2022届安徽省皖中名校高考数学三模试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设是虚数单位，若复数，则（ ）ABCD2已知角的终边经过点，则的值是A1或B或C1或D或3已知函数且，则实数的取值范围是( )ABCD4我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都

2、可以表示为两个素数的和，例如：，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）ABCD5三棱锥中，侧棱底面，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD6周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“-”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ）A18B17C16D157为实

3、现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：实施项目种植业养殖业工厂就业服务业参加用户比脱贫率那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）A倍B倍C倍D倍8正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD9已知向量，夹角为， ，则( )A2B4CD10已知等差数列中，则数列的

4、前10项和（ ）A100B210C380D40011已知集合，则集合真子集的个数为（ ）A3B4C7D812的二项展开式中，的系数是（ ）A70B-70C28D-28二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 “直线l1：与直线l2：平行”是“a2”的_条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）14已知是同一球面上的四个点，其中平面，是正三角形，则该球的表面积为_.15已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_16在ABC中，()(1)，若角A的最大值为，则实数的值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如

5、图，已知三棱柱中，与是全等的等边三角形.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值18（12分） 选修4 5：不等式选讲 已知都是正实数，且，求证: 19（12分）中国古代数学经典数书九章中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）.（1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20（12分）以坐标原点为极点，轴

6、正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）.（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，求的面积最小值.21（12分）已知函数（1）当时，证明，在恒成立；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.22（10分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】复数，则，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属

7、于基础题2B【解析】根据三角函数的定义求得后可得结论【详解】由题意得点与原点间的距离当时，当时，综上可得的值是或故选B【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可3B【解析】构造函数，判断出的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【详解】构造函数，由解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，而，所以在定义域上为增函数，且.由得，即，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.4B【解析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有

8、可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于16的结果，共2种等可能的结果，故概率.故选：B.【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.5B【解析】由题，侧棱底面，则根据余弦定理可得 ，的外接圆圆心 三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径 公式是解答的关键6B【解析】由题意可知“屯”卦符号“”表示

9、二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为120+124=1故选：B【点睛】本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7B【解析】设贫困户总数为，利用表中数据可得脱贫率，进而可求解.【详解】设贫困户总数为，脱贫率，所以. 故年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍.故选：B【点睛】本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.8D【解析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积【详解

10、】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即60，由底面边长为3得，正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，故选：D【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系掌握正棱锥性质是解题关键9A【解析】根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.【详解】由于，故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.10B【解析】设公差为，由已知可得，进而求出的通项公式，即可求解.【详解】设公差为，,.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和，属于基础题.11C【解析】解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可

11、得答案.【详解】解：由，得所以集合的真子集个数为个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.12A【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为，令，所以的系数是，故选A考点：二项式定理的应用二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13必要不充分【解析】先求解直线l1与直线l2平行的等价条件，然后进行判断.【详解】“直线l1：与直线l2：平行”等价于a2，故“直线l1：与直线l2：平行”是“a2”的必要不充分条件故答案为：必要不充分.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关

12、键，侧重考查逻辑推理的核心素养.14【解析】求得等边三角形的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】设是等边三角形的外心，则球心在其正上方处.设，由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径，所以外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.15【解析】利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解：复数为纯虚数,解得故答案为：【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.161【解析】把向量进行转化，用表示，利用基本不等式可求实数的值.【详解】，解得1故答案为：1.【点睛】本题主要考查平

13、面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取BC的中点O，则，由是等边三角形，得，从而得到平面，由此能证明（2）以，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.【详解】（1）取BC的中点O，连接，由于与是等边三角形，所以有，且，所以平面，平面，所以（2）设，是全等的等边三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，又平面的一个法

14、向量为，所以二面角的余弦值为,即二面角的余弦值为【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.18见解析【解析】试题分析：把不等式的左边写成形式，利用柯西不等式即证试题解析：证明：，又，考点：柯西不等式19（1）证明见解析，是，；（2）【解析】（1）根据是球的直径，则，又平面， 得到，再由线面垂直的判定定理得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面.（2）以A为原点，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，设，由，解得，得到，从而得到，然后求得平面的一个法向量，代入公式求解.【详解】（1）因为是球的直径，则，

15、又平面， ，.平面，平面.根据证明可知，四面体是鳖臑. 它的每个面的直角分别是，. （2）如图，以A为原点，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则，. M为中点，从而.所以，设，则. 由，得.由得，即.所以. 设平面的一个法向量为. 由.取，得到.记与平面所成角为，则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20（1）；（2）16.【解析】（1）将极坐标方程化为直角坐标方程即可；（2）利用极径的几何意义，联立曲线，直线，直线的极坐标方程，得出，利用三角形面积公式，结合正弦函数的性质，得出的

16、面积最小值.【详解】（1）曲线：，即化为直角坐标方程为：；（2），即同理当且仅当，即（）时取等号即的面积最小值为16【点睛】本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题.21（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据，求导，令，用导数法求其最小值.设研究在处左正右负，求导，分 ，三种情况讨论求解.【详解】（1）因为，所以，令，则，所以是的增函数，故，即.因为所以，当时，所以函数在上单调递增.若，则若，则所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，所以在处取得极小值，不符合题意，当时，所以函数在上单调递减.若，则若，则所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以在处取得极大值，符合题意.当时，使得，即，但当时，即所以函数在上单调递减，所以，即函数)在上单调递减，不符合题意综上所述，的取值范围是【点睛】本题