无母数统计方法 符号检定法 W-符号等级检定法 W-等级和检定法 K-W检定

1、 無母數統計方法符號檢定法W-符號等級檢定法W-等級和檢定法K-W檢定法連檢定結論 114.1 無母數統計方法(1/2)無母數統計方法是指在母體分配未知、非常態母體或小樣本條件下，利用樣本資料之大小順序或等級的特性來進行統計推論之方法。由於無母數統計方法之限制條件少且僅利用樣本之部分資訊(資料之順序或等級)，因此其檢定的結果往往不如有母數統計方法來得有效率，不過也因為無母數統計方法無須事先假設母體具某一特定分配，因此其推論之對象不限於任何母體，均可進行統計推論。214.1 無母數統計方法(2/2)一般常用之無母數統計方法有以下幾種：(1)符號檢定法(sign test)：用於檢定單一母體中央趨

2、勢與 成對母體之中央趨勢或分配是否相同之方法。(2)W-符號等級檢定法(Wilcoxon signed rank test)：用於 檢定單一母體中央趨勢與成對母體之中央趨勢或分配 是否相同之方法。(3)W-等級和檢定(Wilcoxon rank-sum test)：用於檢定兩 獨立母體中央趨勢或分配是否相同之方法。(4)K-W檢定(Kruskal-Wallis test)：用於檢定三個或三個 以上獨立母體中央趨勢或分配是否相同之方法。(5)連檢定(run test)：檢定資料是否為隨機樣本之方法。314.2 符號檢定法(1/7)單一母體中央趨勢檢定之步驟(符號檢定)若統計假設 (或 ， ) &

3、 (或 ， ) 且蒐集一組隨機樣本資料 ，則其符號檢定之步驟如下：(1)令 ，計算 集合中符號為正的個數， 以 表之。(2)以 為檢定值，則 雙尾檢定之P值 ，其中 k 表資料 中 之個數。 左尾檢定之P值 。 右尾檢定之P值 。其中(3)若P值小於顯著水準 ，則拒絕 ，否則便接受 。參見例14.1414.2 符號檢定法(2/7)例題14.1某一廠牌行動電話宣稱銷售量之中位數為85(千支/天)，今隨機抽取此廠牌行動電話過去12天之銷售量如下：(單位：千支)58, 66, 88, 79, 85, 95, 86, 67, 82, 75, 68, 55請以顯著水準 ，用符號檢定法來檢定此廠商宣稱是否

4、為真？【解】 令 表此廠牌行動電話銷售量之中位數，可建立假設為 & ， (1)令 ，則其對應之符號如下： 所以 。58 66 88 79 85 95 86 67 82 75 68 55 27 19 3 6 0 10 1 18 3 10 17 30 符號 +514.2 符號檢定法(3/7)承上頁，(2) 因此無法拒絕 ，只好勉強接受手機銷售量之中位數為 85千支。614.2 符號檢定法(4/7)檢定成對母體中央趨勢或分配是否相同之步驟(符號檢定)若統計假設 兩成對母體之中位數或分配相同 & 不成立，且蒐集一組成對隨機樣本資料 ，則符號檢定步驟如下：(1)令 ，計算 集合中符號為正的個數， 以 表

5、之。(2)以 為檢定值，計算P 值 ，其中k 表資料中 之個數，且 。(3)若P 值小於顯著水準 ，則拒絕 ，否則便接受 。參見例14.2714.2 符號檢定法(5/7)例題14.2若我們想了解學校餐廳更換餐廳廚師後，學生對其更換廚師前、後的評價之分佈是否相同，因此隨機抽出6位同學對餐廳做評量，其所得之分數如下：試以顯著水準來檢定學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價是否有顯著差異？【解】令 表學生對學校餐廳更換廚師前的評分， 表學生對學校餐廳更換廚師後的評分；假設 學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價相同& 學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價不同。更換廚師前407883586558更換廚師後626

6、568697462814.2 符號檢定法(6/7)承上頁，(1)令 ，則其對應之符號如下： 所以 。(2) 因此無法拒絕 ，即學生對學校餐廳更換廚師前、後的 評價無顯著差異。2213151194符號+914.2 符號檢定法(7/7)由於在大樣本條件下，根據中央極限定理可得二項分配近似於常態分配，即 因此，在大樣本條件下，上述所介紹之符號檢定法可利用 來進行檢定，以 為檢定值，則其決策法則如下：(1)右尾檢定：拒絕域為 ，P值 。(2)左尾檢定：拒絕域為 ，P值 。(3)雙尾檢定：拒絕域為 ，P值 。1014.3 W-符號等級檢定法(1/7)單一母體中央趨勢之決策法則(W-符號等級檢定)若一組隨

7、機樣本資料 中有 k 個資料與 相等，則其W-符號等級檢定之決策法則如下：(1)右尾檢定 ，令檢定值 ，則其拒 絕域為 。(2)左尾檢定 ，令檢定值 ，則其拒 絕域為 。(3)雙尾檢定 ，令檢定值 ，則其拒絕域為 。 參見例14.41114.3 W-符號等級檢定法(2/7)例題14.4承例14.1，請以顯著水準 ，利用W-符號等級檢定法來檢定此廠商宣稱是否為真？【解】依題意，可建立假設為 & ，令 ，則其對應之 、 、等級 及符號如下：-27-193-60101-18-3-10-17-3027193601011831017301092.545.5182.55.5711符號1214.3 W-符號

8、等級檢定法(3/7)承上頁，由此可得， 、 ，所以檢定值 。而查W-符號等級表可得其拒絕域為 ，因為檢定值 ，落在拒絕域，故拒絕 ，即手機銷售量之中位數並非85千支。1314.3 W-符號等級檢定法(4/7)檢定兩成對母體中央趨勢或分配是否相同之步驟若統計假設 兩成對母體之中位數或分配相同 & 不成立，且蒐集一組成對隨機樣本資料，則其檢定之步驟如下：(1)令 ，則扣除 資料後，再計算 之順序等級 及 與 。(2)以 為檢定值，則其拒絕域為 ，其中 k 表資料中 之個數。(3)若檢定值 落在拒絕域，則拒絕 ，否則便接受 。參見例14.51414.3 W-符號等級檢定法(5/7)例題14.5承例1

9、4.2，利用W-符號等級檢定法來檢定學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價是否有顯著差異？【解】依題意，可建立假設為 學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價相同& 學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價不同，令 ，則其對應之 、 、等級 及符號如下：-221315-11-9-42213151194645321符號1514.3 W-符號等級檢定法(6/7)承上頁，由此可得， 、 ，所以檢定值 。而由W-符號等級表可得其拒絕域為 ，因此檢定值 ，未落在拒絕域，故無法拒絕 ，即學生對學校餐廳更換廚師前、後的評價無顯著差異。1614.3 W-符號等級檢定法(7/7)在大樣本條件下，當 成立時，W符號等級檢定之 或

10、 似於常態分配，且其平均數與變異數為 因此，在大樣本條件下，上述所介紹之W-符號等級檢定法可以 為檢定值來進行檢定，其決策法則如下：(1)單尾檢定：拒絕域為 ，P值 。(2)雙尾檢定：拒絕域為 ，P值 。1714.4 W-等級和檢定法(1/3)檢定兩獨立母體之中央趨勢或分配是否相同之步驟 若統計假設 兩獨立母體之中央趨勢或分配相同 & 兩獨立母體之中央趨勢或分配不同，且蒐集兩組獨立隨機樣本資料 與 ，其中 ，則其W-等級和檢定之步驟如下：(1)將兩組樣本資料混合後加以排序，計算 所對應之 順序等級 (若樣本中有相同之觀測值，則此時所對應之順序等 級值取其等級之平均數) 與 。(2)以為檢定值

11、，其拒絕域為 ，P值(3)若檢定值落在拒絕域或 P 值小於顯著水準 ，則拒絕 ，否則 便接受 。 參見例14.61814.4 W-等級和檢定法(2/3)例題14.6假設隨機由新竹市及新竹縣分別抽出10位及8位民眾做調查，發現他們對全民健保的滿意分數如下： 新竹市 83 70 64 75 85 50 65 90 45 60 新竹縣 70 68 59 61 79 81 84 88試以顯著水準 來檢定兩地區民眾對全民健保之滿意度是否有顯著地差異？【解】依題意可建立假設如下： 兩地區民眾對全民健保之滿意度相同& 兩地區民眾對全民健保之滿意度不同，利用W-等級和檢定，步驟如下頁所示。1914.4 W-等

12、級和檢定法(3/3)承上頁，(1)兩組樣本資料混合後加以排序，其對應之順序等級如下： 新竹市 14 9.5 6 11 16 2 7 18 1 4 新竹縣 9.5 8 3 5 12 13 15 17 其中樣本中有兩筆資料等級均為9，因此須取9與10之平均數，即為9.5。另外因為新竹縣之樣本個數較小，因此 (2)檢定值 ，(3)查表可得其拒絕域為 ，因此檢定值未 落在拒絕域，故無法拒絕 ，即兩地區民眾對全民健保之滿 意度無顯著差異。20檢定獨立母體之中央趨勢或分配是否相同之步驟 若統計假設 組獨立母體之中位數或分配相同& 組獨立母體之中位數或分配不同，且蒐集 k 組獨立隨機樣本資料 ， ，並取總樣

13、本數 ，則K-W檢定之步驟如下：(1)將 ， 之 k 組樣本資料混合後加以排序， 並計算 所對應之順序等級 與順序等級和(2)以 為檢定值，其拒絕域為 ，P值 。(3)若檢定值落在拒絕域或 P 值小於顯著水準 ，則拒絕 ，否則 便接受 。14.5 K-W檢定法(1/3) 參見例14.721例題14.7某研究者想比較A、B、C、D四條生產線之生產量，於是隨機檢查此四條生產線各三天之生產量，得其結果如下表，請以K-W檢定法檢定不同的生產線之產量分配是否有顯著差異？( )【解】 依題意可建立假設如下： ：四條不同生產線之產量分配相同& ：四條不同生產線之產量分配不同，K-W檢定之步驟如下：14.5

14、K-W檢定法(2/3) 生產線ABCD25625220831624328616729827924722234322承上頁，(1)將樣本資料混和後加以排序，其等級如下： 由此可得 (2)檢定值(3)其拒絕域為 ，檢定值落在拒絕域， 故結論為拒絕 ，即四條生產線之產量分配有顯著地差異。14.5 K-W檢定法(3/3) ABCD7621149110853122314.6 連檢定(1/3)連檢定(run test)用於檢定資料是否為隨機樣本之統計方法，其主要觀點是考慮資料之連數。(一)連數在樣本資料中，相鄰且性質相同之資料稱之為連(run)，而一組樣本中連的個數則稱之為連數(runs)。 例題14.8

15、某次研究所入學考試學生口試之順序如下： 女,女,男,男,男,女,男,女,女試求此組資料之連數。【解】 因為 女,女 , 男,男,男 , 女 , 男 , 女,女 為5個不同的連，因此其 連數為5。參見例14.82414.6 連檢定(2/3)(二)檢定資料是否為隨機樣本之步驟 若統計假設 ：資料為隨機樣本& ：資料非隨機樣本， 且蒐集一組樣本 ，則連檢定之檢定步驟如下： (1)將資料分成兩類，依序表示 之符號，以正負號 表示。 (2)計算此資料之連數 及此資料中不同符號之個數 、 ， 其中 。 (3)以為 檢定值，計算 P 值 若 ，則 P 值 ， 若 ，則 P 值 。 (4)若 P 值小於顯著水準 ，則拒絕 ，否則便接受 。參見例14.92514.6 連檢定(3/3) 例題14.9假設某次管理學考試是非題答案之順序如下：試檢定此答案是否具有隨機性。【解】 依題意可建立假設如下： ：此答案具有隨機性& ：此答案不具隨機性 而由資料可得 且 ， 由此可得