，因此有些纸草书能幸运地保存至今。 一卷藏在伦敦大不列颠博物馆，叫做莱因德纸草书，记录了85个数学问题；一卷藏在莫斯科美术博物馆，叫莫斯科纸草书，共有25个数学问题。 莱茵德纸草书 现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书： 除了这两卷纸草书外，还有一些写在

10、羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，藏于世界各地。两卷纸草书的年代在公元前1850前1650年之间，相当于中国的夏代。古代埃及的数学 莱茵德纸草书 莫斯科纸草书公元前3000年，古埃及人用以10为基的象形数字记数。尽管古埃及是最早采用10进数制的国家之一，但由于没有采用位值制，而采用了叠加制，所以给记数带来了麻烦。从纸草书中我们可以看出，古埃及人掌握的数学知识主要有：1、利用象形文字记数古埃及数字1、10、100等都有特殊的记号。没有表示零的符号。介于其间的数由这些符号的组合来表示。13015=2、古埃及人的算术知识 埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。古埃及人在进行乘法或除法运算

11、时，需要利用连续加倍的运算来完成（叠加法）如2731（任何一个自然数都可由2的各次幂之和来表示） n 31n 131 262 4124 8248 16496如74526 只要连续地把除数26加倍，直到再加倍就超过被除数745为止。74541632941620812141620810417故其商为168+428，余数为17。 n 26n 126 252 4104 8208 16416 占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。如但只有 例外。莱因德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分

12、解，到现在还是一个谜。 由于整数与分数的运算都较为繁琐，因此古埃及的算术难以发展到更高的水平。 在数字7、49、343、2401、16807旁各注有储藏室、猫、鼠、大麦、量器等字样，但丝毫没有说明题目的意思。 关于这个问题，在1907年，数学史家康托尔作了如下的解释：一份财产包括7间房，每间房中有7只猫，每只猫吃7只老鼠，每只老鼠吃7个麦穗，每个麦穗又能生产7俄斗麦子。问这份财产中，房子、猫、老鼠、麦穗和麦子总共有多少？ 显然，这是一个公比为7的等比数列求和的问题。有人根据此题还编了一首古老的童谣：我赴圣地爱弗西，途遇妇女数有七，一人七袋手中提，一袋七猫数整齐，一猫七子紧相依，妇与布袋猫与子，

13、几何同时赴圣地？3、古埃及人的代数 他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。例如，在纸草书上有这么一个问题： 更令人惊奇的是，根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。看来他们已掌握了公式 而后来的希腊人经过漫长的时间才达到了这个水平。 4、古埃及人的几何 总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。 例如，能正确计算三角形、矩形和梯形的面积和直圆柱的体积。纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。计算的结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。 但是，埃及人通过取对边和的一半相乘来求任意四

14、边形的面积，如果用a,b,c,d记四边形的四边长，该公式相当于这当然是十分粗略的近似。古埃及数学发展概况小结 尼罗河定期泛滥，淹没全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面积。由于这种需要，多年积累起来的测地知识便逐渐发展成为几何学。 由于古埃及的各种数学知识和各种计算方法是为了解决尼罗河泛滥后土地测量和谷物分配以及容量计算等日常生活中必须解决的课题而设想出来的，因此并没有出现对公式加以证明的倾向。埃及人运用的所有的数学法则都带有极端的经验主义的性质，这些法则既没有任何定理，也没有任何证明。 因此，不能说在古埃及就已经有了作为科学的数学，而只能认为出现了数学知识的积累过程。 埃及文明在历代王朝的

15、更迭中表现出一种静止的特性，这种静止特性也反映在埃及数学的发展中。莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传宝贝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化。加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及的计算显得笨重繁复。古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似关系往往不作明确区分，这又使他们的实用几何带上了粗糙的色彩。这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发展。公元前4世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学文化被蒸蒸日上的希腊数学所取代。二、古巴比伦数学 亚洲西南部的幼发拉底河与底格里斯河之间的地带，人们通常称为两河流域。古代把这块地域叫做美索不达米亚。公元前1900年，这里建成了一个奴隶制国

16、家古巴比伦王国。后来它逐渐强大了起来，基本上统一了两河流域的中下游。 古巴比伦人书写记数的方法很奇特。他们用一种断面成三角形的笔在粘土泥板上刻画成楔形符号，然后把泥板烘干，就形成了泥板书。后来，古巴比伦城被毁，但由于这些泥板被烧过而侥幸存留下来。 19世纪前期，人们在亚洲西部伊拉克境内发现了50万块泥版，上面密密麻麻地刻有奇怪的符号。这些符号实际上就是巴比伦人所用的文字，人们称它为“楔形文字”。科学家经过研究发现，泥版上记载的，是巴比伦人已获得的知识，其中有大量的数学知识和天文学知识。苏美尔计数泥版(文达, 1982)楔形文字普林顿322号泥板书普林顿322号泥板书 古人用手指计数。一个指头代

17、表1，两个指头代表2，到数到10时，就要重新开始。由此巴比伦人产生了“逢十进一”的概念。又因为，一年中月亮有12次圆缺，一只手又有5个手指头，12560，这样他们就又有了每隔60进一的计数法。1、古巴比伦的记数法与60进位制古巴比伦人为什么要采用60进位制呢？ 有人认为，以60为基数比较方便，它是2、3、4、5、6、10、15、20、30、60的倍数，可以使计算简化。 也有人认为， 其中12是一年中包含的月份数， 5是一只手的手指数。 这种计数方法也影响了后人，我们现在的六十进制，就是从这里来的。比如，1小时60分 1分钟60秒的时间分法就是巴比伦人创立的。再如，把圆分为360度，1度60分的

18、角度度量制也是巴比伦人的贡献。 在泥版上，巴比伦人用“”表示1，用“”表示10，对60以内的整数采用简单的十进叠加法，通过和的组合实现。 大于60的数用位值制记数法表示。如 3460+252065 他们用留空位的方法表示0，所以他们写得数的意义是不定的，很容易造成误解。因此，这种位值制是不彻底的，因为其中没有零号。除了整数外，他们还使用60进位制的分数。 同一个记号，根据它在数字表示中的相对位置而赋予不同的值，这种位值原理是一项突出成就，比古埃及人进步。但这种记数法并不完善，因为位置的区分是靠在不同的楔形记号间留空。 如 既可表示为 26020140 又可表示为2、古巴比伦的算术 巴比伦人还掌

19、握了许多计算方法，并且编制了各种数表帮助计算。在这些泥版书上就发现了乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根表和立方根表。其中平方根表中给出了一些精确度较高的近似值，如 巴比伦人很会做买卖，他们当时就已经开始使用帐单、收据这样的东西。指数表据专家猜测可能是用来解决复利问题的。倒数表则用于把除法化为乘法。3、古巴比伦的代数 兄弟10人分5/3米那的银子（米那和后面的赛克尔都是巴比伦人的重量单位，其中1米那60赛克尔），相邻的兄弟俩，比如老大和老二、老二和老三，所分银子的差相等，而且老八分的银子是6赛克尔，求每人所得的银子数量。 巴比伦人已会解一些代数方程的问题。他们能用相当于代入一般公式的方法去解二

20、次方程。由于他们没有负数的概念，所以二次方程的负根不予考虑。另外，他们还会解某些三次方程和双二次方程。 从这个例子可以看出，巴比伦人已经知道了“等差数列”这个概念。巴比伦泥版上有这样一个问题： 此外，巴比伦人已有了级数的概念。在一块泥版上刻有2个级数的问题：从中可以看出，巴比伦人已经知道：4、古巴比伦的几何知识 古巴比伦人的几何知识与他们在代数上所取得的成绩相比，相对要逊色得多。 巴比伦几何学的主要特征是它的代数性质，一些较复杂的问题虽然以几何术语表达，但在实质上是一些特殊的代数问题。 因此，他们认为，几何并不重要。因为实际中的几何问题都很容易地转化为代数问题。这块3800年前的泥板用楔形文字

21、和图案列出了一系列几何练习题，年轻的巴比伦学生被要求计算出正方形内各个不同面积。 巴比伦几何学是与实际测量有密切联系的。从许多具体例子可以看到，巴比伦人在公元前2000到1600年，就已熟悉了计算长方形、直角三角形和等腰三角形（也许还不知道一般三角形）面积，直角梯形面积，长方体的体积以及以特殊梯形为底的直棱柱体积的一般规则。 他们知道取直径的三倍为圆周，取圆周平方的1/12为圆面积（两者对于=3都是正确的），还用底和高相乘的方法求得直圆柱的体积。错误地认为圆锥或方棱锥的平头截体的体积是两底面积的一半与高的乘积。他们也知道，两个相似的直角三角形的对应边成比例，过等腰三角形顶点所作的底边的垂线平分

22、底边，内接于半圆的角是直角。他们还知道毕达哥拉斯定理。亚述-巴比伦时期的楔形文字 “毕达哥拉斯定理”5、古巴比伦的天文学 我们生活的“星期制度”来源于古巴比伦。古巴比伦人把一年分成12个月，7天组成一个星期，这7天分别以太阳、月亮、金、木、水、火、土七星来命名，每个星主管一天。如太阳神主管星期天（Sunday）。它是一个星期的最后一天，用来举行宗教礼拜，叫安息日（即礼拜天）。 下述事实证明巴比伦人很早就已使用日历。他们的年是从春分开始的。并且一月是以金牛座命名的，由于在公元前4700年左右春分时太阳在金牛座。因此说巴比伦人远在公元前四、五千年就有了某种历法推算，似乎不无道理。古巴比伦数学发展概况小结 巴比伦数学发展的概况表明，在远古时代，巴比伦人就已积累了一定的数学知识，但这些积累的知识仅仅是观察和经验的结果，还缺乏理论上的依据。这些结果都没有作出证明。 从古埃及和古巴比伦的数学可以看出，其内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。 古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对来说，他们的60进位记数法为基础的算术与代