概率课件：1.5独立性及习题

1、一、事件的相互独立性二、几个重要定理三、典型例题1.5 独立性则有1.引例一、事件的相互独立性 事件A 与事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件B 发生的概率无关.说明 2.定义例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 因此，事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2本问题也可以通过条件概率来解决: 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 所以事件A、B独立. 由于“甲命

2、中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲命中, B=乙命中，A与B是否独立？例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率） 在实际应用中, 往往 根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai=第 i 件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.说明 与任意事件相互独立的事件 必然事件，不可能事件， 概率为1 的事件，概率为0的事件 独立的充要条件 独立与互不相容

3、两事件相互独立两事件互斥例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系由此可见两事件可以互斥可以相容但不独立.设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.两事件相互

4、独立两事件互斥但思考：两事件相互独立与两事件互斥的关系？一般二者之间没有必然联系A, B相互独立A, B不互斥A, B互斥A, B不相互独立3.三事件两两相互独立的概念注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立4.三事件相互独立的概念例 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色，第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问 A，B，C是否相互独立?解由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面，因此又由题意知故有因此 A，B，C 不相互独立.则三事件 A, B, C 两两独立.由于n 个事件相互独立n个事

5、件两两相互独立推广二、几个重要定理推广 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?射击问题例1三、例题讲解解事件 B 为“击落飞机”, 例3解 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 , 例4i=1,2,3因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为伯努利概型Bernoulli（伯努利）试验：只有两个可能的结果 A和A的

6、试验n重Bernoulli试验：设E为伯努利试验， 将E独立地重复进行n次n重伯努利试验有下面四个约定： （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变，（3）各次试验相互独立,（4）共进行了n次.（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一,定理 n重伯努利试验,事件A在n次试验中出现k次 的概率为 证明：由n重伯努里试验定义，事件A在某指定的k次试验中出现，而在其余n-k次试中不出现的概率为 pk(1-p)n-k = pkqn-k 而在n次试验中事件A发生k次共有Cnk种不同情况，对应的事件为互不相容的，由概率的有限可加性其中,X 表示n次伯努利试验中,事件A出现的次数.显然，例 袋中有3

7、个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.解 每取一个球看作是做了一次Bernoulli试验记取得白球为事件 A ，有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验。设4次试验中A 发生的次数为X,则A发生2次的概率为伯努利概型巴拿赫火柴问题 一位吸烟的数学家总带着两盒火柴，每盒有N根.一盒放在左边的衣袋中，另一盒放在右边的衣袋中.每当他需要用一根火柴时，就等可能的从其中任一个衣袋中取用.问他第一次发现其中一盒是空的，而另一盒正好还有k根（k0，1，2,N）火柴的概率是多少？ 本章总结 -用集合工具解决概率的计算问题一个定义：概率的公理化定义一个公式：

8、贝叶斯公式两个关系：独立与互不相容三个概型：古典、几何和伯努利 事件的运算法则 概率公理化定义1 非负性： 对于每一个事件A，有 P(A)0 ； 2 规范性: 对于必然事件S , 有P(S)=1；3 可列可加性 设A1，A2， 两两互不相容,则P(A1A2 )=P( A1)+P(A2 )+ 事件间的关系(1) P()=0 概率的性质(2)(有限可加性) 若A1，A2， An 两两不相容， P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+ +P(An)(3) 若A B，则有 P(B A)=P(B) P(A) ; (5) 对于任一事件A，有P(A )=1 P(A)，(4) 对于任一事件A，有P(A)1

9、， 一般有 P(B A)=P(B) P(AB)(6) (加法公式) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)- P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)等可能概型(古典概型)满足样本空间有限，及等可能性的随机试验古典概型中事件A的概率的计算公式独立性设A,B是两事件,如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B)， 则称事件A,B为相互独立的随机事件.几个重要公式1.条件概率2.乘法公式 P(AB)=P(B|A)P(A) (P(A)0)，3.全概率公式4.贝叶斯公式. 1.已知 0P(A)1,0P(B)1, P(A

10、|B)+P(A|B)=1,则( ) (A) 事件A和事件B互斥; (B) 事件A与B对立 ; (C) 事件A和事件B 不独立; (D) 事件A和B 相互独立.例题2.设当事件A与B同时发生时,事件C必发生, 则下列 结果正确的是( ). (A) P(C)P(A)+P(B)-1; (B) P(C)P(A)+P(B)-1; (C) P(C)=P(AB); (D) P(C)= P(AB). 3. 某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。 (与互逆) 解: 设 4. 信号收发问题 应用背景 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概

11、率为，而输出为其他一字母的概率都是(1)/2.今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的.） 信号输入信道后，有可能由于硬件原因，使得输出的信号与原始信号有差异.此时可以根据已知的条件，求得出现误差的概率. 5.设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0,1,2个次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4个。若无次品，则买一箱玻璃杯，否则不买。 求：1）顾客买此箱玻璃杯的概率； 2）在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有次品的