人教A版(选修1-1)2.3《抛物线》同步测试

1、选修抛物线一、选择题1(2018 衡水七校联考 )抛物线 y2 ax(a 0)的焦点到其准线的距离是()|a|a|A. 4aB. 2C|a| D 2答案B|a|a|2解析y ax， p2 ，即焦点到准线的距离为2 ，故选 B.已知点P是抛物线22x 上的一个动点， 则点 P 到点 (0,2)的距离与 P 到2y该抛物线准线的距离之和的最小值为()17A. 2B39C. 5D.2答案A解析记抛物线 y2 2x 的焦点为 F，准线是直线 l，则点 F 的坐标是 (1，0)，2由抛物线的定义知点P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离，因此要求点 P到点 (0,2)的距离与点 P 到抛物线的准

2、线的距离之和的最小值， 可以转化为求点 P到点 (0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应F 与点 (0,2)的距离，因此所求的最小值等于1 222的最小值就等于焦点217，选 A.23(2018 皖南八校 )已知点 P 是抛物线 y22x 上的动点，点 P 到准线的距离为 d，且点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A(7，4)，则 |PA|PM|的最小值是 ()72A.2B49C.2D5答案C17设抛物线 y22x 的焦点为 F，则解析F(2，0)，又点 A(2，4)在抛物线的1外侧，抛物线的准线方程为x 2，19则|PM|d2，又 |PA|d|PA|

3、|PF|AF| 5，所以 |PA|PM|2.故选 C.与直线 平行的抛物线y 2x2 的切线方程是 ()44x y3 0A4x y 1 0B 4xy10C4x y 20D 4xy20答案C解析y 4x 4 x1，y2，过 (1,2)斜率为 4 的直线为 y 2 4(x 1)辽宁卷设抛物线y28x 的焦点为 F，准线为 l ，P 为抛物线上一点，5 (2018)PAl， A 为垂足如果直线 AF 的斜率为 3，那么 |PF|()A43B8C83D16答案B解析由抛物线的定义得， |PF|PA|，又由直线 AF 的斜率为3，可知 PAF60.4PAF 是等边三角形， |PF| |AF|8.cos6

4、0 6(2018 东卷山 )已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 ()Ax1B x 1Cx2D x 2答案Bp，0)，所以过焦点且斜率为解析抛物线的焦点 F(1 的直线方程为 y xpp2p22222，即 xy2，将其代入 y 2px2p(y 2)2pyp ，所以 y2pyp 0，1 y2y24x，准线方程为 x 1，故选 B.所以 y p 2，所以抛物线的方程为2二、填空题7如果直线 l 过定点 M(1,2)，且与抛物线y2x2 有且仅有一个公共点，那么 l 的方程为 _答案 x 1

5、或 y4x 2解析 当过 M(1,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为 x1，与抛物线有一个交点；当 M(1,2)的直线的斜率存在时，设直线方程： y k(x1)2，与抛物线方程联立得 2x2k(x1) 2 0，此时 0，解得 k4，故直线方程为 y4x2.故 x1 或 y 4x 2.8过抛物线 y2 4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，则 |AB|等于 _答案8解析 抛物线的准线方程为 x 1，则 AB 中点到准线的距离为 3( 1) 4.由抛物线的定义得 |AB|8.9(09 福建 )过抛物线 y2 2px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45

6、的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p _.答案 2解析设点 A、B 的坐标分别为 (x1，y1)，(x2 ，y2，过抛物线y22px(p0)pp22的焦点 F 作倾斜角为 45的直线方程为 yx2，把 xy2代入 y 2px得， y2px p2 0，|AB|8，|y1 y2|4 2， (y1 y2)24y1y2(4 2)2，(2p)24 (p2)32，又 p0， p2.1 210抛物线 y 2x 上距离点 A(0，a)(a0)最近的点恰好是其顶点，则a 的取值范围是 _答案0a1解析设抛物线上一点 P(x，y)，则|PA|2x2(y a)22yy22aya2y2 2

7、(a 1)y a2 y(a 1)22a 1.y0，当 a10，即 a1 时， |PA|2 有最小值，而|PA|有最小值，此时 y 0，故 0b0)的左、右焦点分别为yab的焦点为F，若 F1F 3FF 2，则此椭圆的离心率为 _答案22解析b， 22，F(，0)，F1 c,0)且 1F3FF2(F (c,0)Fbbb3b2F1( c,0)，FF 2(c ，0)， c3c，即2b 2c.bc. aF2222 b2c22c2 c e 2.a2 .)过抛物线 x22py(p0)的焦点作斜率为 112 (2018 南卷，理湖的直线与该抛物线交于 A， B 两点， A，B 在 x 轴上的正射影分别为D，

8、 C.若梯形 ABCD的面积为 122，则 p _.答案2解析依题意，抛物线的焦点 F 的坐标为 (0，p ，设A(x1， y1)，2，y2 ，p2)p2B(x)2直线 AB 的方程为 y2x，代入抛物线方程得， y3py 4 0，故 y1 y23p， |AB| |AF| |BF| y1 y2p 4p，直角梯形有一个内角为 45， 故 |CD|22112 |AB| 2 4p22p，梯形面积为2(|BC|AD|)|CD| 2 3p22p3 2p2 12 2，p2.13(2018 合肥第一次质检 )当 x1 时，直线 yaxa 恒在抛物线 yx2 的下方，则 a 的取值范围是 _答案(， 4解析y

9、x2，整理可得 x2 axa0，当a24a由题可知，联立yaxa 0，解得 a 0 或 a 4，此时直线与抛物线相切，因为直线恒过定点(1,0)，结2合图形可知当 a( ，4)，x1 时直线 y axa 恒在抛物线 yx 的下方14已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，设 A、B 是抛物线 C 上的两个动点 (AB 不垂直于 x 轴)，且|AF|BF|8，线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q(6,0)，求此抛物线的方程解析设抛物线的方程为y22px(p0)，p其准线方程为 x 2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 |AF|BF|8，p所以 x12x228，

10、即 x1x28p.因为 Q(6,0)在线段 AB 的中垂线上，所以 QAQB，即(x1 6)2 y21(x26)2 y22，又 y212px1， y222px2，所以 (x1x2)(x1 x2 12 2p)0， x1 x2 ， x1 x212 2p故 8 p122pp4所求抛物线方程是 y28x15 (2018沧州七校联考 )已知过点 A(4,0)的动直线l 与抛物线 G：x212py(p0)相交于B、C 两点当直线 l 的斜率是时， AC4AB2.(1)求抛物线 G 的方程；(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围11解(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线 l 的斜率是2时， l 的方程为 y2(x 4)，即 x 2y4.22py，x得 2y2(8p)y80，由x 2y41 24，y y8p又 AC 4AB， y24y1，1 y2，y2由及 p0 得： y11，y24，p2，则抛物线 G 的方程为 x24y.(2)设 l： y k(x 4)，BC 的中