复变函数课件：第六章 共形映射

1、1 共形映射的概念第六章 共形映射 本章将从几何的角度来研究复变函数，特别是要 弄清楚解析函数的几何映射特征。 具体地说，平面上的曲线或者区域经映射 后，在 平面上的象到底发生了什么变化？ 1映射后， 可以看出，曲线被伸缩和旋转。 如图，过 点的曲线 经 变成了过 点的曲线 1.解析函数的导数的几何意义切线 切线 (平均伸缩率) 定义 称 为曲线 经 映射后 在 点的伸缩率 。 定义 称 为曲线 经 映射后 在 点的旋转角。 2 设函数 在区域 D 内解析， 且 为曲线 在 点的伸缩率。 为曲线 在 点的旋转角。 切线 切线 (几何意义)32. 旋转角不变性 任何一条经过 点的曲线的 旋转角均

2、为 即 3. 保角性 由 即 保持了两条曲线的交角的大小与方向不变。 1. 伸缩率不变性 任何一条经过 点的曲线的 伸缩率均为 切线 切线 4定理一 设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且 f (z0)0, 则映射w=f (z)在z0具有两个性质:1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所 得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。2)伸缩率的不变性. 即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均 为|f (z0)|而与其形状和方向无关.5例1 求w = f(z)=z3 在 z=0, z=i 处的导数值,并说明几何意义。解： w = f (z) = z3在全平面解析，

3、f (z) = 3 z2。在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为3，旋转角为 。62. 共形映射的概念定义 设函数w = f (z)在z0的邻域内是一一的, 在z0具有保角性和伸缩率不变性, 则称映射w = f (z)在z0是共形的, 或称w = f (z)在z0是共形映射. 如果映射w = f (z)在D内的每一点都是共形的, 就称w = f (z)是区域D内的共形映射. 仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保角映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为第二类保角映射。例如 是第二类保角映射。7定理二 如果解析函数w=f (z)在 D内是一一的， 且处处

4、 有f (z)0, 则映射w=f (z)是 D内的共形映射；而且 Arg f (z)表示这个映射在 点z的转动角, |f (z)|表示 伸缩率. 共形映射是把区域双方单值的映射成区域，在每一点保角，在每一点具有伸缩率不变性。例如函数 在 是第一类保角的； 在 是共形的。82 保形映射的基本问题问题一:已知两个单连通域D与G找一个解析函数使其将 D保形地映射为G.(意义:1.用适当的保形映射把较复杂的平面区域及边界映射为较简单的平面区域及边界;2.Laplace方程的解经保形映射对新的变量来说仍是Laplace方程的解)9定理一（黎曼定理)对边界多于一点的任意两个单连通域 D和 G，对任意给定的

5、实数总唯一存在把一一映射为的DG10问题二：已知和定义在上的解析函数求象区域 并讨论 f (z)的保形性。定理二（保域性）解析函数（不恒为常数）把区 域映射为区域。定理三（边界对应原理）设区域 D的边界为简单闭曲线C， 上解析，则将C 一一地映射为区域G的边界 ，且保边界方向。11 在原象曲线C上取定三点z1,z2,z3, 它们在象曲线上的对应点分别为w1,w2,w3. 如果C 依z1z2z3的绕向与 依w1w2w3的绕向相同,则C的内部就映射成 的内部, 否则映射成 的外部。z1z2zz3w1w2w3ww1w2w3w12例如倒映射圆映射为圆保边界方向132 分式线性映射分式线性映射14 可将

6、一般的分式线性映射分解为一些简单映射的复合:),(,2为常数BABAw+=z,1,121则令=+=zzdgzzw=+=dgzbazBA15由此可见, 一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成:下面讨论三种映射的几何特点, 为了方便, 暂且将w平面看成是与z平面重合的.16i)w=z+b. 这是一个平移映射. 因为复数相加可以化为向量相加, z沿向量b的方向平移一段距离|b|后, 就得到w.O(z)(w)zwb17ii) w=az, a0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射. 设 a=leia 将 z 先转一个角度a, 再将|z|伸长(或缩短) l倍后, 就得到 w.O(z)=(

7、w)zwa18圆周的对称点因为DOPT相似于DOPT. 因此,OP:OT=OT:OP, 即OPOP=OT2=r2.CPPrTOP与P 关于圆周C互为对称点,如果OPOP=r2。19zw1w1可见倒代换含有两个对称性201.保角性分式线性映射的几何性质角21而i)与ii)是平移，旋转和伸缩变换显然是保形的，所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面上是保形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,因此有定理一 分式线性映射在扩充复平面上是 一一对应的, 且具有保角性。角22映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性, （这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作保圆性. 映

8、射w=az+b显然具有保圆性,下面说明w=1/z具有保圆性.2.保圆性23 因此, 映射w=1/z将方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0变为方程 d(u2+v2)+bu-cv+a=0。 当a0,d0：圆周映射为圆周; 当a0,d=0：圆周映射成直线; 当a=0,d0：直线映射成圆周； 当a=0,d=0：直线映射成直线. 这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者说, 映射w=1/z具有保圆性.24 根据保圆性, 在分式线性映射下, 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 则它就映射成半径为有限的圆周; 如果有一个点映射成无穷远点, 它就映射成直线.定理二 分式线性映射将扩充

9、 z平面上的圆周映射 成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.25以倒映射为例：（且具有保角性）26 (I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;讨论两个圆周所围区域在线性映射下情况： 保圆性保角性可能有旋转和伸缩27(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时, 这二圆 周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域;(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.28z1,z2是关于圆周C的一对对称点的充要条件是经过z1,z2的任何圆周G 都与C正交.Cz0z1z2zG3. 保对称点性29定理三 设点

10、z1,z2是关于圆周C的一对对称点, 则 在分式线性映射下, 它们的象点w1与w2 也是关于C的象曲线C 的一对对称点.证 设经过w1与w2的任一圆周G 是经过z1与z2的 圆周G 由分式线性映射过来的. 由于G 与C正 交, 而分式线性映射具有保角性, 所以G 与C (C的象)也必正交, 因此, w1与w2是一对关于C 的对称点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 303 唯一决定分式线性映射的条件分式线性映射中含有四个常数a,b,c,d. 但是, 如果用这四个数中的一个去除分子和分母, 就可将分式中的四个常数化为三个常数. 所以, 上式中实际上只有三个独立的常数. 因此, 只需给定三个条件

11、, 就能决定一个分式线性映射.31定理 在z平面上任意给定三个相异的点 z1,z2,z3, 在w平面上也任意给定三个 相异的点w1,w2,w3, 则存在唯一的分 式线性映射, 将zk(k=1,2,3)依次映射 成wk(k=1,2,3).32由此得因而有及 3334C2C1x1-ii-1C1C2y(z)OvOu(w)35解 所设的两个圆弧的交点为-i与i, 且相互正交. 交点-i映射成无穷远点, i映射成原点. 因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域, 张角等于p/2.此点在第三象限的分角线C1上. 由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.36例2 求将上半平面Im(z)0映射成单

12、位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成|w-2i|2且满足条件 w(2i)=2i, arg w(2i)=-p/2的分式线性映射.2i(z)O(z)2i(w)z=(w-2i)/243解 容易看出, 映射z=(w-2i)/2将|w-2i|2映射成|z|0映射成|z|0映射成|1)444 几个初等函数所构成的映射1. 幂函数函数 (n2为自然数)在z平面内处处可导,且因而当z0时, 的前提下z平面内除去原点外, 所构成的映射处处保形.所以,在1-1映射令(圆周映为圆周)(射线映为射线)映射特点:以原点为顶点的角形域(扇形域)映射 成以原点为顶点的角形域(扇形域), 但张角变成了原

13、来的n倍.45角形域:角形域:(由单值性可知 )O(z)q0O(w)nq0w=zn特别(沿正实轴剪开的W平面).(z)O(w)O上岸下岸w=zn46例1 求把角形域 映射成单位圆|w|1 的 一个映射.解:故所求映射为:47(z)O1(w)= z4O( )48解49502. 指数函数 函数 在z 平面内 所以,由 所构成的映射是 上的保形映射.= e x ：z平面上垂直线段 x 映射成w平面上圆周r；设 z =x+iy, w =r e ij, 则由w = e z =e x+iy =r e ij 推出j = y： z平面上水平直线 y 映射成w平面上射线j 。（x=0-不封闭单位圆周, x0 -

14、单位圆外）带形域 0Im(z)a 映射成角形域 0arg wa.51带形域 0Im(z)a 映射成角形域 0arg wa.aiOxy(z)arg w=auOv(w)w=ez 特别是带形域 0Im(z)2 映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w 2 .z=lnw2piOxy(z)Ouv(w)52由指数函数w = e z 所构成的映射的特点是: 把水平的带形域0Im(z)a(a2 )映射成角形域0arg w a. 例3 求把带形域0Im(z)p映射成单位圆|w|1的一个映射.53例4 求映射把如图所示的半带状域映成上半 单位圆。1-11-154O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-

15、a例5 求把带形域 aRe(z)0的一个映射.O(t)(b-a)i55例6 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射.aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii56aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii157解 令C1,C2的交点z=i与z=-i分别映射成z平面中的z=0与z=, 将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:其中k为待定的复常数.58例7 求把具有割痕Re(z)=a, 0Im(z)h的上半 平面映射成上半平面的一个映射.xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCD解 不

16、难看出, 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平.由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍, 所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的.59xOy(z)C(a+ih)BDavOu(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a60首先, 把上半z平面向左平移一个距离a:z1=z-a. 第二, 由映射z2=z12, 得到具有割痕-h2Re(z2)+, Im(z2)=0的z2平面. 第三, 把z2平面向右作一距离为h2的平移: z3=z2+h2, 便得到去掉了正实轴的z3平面.61例5 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式 线性映射.x1y(z)OaOuv(w)162解 设