中考-代数、函数综合题

1、中考压轴题中代数和函数综合问题，主要有方程和不等式的图象解问题，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系在二次函数问题中的应用问题，方程（组）、不等式（组）和函数的综合应用问题。一 .方程和不等式的图象解问题原创模拟预测题1.函数 yax 的分式方程1 x 1；124二次函数 y= x23x2k 的图象与 x 轴交点的坐标为（1，0）和（ 2， 0）。其中，正确结论的个数是【】A0B 1C2D3【答案】 C。【考点】 抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式。 x23x2k ，故选 C。原创模拟预测题4.已知 (x 4) 2(x b2) 20 ，则反比例函数且反比例函数 y

2、1 bx的图象在每个象限内y 随 x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【】A.1B.1C.y22yyD.yxxxx【答案】 A。【考点】 偶次幂的非负数性质，解一元二次方程，反比例函数的性质。原创模拟预测题5.已知二次函数ya x 2bxc 图象的顶点横坐标是4，与 x 轴交于A（ x1，0）、B（ x2，0），x1 0 x2，与 y 轴交于点C，O为坐标原点， tanCA OtanCBO2 。（1）求证：b8a0 ；2）求 a、 b 的值；3）若二次函数图象与直线 y 2x 3 仅有一个交点时，求二次函数的最值。【答案】 （ 1） ya x 2bxc 图象的顶点横坐标是4，抛物线的对称

3、轴为x=4，即b4 ，化简得：b 8a 0 。2a（ 2）二次函数 y a x 2bx c 与 x 轴交于 A（ x1， 0）、 B（ x2， 0）， x1 0 x2，OA= x ， OB=x； x1 x2bc， x1 x2。12aa令 x=0，得 y=c ， C（ 0， c）， OC=|c| 。由三角函数定义得：tanOCcc，tanCBOOCcCAOx1x1OB。OAx 2tan CAOtan CBO=2，即cc=2，化简得：x1x 21。x1x 2x1x 2cbcb2c将 x1x 2代入得：a2 。，x 1 x 2ac，化简得： bcaca由（ 1）知 b8a0 ，当 b2 时， a1；

4、当 b21。4时， a4a、 b 的值为： a1， b2 或 a1， b 2 。44（ 3）由（ 2）知，当 a1， b2时，抛物线解析式为： y1x22x c 。44联 立 抛 物 线 y1 x22 x与c 直 线 y2 x 解3 析 式 得 到 ：41 x 22 x c2 x， 34化简得： x216x4c120。二次函数图象与直线y2x3 仅有一个交点，一元二次方程根的判别式等于0，即256 44c 120，解得 c =19。抛物线解析式为：y1 x 22x19215 。1 x 444当 x=4 时，二次函数有最小值，最小值为15。由（2）知，当 a1，b2 时，抛物线解析式为： y1

5、x 22x c 。44联立抛物线12与 直 线 y 2x3解析式得到：yx2 x4c1x 22x c 2x 3 ，4化简得： x2124c0 。二次函数图象与直线y2x3 仅有一个交点，一元二次方程根的判别式等于0，即024 124c0 ，解得 c =3。抛物线解析式为：y1x 22x3=1x427 。44当 x=4 时，二次函数有最大值，最大值为7。综上所述，若a1， b2 ，二次函数图象与直线y 2x 3 仅4c =19有一个交点时，二次函数的最小值为15；若 a1， b2， c =3，二次函数图象与直线4y 2x 3 仅有一个交点时，二次函数的最大值为7。【考点】 二次函数综合题，曲线上

6、点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质，分类思想的应用。原创模拟预测题6.已知：y 关于 x 的函数 ykx 22 k1 xk3 的图象与 x 轴有交点。（ 1）求 k 的取值范围；（ 2）若 x1， x2 是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足kx 12 2 k 1 x 2k 3 4x 1x 2 求 k 的值；当 k1 xk3 时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值。【答案】（ 1）当 k=0 时，函数为一次函数y= 2x+3，其图象与 x 轴有一个交点。当 k0 时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点，令 y=0

7、得 kx 22 k1 xk30 2 k124 kk30 ，解得k1 。k 0k0综上所述， k 的取值范围是 k1。（ 2） x，由（ 1）知 k 1 且 k0。1x2由题意得 kx 122 k1 x1 k30 ，即 kx12k 32 k 1 x 1 （ * ），将（ * ）代入 kx122 k1 x 2k34x 1x 2中得：2 k 1 x1 x24x 1x 2 。又 x1 22 k 1， x1 2k3 ，+x =kx =k2 k13 ，2 k 14 kkk解得： k1=2， k2=1（不合题意，舍去） 。所求 k 值为 2。23 ，且如图， k= 2， y2x 22x 12x1221 x1

8、，由图象知：当x= 1 时， y 最小 = 3；当 x= 1 时， y 最大 = 3 。22y 的最大值为 3 ，最小值为 3。2【考点】 抛物线与 x 轴的交点， 一次函数的定义， 一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值，分类思想和数形结合思想的应用。三 .方程（组）、不等式（组）和函数的综合应用问题原创模拟预测题7.某商家经销一种商品，用于装修门面已投资3000元。已知该商品每千克成本50 元，在第一个月的试销时间内发现项，当销售单价为70 元 / kg时，销售量为 100 kg，销量w（ kg）随销售单价x（元 / kg ）的变化而变化，销售单价每提高5 元 / kg，销

9、售量减少10 kg。设该商品的月销售利润为y（元）（销售利润=单价销售量成本投资）。（ 1）请根据上表，写出w 与x 之间的函数关系式（不必写出自变量x 的取值范围）；（ 2）求y 与x 之间的函数关系式（不必写出自变量x 的取值范围），并求出x 为何值时， y 的值最大？3）若在第一个月里，按使 y 获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于 90 元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？【答案】 （ 1） w= 2x 240。（2）y与x的关系式为：y （x）（50）（w） x2502x240

10、2x y2x2340 x120002（ x22450，85）当 x=85 时， y 的值最大为2450 元。（ 3）在第一个月里， 按使 y 获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元，第 1 个月还有3000 2450=550 元的投资成本没有收回。则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700 元，即y=2250 才可以，可得方程 2（x2=95。85） 2450 2250，解得 x1=75， x2根据题意， x2=95 不合题意应舍去。答：当销售单价为75 元时，可获得销售利润2250 元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700 元。【考点】 一、二次函数和

11、一元二次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。原创模拟预测题8.如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数）. 两地间的距离是80 千米 . 请你根据图象回答或解决下面的问题：1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？2）两人在途中行驶的速度分别是多少？3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间 x 的方程或不等式（不要化简，也不要求解）：自行车行驶在摩托车前面；自行车与摩托车相遇；自行车行驶在摩托车后面.【答案】（ 1）自行车出发早3 个小时，摩托车到达乙地早3 个小时2）10 千米/时， 40千米 /时3）自行车： y=10 x ，摩托车： y=40 x 120（4）在 3 x 5 时间段内两车均都行驶在途中，自行车在摩托车前面：10 x 40 x 120，相遇： 10 x=40 x 120，自行车在摩托车后：10 x 40 x 120【解析】（3）设表示自行车行驶过程的函数解析