信号与系统：3-6 傅里叶变换的性质

1、3.6 傅里叶变换的性质北京航空航天大学电子信息学院2022/7/9信号与系统一、基于傅里叶变换定义的性质1对称性两者在形式上存在惊人的相似性。令，相应地一、基于傅里叶变换定义的性质1对称性 (a) 矩形脉冲 (b) 矩形脉冲信号傅里叶变换矩形脉冲信号及其傅里叶变换 (a) Sa信号 (b) Sa信号傅里叶变换Sa信号及其傅里叶变换一、基于傅里叶变换定义的性质2奇偶虚实性傅里叶变换是傅里叶级数乘以常数再取极限，这个过程不改变运算结果的奇偶虚实性，傅里叶变换具有与傅里叶级数相同的奇偶虚实性。对于实信号f(t)，其 为 的偶函数， 为 的奇函数 1. 当信号f(t)为实偶函数时， 为实偶函数。 2

2、. 当信号f(t)为实奇函数时， 为虚奇函数。 二、基于信号时间变量运算的性质1反褶性质根据傅里叶变换的定义， 又根据傅里叶变换的奇偶虚实性， 和 分别为 的偶函数和奇函数，则有由FT的奇偶虚实性， 的实部是变量t的偶函数，虚部是t的奇函数，则可直接得到二、基于信号时间变量运算的性质2时移性质根据傅里叶变换的定义， 因 ，所以 。这说明信号的时移不影响其幅频特性，只改变其相频特性。 二、基于信号时间变量运算的性质3压扩特性根据傅里叶变换的定义， 1）当 时，令 ，则2）当 时，令 ，则综合1）和2）两种情况，得到二、基于信号时间变量运算的性质3压扩特性信号在时域展宽，而其频谱在频域压缩 信号在

3、时域压缩，而其频谱在频域展宽 二、基于信号时间变量运算的性质4时间运算综合特性三、基于信号幅度变量运算的性质1线性性质根据傅里叶变换的定义， 傅里叶变换的线性特性是积分运算的线性特性所决定的。 三、基于信号幅度变量运算的性质2时域微分根据傅里叶变换的定义， 两边对t进行微分，得到 由傅里叶变换的定义， 三、基于信号幅度变量运算的性质2时域微分需要注意的是，时域微分特性在应用中需要注意微分与积分不完全互逆，函数加上任意常数的微分与原函数的微分相同，这和第二章中应用卷积的微分积分特性需要注意的问题是相同的。因此，在实际应用中，应将信号中的直流分量提取出来单独处理。 三、基于信号幅度变量运算的性质3

4、时域积分根据傅里叶变换的定义， 将 改写为 ，则 交换t与 的积分顺序，得到， 三、基于信号幅度变量运算的性质3时域积分请注意 表示 的傅里叶变换，且则 因为 在 时取值为0，所以 四、基于信号频域运算的性质1频移特性根据傅里叶变换的定义， 依据同样的过程，可以很容易地证明四、基于信号频域运算的性质2频域微分根据傅里叶变换的定义， 由傅里叶变换的定义，得两边对 求导，得到 五、基于卷积运算的性质1时域卷积定理交换积分顺序，得到根据傅里叶变换的定义， 根据傅里叶变换的时移性质五、基于卷积运算的性质时域卷积定理与时域微分性质的关系根据时域卷积定理， 显然，所得结果相同，但分析过程大为简化。可以将f(t)的积分运算看成是 f(t)与u(t)的卷积运算，即五、基于卷积运算的性质2频域卷积定理交换积分顺序，得到根据傅里叶逆变换的定义， 根据傅里叶变换的频移性质六、傅里叶变换性质的应用本节似乎没有讨论信号乘法运算的傅里叶变换的性质。傅里叶变换的特性实际上给出了计算信号傅里叶变换的方法 一般信号基本信号 F 基本信号 F 一般信号 F 基本信号一般信号基本信号 一般信号多个基本信